Laplace-Runge-Lentz vektor

Ebben a cikkben a vektorok félkövéren vannak szedve, és abszolút értékeik dőlt betűvel vannak szedve, például

|{\mathbf {A}}|=A

A klasszikus mechanikában a Laplace-Runge-Lenz vektor egy olyan vektor, amelyet főként egy olyan pálya alakjának és tájolásának leírására használnak, amelyben az egyik égitest egy másik körül kering (például az a pálya, amelyen egy bolygó egy csillag körül kering). Két test esetében, amelyek kölcsönhatását Newton univerzális gravitációs törvénye írja le , a Laplace-Runge-Lenz vektor egy mozgásintegrál , azaz iránya és nagysága állandó, függetlenül attól, hogy a pálya melyik pontján. kiszámítják [1] ; a Laplace-Runge-Lenz vektorról azt mondják, hogy konzerváltkét test gravitációs kölcsönhatásában. Ez az állítás minden olyan problémára általánosítható, amikor két test kölcsönhatásba lép egy központi erőn keresztül , amely fordítottan változik a köztük lévő távolság négyzetével. Az ilyen problémát Kepleri-problémának nevezik [2] .

Ilyen potenciál például akkor merül fel, ha klasszikus pályákat veszünk figyelembe (a kvantálás figyelembevétele nélkül) a pozitív töltésű atommag elektromos mezőjében mozgó negatív töltésű elektron mozgásának problémájában. Ha a Laplace-Runge-Lenz vektor adott, akkor relatív mozgásuk formája egyszerű geometriai megfontolások alapján, ennek a vektornak és az energia megmaradásának törvényei alapján meghatározható.

A megfelelési elv szerint a Laplace-Runge-Lenz vektornak van egy kvantumanalógja , amelyet a hidrogénatom spektrumának első levezetésében [3] használtak , még a Schrödinger-egyenlet felfedezése előtt .

A Kepler-probléma egy szokatlan tulajdonsággal rendelkezik: az impulzusvektor vége mindig körben mozog [4] [5] [6] . E körök elhelyezkedése miatt adott összenergia mellett a Kepler-probléma matematikailag egyenértékű egy négydimenziós gömbben szabadon mozgó részecskével [7] . E matematikai analógia szerint a konzervált Laplace-Runge-Lenz vektor ekvivalens a szögimpulzus további komponenseivel a négydimenziós térben [8] . ${\mathbf {p}}$ $E$ $S_{{3}}$

A Laplace-Runge-Lenz vektort Laplace -nek , Runge-Lenz- vektornak és Lenz -vektornak is ismerik , bár egyik tudós sem származtatta először. A Laplace-Runge-Lenz vektort többször is újra felfedezték [9] . Ugyancsak ekvivalens a dimenzió nélküli excentricitásvektorral az égi mechanikában [10] . Hasonlóképpen nincs általánosan elfogadott megnevezése rá, bár . A Laplace-Runge-Lenz vektor különféle általánosításaihoz, amelyeket alább definiálunk, a szimbólumot használjuk . $\mathbf {A}$ $\mathcal{A}$

Kontextus

Egyetlen részecskének, amelyek bármely konzervatív központi erő hatására mozognak , legalább négy mozgásintegrálja van (a mozgás során megőrzött mennyiségek): az összenergia és a szögimpulzus három összetevője (vektor ). A részecske pályája egy síkban fekszik, amelyet a részecske kezdeti impulzusa , (vagy ennek megfelelője a sebesség ) és a koordináták, azaz az erőközéppont és a részecske közötti sugárvektor határoznak meg (lásd 1. ábra). Ez a sík merőleges egy konstans vektorra , amely matematikailag kifejezhető a pontszorzattal . $E$ $\mathbf{L}$ ${\mathbf {p}}$ $\mathbf{v}$ $\mathbf {r}$ $\mathbf{L}$ ${\mathbf {r}}\cdot {\mathbf {L}}=0$

Az alábbiakban meghatározottak szerint a Laplace-Runge-Lenz vektor mindig a mozgás síkjában van, azaz bármely központi erő esetén. Csak a távolság négyzetétől fordítottan függő erő esetén állandó [2] . Ha a centrális erő megközelítőleg függ a távolság fordított négyzetétől, akkor a vektor hossza megközelítőleg állandó, de lassan forog. A legtöbb központi erő esetében azonban ez a vektor nem állandó, hanem hossza és iránya változik. Az általánosított konzervált Laplace-Runge-Lenz vektor minden központi erőre definiálható , de ez a vektor a pozíció összetett függvénye, és általában nem fejeződik ki elemi vagy speciális függvényekben [11] [12] . $\mathbf {A}$ ${\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {L}}=0$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathcal{A}$

