Dirac fésű

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. április 19-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 7 szerkesztést igényelnek .

A Dirac fésű egy periodikus Schwartz-eloszlás , amely delta függvényekből épül fel

\Delta _{T}(t)\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ \sum _{{k=-\infty }}^{{\infty }}\delta (t -kT)

bizonyos időszakra . $T$

Fourier sorozat

Nyilvánvalóan periodikusan periódussal . Ezért $\Delta _{T}(t)$ $T$

\Delta _{T}(t+T)=\Delta _{T}(t)

mindenkinek . Az összetett Fourier-sor egy ilyen periodikus függvényhez $t$

\Delta _{T}(t)=\sum _{{n=-\infty }}^{{+\infty }}c_{n}e^{{i2\pi nt/T}}\

ahol a Fourier-együtthatók egyenlők $c_{{n}}$

$c_n$	$={\frac {1}{T}}\int _{{t_{0}}}^{{t_{0}+T}}\Delta _{T}(t)e^{{-i2\pi nt/T}}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\$
	$={\frac {1}{T}}\int _{{-T/2}}^{{T/2}}\Delta _{T}(t)e^{{-i2\pi nt/T }}\,dt\$
	$={\frac {1}{T}}\int _{{-T/2}}^{{T/2}}\delta (t)e^{{-i2\pi nt/T}}\, dt\$
	$={\frac {1}{T}}e^{{-i2\pi n\,0/T}}\$
	$={\frac {1}{T}}.\$

Annak eredményeként, hogy minden Fourier-együttható egyenlő , megkapjuk a végső kifejezést $1/T$

\Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}e^{{i2\pi nt/T} }

Linkek

Bracewell, RN (1986), The Fourier Transform and Its Applications (átdolgozott kiadás), McGraw-Hill ; 1. kiadás 1965, 2. kiadás. 1978.
Córdoba, A (1989), Dirac combs, Letters in Mathematical Physics vol . 17: 191–196