Történelem

A Laplace-Runge-Lenz vektor a Kepler-probléma konzervált mennyisége, és hasznos csillagászati pályák leírására, mint például egy bolygó mozgása a Nap körül. A fizikusok körében azonban soha nem volt széles körben ismert, talán azért, mert kevésbé intuitív vektor, mint a lendület és a szögimpulzus . A Laplace-Runge-Lenz vektort egymástól függetlenül többször is felfedezték az elmúlt három évszázad során [9] . Jakob Herman volt az első, aki megmutatta, hogy mi marad fenn a távolság négyzetétől fordítottan függő központi erő speciális esetére [13] , és megtalálta az összefüggést egy elliptikus pálya excentricitásával. Hermann munkásságát Johann Bernoulli 1710 - ben általánosította modern formájára [14] . Pierre-Simon Laplace pedig a 18. század végén fedezte fel újra a konzervációt , és ezt analitikusan bizonyítja, és nem geometriailag, mint elődei [15] . $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$

A 19. század közepén William Hamilton levezette az alábbiakban definiált excentricitásvektor megfelelőjét [10] , felhasználva annak bemutatására, hogy az impulzusvektor vége egy körben mozog egy központi erő hatására, amely fordítottan arányos a távolság négyzete (3. ábra) [4] . A 20. század elején Willard Gibbs vektoranalízis segítségével szerezte meg ugyanezt a vektort [16] . Gibbs levezetését Carl Runge használta példaként a népszerű német vektorok tankönyvében [17] , amelyre Wilhelm Lenz hivatkozott a hidrogénatom kvantummechanikai (régi) kezeléséről szóló írásában [18] . ${\mathbf {p}}$

1926- ban Wolfgang Pauli ezt a vektort használta a hidrogénatom spektrumának levezetésére a modern mátrixkvantummechanika , nem pedig a Schrödinger-egyenlet segítségével [3] . Pauli publikációja után a vektor főként Runge-Lenz vektor néven vált ismertté .

Matematikai definíció

Egy központi erő hatására mozgó egyetlen részecske esetében , amely fordítottan függ a távolság négyzetétől és az egyenlettel írható le , a Laplace-Runge-Lenz vektort matematikailag a [2] képlet határozza meg. $\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {-k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$ $\mathbf {A}$

{\mathbf {A}}={\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}}-mk{\mathbf {{\hat {r}}}},

ahol

$m$ egy központi erő hatására mozgó pontrészecske tömege ,
${\mathbf {p}}$ a lendületvektor ,
${\mathbf {L}}={\mathbf {r}}\times {\mathbf {p}}$ a szögimpulzus vektor ,
$k$ a központi erő nagyságát leíró paraméter,
${\mathbf {{\kalap {r))))$ az egységvektor, azaz ahol a részecske pozícióvektora, és a hossza. ${\mathbf {{\hat {r}}}}={\frac {{\mathbf {r}}}{r}}$ $\mathbf {r}$ $r$

Mivel feltételeztük, hogy az erő konzervatív , akkor a teljes energia megmarad $E$

E={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {k}{r}}={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {k} {r}}.

Az erő központiságából következik, hogy a szögimpulzus-vektor is megmarad, és meghatározza azt a síkot, amelyben a részecske mozog. A Laplace-Runge-Lenz vektor merőleges a szögimpulzusvektorra , így a pálya síkjában fekszik . Az egyenlet helyes, mert a és a vektorok merőlegesek . $\mathbf{L}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{L}$ ${\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {L}}=0$ ${\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}}$ $\mathbf {r}$ $\mathbf{L}$

A Laplace-Runge-Lenz vektornak ez a definíciója olyan egypontos részecskére alkalmazható, amelynek tömege stacionárius (időfüggetlen) potenciálban mozog. Ugyanez a meghatározás kiterjeszthető egy kéttest problémára is, mint például a Kepler-probléma, ha lecseréljük a két test redukált tömegét és a két test közötti vektort. $\mathbf {A}$ $m$ $m$ $\mathbf {r}$

Circular impulzus lókusz

A Laplace-Runge-Lenz vektor és a szögimpulzus vektor megmaradását annak bizonyítására használják, hogy az impulzusvektor a távolság négyzetével fordítottan arányos központi erő hatására körben mozog . A és vektorszorzat kiszámításával egyenlethez jutunk $\mathbf {A}$ $\mathbf{L}$ ${\mathbf {p}}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{L}$ ${\mathbf {p}}$

L^{2}{\mathbf {p}}={\mathbf {L}}\times {\mathbf {A}}-mk{\hat ({\mathbf {r}}}}\times {\mathbf { L}}.

A vektort a tengely mentén , a fő féltengelyt pedig a tengely mentén irányítva az egyenlethez jutunk $\mathbf{L}$ $z$ $x$

p_{x}^{2}+(p_{y}-A/L)^{2}=(mk/L)^{2}.

Más szóval, az impulzusvektort egy sugarú kör határolja , amelynek középpontja a koordinátákkal rendelkező pontban található . ábrán látható szög koszinuszának felel meg az excentricitás . 2. A rövidség kedvéért beírhat egy változót . A körkörös hodográf hasznos a Kepler-probléma szimmetriájának leírására. ${\mathbf {p}}$ $mk/L$ $(0,\;A/L)$ $e$ $\eta$ $p_{0}={\sqrt {2m|E|}}$

A mozgás és a szuperintegrálhatóság integráljai

Hét skalármennyiség: a Laplace-Runge-Lenz vektorok energiája és komponensei, valamint a szögimpulzus két összefüggés köti össze. Vektorok esetén az ortogonalitás feltétele teljesül , és az energia benne van a fent kapott Laplace-Runge-Lenz vektor négyzetes hosszának kifejezésében . Ekkor van öt független konzervált mennyiség vagy mozgásintegrál . Ez összhangban van a részecske pályáját meghatározó hat kezdeti feltétellel (a részecske kezdeti helyzete és sebessége háromkomponensű vektorok), mivel a kezdeti időt nem a mozgás integráljai határozzák meg. Mivel a pálya nagysága (és a pálya excentricitása ) a teljes impulzusimpulzusból és energiából határozható meg , azt állítják, hogy csak az irány marad meg egymástól függetlenül. Ezenkívül a vektornak merőlegesnek kell lennie - ez egy további megőrzött mennyiséghez vezet. $E$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{L}$ ${\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {L}}=0$ $A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}$ $\mathbf {A}$ $e$ $L$ $E$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{L}$

Egy szabadságfokú mechanikai rendszernek maximum mozgásintegrálja lehet, hiszen vannak kezdeti feltételek, és a mozgásintegrálokból a kezdeti idő nem határozható meg. A több mint mozgásintegrált tartalmazó rendszert szuperintegrálhatónak , az integrállal rendelkező rendszert pedig maximálisan szuperintegrálhatónak nevezzük [19] . Mivel a Hamilton-Jacobi egyenlet egy koordinátarendszerben történő megoldása csak mozgásintegrálokhoz vezethet, a változókat el kell különíteni egynél több koordinátarendszerben lévő szuperintegrálható rendszerek esetében [20] . A Kepler-probléma maximálisan szuperintegrálható, mivel három szabadsági foka ( ) és öt független mozgásintegrálja van; a Hamilton-Jacobi egyenlet változóit gömbkoordinátákban és parabolikus koordinátákban [21] választjuk el az alábbiak szerint . A maximálisan szuperintegrálható rendszerek csak kommutációs relációk segítségével kvantálhatók , amint az alább látható [22] . $d$ $2d-1$ $2d$ $d$ $2d-1$ $d$ $d=3$

A Hamilton-Jacobi egyenlet parabola koordinátákban

A Laplace-Runge-Lenz vektor állandósága a Hamilton-Jacobi egyenletből származtatható parabolikus koordinátákban , amelyek a következők: $(\xi ,\;\eta )$

\xi=r+x,

\eta=rx,

hol van a sugár a pálya síkjában $r$

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Ezen koordináták inverz transzformációja így írható fel

x={\frac {1}{2}}(\xi -\eta ),

y={\sqrt {\xi \eta )).

A Hamilton-Jacobi egyenlet változóinak szétválasztása ezekben a koordinátákban két egyenértékű egyenletet ad [21] [23]

2\xi p_{\xi }^{2}-mk-mE\xi =-\beta ,

2\eta p_{\eta }^{2}-mk-mE\eta =\beta ,

hol van a mozgás integrálja . Ha ezeket az egyenleteket kivonjuk, és az impulzus derékszögű koordinátáiban kifejezzük, és , kimutatható, hogy egyenértékű a Laplace-Runge-Lenz vektorral. $\beta$ $p_{x}$ $p_{y}$ $\beta$

\beta =p_{y}(xp_{y}-yp_{x})-mk{\frac {x}{r}}=A_{x}.

Ez a Hamilton-Jacobi megközelítés használható a konzervált általánosított Laplace-Runge-Lenz vektor levezetésére elektromos tér jelenlétében [21] [24]. $\mathcal{A}$ $\mathbf {E}$

{\mathcal {A}}={\mathbf {A}}+{\frac {mq}{2}}\left[({\mathbf {r}}\times {\mathbf {E}})\times { \mathbf{r}}\right],

hol van a keringő részecske töltése . $q$

Alternatív megfogalmazás

A lendülettel és a szögimpulzussal ellentétben a Laplace-Runge-Lenz vektornak nincs általánosan elfogadott definíciója. A tudományos irodalomban többféle szorzót és szimbólumot használnak. A legáltalánosabb definíciót fent adtuk , de egy másik definíció adódik, miután elosztunk egy konstanssal , hogy egy dimenzió nélküli konzervált excentricitásvektort kapjunk. ${\mathbf {p}}$ $\mathbf{L}$ $mk$

{\mathbf {e}}={\frac {1}{mk}}({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})-{\mathbf {{\hat {r}}}} ={\frac {m}{k}}({\mathbf {v}}\times {\mathbf {r}}\times {\mathbf {v}})-{\mathbf {{\hat {r}} }},

hol van a sebességvektor. Ennek a skálázott vektornak az iránya megegyezik -vel , és az amplitúdója megegyezik a pálya excentricitásával . Különféle definíciókat kapunk , ha osztunk -val , $\mathbf{v}$ $\mathbf {e}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $m$

{\mathbf {M}}={\mathbf {v}}\times {\mathbf {L}}-k{\mathbf {{\hat {r}}}}

vagy at $p_{0}$

{\mathbf {D}}={\frac {{\mathbf {A}}}{p_{0}}}={\frac {1}{{\sqrt {2m|E|}}}}\{{ \mathbf {p}}\times {\mathbf {L}}-mk{\mathbf {{\hat {r}}}}\},

amelynek mérete megegyezik a szögimpulzus (vektor ) méretével. Ritka esetekben a Laplace-Runge-Lenz vektor előjele megfordítható. A Laplace-Runge-Lenz vektor egyéb gyakori szimbólumai a következők: , , , és . A Laplace-Runge-Lenz vektor szorzójának és szimbólumának megválasztása azonban természetesen nem befolyásolja a megőrzését. $\mathbf{L}$ ${\mathbf {a}}$ $\mathbf {R}$ $\mathbf {F}$ ${\mathbf {J}}$ ${\mathbf {V}}$

Alternatív konzervált vektor: binormális – William Hamilton által vizsgált vektor [10] $\mathbf {B}$

{\mathbf {B}}={\mathbf {p}}-\left({\frac {mk}{L^{2}r}}\jobbra)({\mathbf {L}}\times {\mathbf {r}}),

amely konzervált és az ellipszis fél-minor tengelye mentén mutat. A Laplace-Runge - Lenz vektor és vektorszorzata (3. ábra). A vektor binormálisnak van jelölve, mivel merőleges mind a , mind a . A Laplace-Runge-Lenz vektorhoz hasonlóan a binormális vektor is különböző tényezőkkel definiálható. ${\mathbf {A}}={\mathbf {B}}\times {\mathbf {L}}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf{L}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{L}$

Két konzervált vektor, és összevonható egy konzervált kételemű tenzorba $\mathbf {A}$ $\mathbf {B}$ ${\mathbf {W}}$

{\mathbf {W}}=\alpha {\mathbf {A}}\otimes {\mathbf {A}}+\beta {\mathbf {B}}\otimes {\mathbf {B}},

ahol a tenzorszorzatot jelöli , és a és tetszőleges tényezők [11] . A komponens jelöléssel írva ez az egyenlet a következőképpen hangzik $\otimes$ $\alpha$ $\beta$

W_{{ij}}=\alpha A_{i}A_{j}+\beta B_{i}B_{j}.

A és vektorok egymásra merőlegesek, és egy konzervált tenzor főtengelyeiként , azaz sajátvektoraiként ábrázolhatók . merőleges $\mathbf {A}$ $\mathbf {B}$ ${\mathbf {W}}$ ${\mathbf {W}}$ $\mathbf{L}$

{\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {W}}=\alpha ({\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {A}}){\mathbf {A}}+\beta ({\ mathbf {L}}\cdot {\mathbf {B}}){\mathbf {B}}=0,

mivel és merőlegesek, akkor . $\mathbf {A}$ $\mathbf {B}$ ${\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {A}}={\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {B}}=0$

Kepler pályáinak származtatása

A Kepler-probléma pályájának alakja és tájolása a Laplace-Runge-Lenz vektor ismeretében a következőképpen határozható meg. Tekintsük a vektorok skaláris szorzatát és (a bolygó helyzetét): $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {r}$

{\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {r}}=Ar\cos \theta ={\mathbf {r}}\cdot ({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}}) -mkr,

hol a és közötti szög (4. ábra). Változtassuk meg a tényezők sorrendjét a vegyes szorzatban , és egyszerű transzformációk segítségével megkapjuk a kúpszelet definícióját : $\theta$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {A}$ ${\mathbf {r}}\cdot ({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})={\mathbf {L}}\cdot ({\mathbf {r}}\times {\mathbf {p)))={\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {L}}=L^{2}$

{\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)

a következő képlettel megadott excentricitással : $e$

e={\frac {A}{mk}}={\frac {|{\mathbf {A}}|}{mk}}.

Egy vektor négyzetes modulusának kifejezéséhez jutunk el a formában $\mathbf {A}$

A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2},

amely az orbitális excentricitás segítségével átírható

e^{2}-1={\frac {2L^{2}}{mk^{2}}}E.

Így, ha az energia negatív, ami összekapcsolt pályáknak felel meg, az excentricitás kisebb, mint egy, és a pálya ellipszis alakú . Ezzel szemben, ha az energia pozitív (nem csatolt pályák, más néven szórópályák ), az excentricitás nagyobb, mint egy, és a pálya hiperbola . Végül, ha az energia pontosan nulla, az excentricitás egy, a pálya pedig egy parabola . A vektor minden esetben a kúpszelet szimmetriatengelye mentén irányul, és a pontrészecske origóhoz legközelebbi pozíciójának pontjára mutat ( periapszis ). $\mathbf {A}$

Megmaradás a távolság négyzetével fordítottan arányos erő hatására

Feltételezzük, hogy a részecskére ható erő központi . Ezért $\mathbf {F}$

{\mathbf {F}}={\frac {d{\mathbf {p}}}{dt}}=f(r){\frac {{\mathbf {r}}}{r}}=f(r ){\mathbf {{\kalap {r))))

valamilyen sugárfüggvényhez . Mivel a szögimpulzus a központi erők hatására megmarad, akkor $f(r)$ $r$ ${\mathbf {L}}={\mathbf {r}}\times {\mathbf {p}}$ ${\frac {d}{dt}}{\mathbf {L}}=0$

{\frac {d}{dt}}({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})={\frac {d{\mathbf {p}}}{dt}}\times {\ mathbf {L}}=f(r){\mathbf {{\hat {r}}}}\times \left({\mathbf {r}}\times m{\frac {d{\mathbf {r}} }{dt}}\right)=f(r){\frac {m}{r}}\left[{\mathbf {r}}\left({\mathbf {r}}\cdot {\frac {d {\mathbf {r}}}{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}\right],

ahol a lendületet így írjuk fel , és a kettős vektoros szorzatot a Lagrange-képlet segítségével egyszerűsítjük ${\mathbf {p}}=m{\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}$

{\mathbf {r}}\times \left({\mathbf {r}}\times {\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}\right)={\mathbf {r}}\ left({\mathbf {r}}\cdot {\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d{\mathbf {r}}} {dt}}.

Identitás

{\frac {d}{dt))({\mathbf {r}}\cdot {\mathbf {r}})=2{\mathbf {r}}\cdot {\frac {d{\mathbf {r} }}{dt}}={\frac {d}{dt}}(r^{2})=2r{\frac {dr}{dt}}

egyenlethez vezet

{\frac {d}{dt}}({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})=-mf(r)r^{2}\left[{\frac {1}{r )){\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}-{\frac {{\mathbf {r}}}{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}} \right]=-mf(r)r^{2}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\mathbf {r}}}{r}}\jobb).

Egy központi erő speciális esetére, amely fordítottan arányos a távolság négyzetével , az utolsó kifejezés a következő $f(r)={\frac {-k}{r^{2}}}$

{\frac {d}{dt}}({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})=mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\mathbf {r}}}{r}}\right)={\frac {d}{dt}}(mk{\mathbf {{\hat {r}}}}).

Aztán ebben az esetben mentve $\mathbf {A}$

{\frac {d}{dt}}{\mathbf {A}}={\frac {d}{dt}}({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})-{\frac {d}{dt}}(mk{\mathbf {{\hat {r}}}})=0.

Amint alább látható , a Laplace-Runge-Lenz vektor az általánosított konzervált vektor speciális esete , amely bármely központi erőre meghatározható [11] [12] . A legtöbb központi erő azonban nem alkot zárt pályát (lásd Bertrand tételét ), egy hasonló vektornak ritkán van egyszerű definíciója, és általában a és közötti szög többértékű függvénye . $\mathbf {A}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{A}$ $\theta$ $\mathbf {r}$ $\mathcal{A}$

Változás zavaró központi erők hatására

Számos gyakorlati problémában, például a bolygómozgásban, a két test közötti kölcsönhatás csak megközelítőleg fordítottan arányos a távolság négyzetével. Ilyen esetekben a Laplace-Runge-Lenz vektor nem állandó. Ha azonban a zavaró potenciál csak a távolságtól függ, akkor a teljes energia és a szögimpulzus - vektor megmarad. Ezért a mozgás pályája továbbra is a síkra merőleges, és az érték megmarad, az egyenlet szerint . Ezért az irány lassan kering a síkban. A kanonikus perturbáció elmélet és a cselekvési szög koordináták felhasználásával közvetlenül kimutatható [2] , hogy a sebességgel forog. $\mathbf {A}$ $h(r)$ $E$ $\mathbf{L}$ $\mathbf{L}$ $A$ $A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$

{\frac {\partial }{\partial L}}\langle h(r)\rangle ={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {1}{T}}\ int \limits _{0}^{T}h(r)\,dt\right\}={\frac {\partial }{\partial L))\left\{{\frac {m}{L^{ 2}}}\int \limits _{0}^{{2\pi }}r^{2}h(r)\,d\theta \right\},

ahol az orbitális mozgás periódusa, és az egyenletet használták az integrál időbeli szögű integráljának átalakítására (5. ábra). Például az általános relativitáselmélet hatásait figyelembe véve egy olyan összeadáshoz jutunk, amely a szokásos newtoni gravitációs erőtől eltérően fordítottan függ a távolság kockájától [25] : $T$ $L\,dt=mr^{2}\,d\theta$

h(r)={\frac {kL^{2}}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {1}{r^{3}}}\jobb).

Ennek a függvénynek az integrálba való behelyettesítése és az egyenlet használata

{\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right),

-val kifejezve a periapszis precessziós rátáját , amelyet ez a zavar okozott, a következőképpen írjuk: [25] $r$ $\theta$

{\frac {6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}}.

amely értékét tekintve közel áll a Newtoni gravitációs elmélet által meg nem magyarázott Merkúr precessziójának nagyságához [26] . Ezt a kifejezést a bináris pulzárok általános relativitáselméletének korrekcióihoz kapcsolódó precesszió becslésére használják [27] . Ez a kísérlettel való egyetértés erős érv az általános relativitáselmélet mellett [28] .

Csoportelmélet

Noether tétele

Noether tétele kimondja, hogy egy fizikai rendszer általánosított koordinátáinak végtelenül kicsi változása

\delta q_{i}=\varepsilon g_{i}({\mathbf {q)),\;{\mathbf {{\pont {q)))),\;t)

hatására a Lagrange függvény első sorrendben megváltozik a teljes idő derivált értékével

\delta L=\varepsilon {\frac {d}{dt}}G(\mathbf {q} ,\;t)\,,

ami megfelel a mennyiség megőrzésének

J=-G+\sum _{i}g_{i}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\,.

A Laplace-Runge-Lenz vektor ezen komponense megfelel a koordináták változásának [29] $Mint$

\delta _{s}x_{i}={\frac {\varepsilon }{2}}\left[2p_{i}x_{s}-x_{i}p_{s}-\delta _{ is}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right],

ahol 1, 2 és 3, és és a helyzet- és sebességvektorok th komponensei , rendre. Adott rendszer Lagrange-függvénye $én$ $x_{i}$ ${\pont {x}}_{i}$ $én$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {\pont {r}}$

L={\frac {m{\dot {r}}^{2}}{2}}+{\frac {k}{r}}.

A Lagrange függvény első kicsinységi sorrendjének eredő változását a következőképpen írjuk fel

\delta L={\frac {1}{2}}\varepsilon mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {x_{s}}{r}}\right).

Ez az összetevő mentését eredményezi $Mint$

A_{s}=\left[p^{2}x_{s}-p_{s}\ \left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right]-mk\ left({\frac {x_{s}}{r}}\right)=\left[\mathbf {p} \times \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)\right] _{s}-mk\left({\frac {x_{s}}{r}}\right).

Lee átalakulása

Létezik egy másik módszer a Laplace-Runge-Lenz vektor megőrzésének származtatására, a koordináták változtatásával sebességek nélkül [30] . Koordináták és idő skálázása a paraméter különböző fokozataival (6. ábra) $\mathbf {r}$ $t$ $\lambda$

t\to \lambda ^{3}t,\;\mathbf {r} \to \lambda ^{2}\mathbf {r} ,\;\mathbf {p} \to {\frac {1} {\lambda }}\mathbf {p}

megváltoztatja a teljes szögnyomatékot és energiát : $L$ $E$

L\to \lambda L,\;E\to {\frac {1}{\lambda ^{2))}E

— de megtartja a terméket . Ebből következik, hogy a korábban említett egyenletben az excentricitás és a nagyság megmarad $EL^{2}$ $e$ $A$

A^{2}=m^{2}k^{2}e^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}.

Az irány is megmarad, mert a skálázás során a féltengelyek nem változnak. Ez a transzformáció érvényesül hagyja Kepler harmadik törvényét , nevezetesen, hogy a féltengely és a periódus állandót alkot . $\mathbf {A}$ $a$ $T$ $T^{2}/a^{3}$

Poisson zárójelek

A szögimpulzusvektor három komponenséhez Poisson zárójelek definiálhatók $L_i$ $\mathbf{L}$

[L_{i},\;L_{j}]=-\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s},

ahol az index az 1, 2, 3 értékeken fut át, és egy abszolút antiszimmetrikus tenzor , vagyis a Levi-Civita szimbólum (a harmadik összegző index , nem tévesztendő össze a fent meghatározott erőparaméterrel ). A szögletes zárójeleket (a göndör helyett) Poisson zárójelként használjuk, mint a szakirodalomban, és többek között kvantummechanikai kommutációs relációként értelmezzük őket a következő részben . $én$ $\varepsilon_{{ijs}}$ $s$ $k$

Amint fentebb látható , a módosított Laplace-Runge-Lenz vektor a szögimpulzussal megegyező dimenzióval határozható meg osztva -val . A szögimpulzusvektorral rendelkező Poisson zárójel hasonló formában lesz felírva $\mathbf {D}$ $\mathbf {A}$ $p_{0}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf{L}$

[D_{i},\;L_{{j}}]=\sum _{{s=1}}^{3}\varepsilon _{{ijs}}D_{s}.

A c Poisson-zárójel az előjelétől függ , azaz amikor a teljes energia negatív (ellipszis alakú pályák egy központi erő hatására, amely fordítottan függ a távolság négyzetétől) vagy pozitív (hiperbolikus pályák). A negatív energiák esetében a Poisson zárójelek a formát öltik $\mathbf {D}$ $\mathbf {D}$ $E$ $E$

[D_{i},\;D_{j}]=-\sum _{{s=1}}^{3}\varepsilon _{{ijs}}L_{s}.

Míg a pozitív energiák esetében a Poisson zárójelek ellenkező előjelűek

[D_{i},\;D_{j}]=\sum _{{s=1}}^{3}\varepsilon _{{ijs}}L_{s}.

A negatív energiákra vonatkozó Casimir invariánsokat a következő összefüggések határozzák meg

C_{1}={\mathbf {D}}\cdot {\mathbf {D}}+{\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {L}}={\frac {mk^{2}}{ 2|E|}},

C_{2}={\mathbf {D}}\cdot {\mathbf {L}}=0

és nulla Poisson-tartónk van minden alkatrészhez és $\mathbf {D}$ $\mathbf{L}$

[C_{1},\;L_{i}]=[C_{1},\;D_{i}]=[C_{2},\;L_{i}]=[C_{2},\; D_{i}]=0.

$C_{2}$ nulla, a vektorok ortogonalitása miatt. A másik invariáns azonban nem triviális, és csak a , és -től függ . Ez az invariáns felhasználható a hidrogénatom spektrumának levezetésére , csak a kvantummechanikai kanonikus kommutációs relációt használva, a bonyolultabb Schrödinger-egyenlet helyett . $C_{1}$ $m$ $k$ $E$

Természetvédelmi törvények és szimmetria

A koordináta változása a Laplace-Runge-Lenz vektor hosszának megmaradásához vezet (lásd Noether tételét ). Ez a megőrzés a rendszer bizonyos szimmetriájának tekinthető. A klasszikus mechanikában a szimmetriák olyan folyamatos műveletek, amelyek az egyik pályát a másikra képezik le anélkül, hogy a rendszer energiája megváltozna; A kvantummechanikában a szimmetriák olyan folyamatos műveletek, amelyek az atomi pályákat keverik anélkül, hogy a teljes energiát megváltoztatnák. Például bármely központi erő , amely a szögimpulzus megőrzéséhez vezet . A fizikában általában konzervatív központi erőkkel találkozunk, amelyek szimmetriája az SO(3) forgáscsoportnak . Klasszikusan a rendszer teljes forgása nem befolyásolja a pálya energiáját; kvantummechanikailag, a forgások keverik az azonos kvantumszámú gömbfüggvényeket ( degenerált állapotok) anélkül, hogy az energiát megváltoztatnák. $\mathbf{L}$ $l$

A szimmetria a centrális erő esetében a távolság négyzetével fordítottan emelkedik. A Kepler-probléma specifikus szimmetriája mind a szögimpulzus-vektor , mind a Laplace-Runge-Lenz vektor (a fent definiált ) megmaradásához vezet, és kvantummechanikailag garantálja, hogy a hidrogénatom energiaszintje független a kvantumtól. a szögimpulzus számai és . A szimmetria finomabb, mert a szimmetriaműveletnek magasabb dimenziójú térben kell történnie; az ilyen szimmetriákat gyakran rejtett szimmetriáknak nevezik [30] . Klasszikusan a Kepler-probléma magasabb szimmetriája lehetővé teszi a pályákon a folyamatos változtatásokat, amelyek energiát takarítanak meg, de nem szögimpulzust; vagyis az azonos energiájú, de eltérő szögimpulzusú (excentricitású) pályák folyamatosan egymásba alakíthatók. Ez kvantummechanikailag megfelel a kvantumszámukban eltérő pályák és a ( ) és ( ) típusú atomi pályák keveredésének . Az ilyen keverés nem végezhető el normál 3D-s fordításokkal vagy forgatásokkal, hanem egyenértékű a magasabb dimenziós térben történő forgatással. $\mathbf{L}$ $\mathbf {A}$ $l$ $m$ $l$ $m$ $s$ $l=0$ $p$ $l=1$

Egy negatív összenergiájú csatolt rendszer SO(4) szimmetriájú , ami megőrzi a négydimenziós vektorok hosszát

|{\mathbf {e}}|^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}+e_{4}^{2}.

1935 -ben Vladimir Fok kimutatta, hogy Kepler kvantummechanikai problémája egyenértékű a négydimenziós hipergömb által határolt szabad részecske problémájával [7] . Fock különösen azt mutatta meg, hogy a Schrödinger-egyenlet hullámfüggvénye a Kepler-probléma impulzusterében a gömbfüggvények sztereografikus vetületének négydimenziós általánosítása egy 3 gömbből egy háromdimenziós térbe. A hipergömb forgása és újravetítése az elliptikus pályák folyamatos átalakulását eredményezi anélkül, hogy az energia megváltozna; kvantummechanikailag ez az összes azonos főkvantumszámú pálya keverésének felel meg . Valentin Bargman később megjegyezte, hogy a szögimpulzusvektor Poisson zárójelei és a skálázott Laplace-Runge-Lenz vektor a Lie algebrát alkotják . [8] Egyszerűen fogalmazva, ez a hat mennyiség a hat konzervált szögmomentumnak felel meg négy dimenzióban, amelyek az ebben a térben lehetséges hat egyszerű elforgatáshoz kapcsolódnak (hatféleképpen választhatunk kettőt a négy tengely közül) . Ez a következtetés nem jelenti azt, hogy univerzumunk egy négydimenziós hiperszféra ; ez egyszerűen azt jelenti, hogy ez a fizikai probléma ( a távolság négyzetétől fordítottan függő központi erő kéttestes problémája ) matematikailag egyenértékű egy négydimenziós hipergömb szabad részecskéjével. $n$ $\mathbf{L}$ $\mathbf {D}$ $SO(4)$ $\mathbf {D}$ $\mathbf{L}$

Egy pozitív összenergiájú szórt rendszer SO(3,1) szimmetriájú , ami megőrzi egy 4-es vektor hosszát egy térben a Minkowski-metrikával .

ds^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}-e_{4}^{2}.

Fock [7] és Bargman [8] negatív és pozitív energiákat is figyelembe vett. Bender és Itsikson [31] [32] is enciklopédikusan foglalkozott velük .

Forgatások szimmetriája négydimenziós térben

A Kepler-probléma és az SO(4) négydimenziós térbeli forgások közötti kapcsolat egészen egyszerűen megjeleníthető [31] [33] [34] . Legyen megadva a négydimenziós térben a derékszögű koordináták , melyeket jelölünk , ahol a háromdimenziós vektor szokásos helyzetének derékszögű koordinátáit jelentik . A 3D impulzusvektor a 4D egységgömbön lévő 4D vektorhoz kapcsolódik $(w,\;x,\;y,\;z)$ $(x,\;y,\;z)$ $\mathbf {r}$ ${\mathbf {p}}$ ${\boldsymbol {\eta ))$

{\boldsymbol \eta }={\frac {p^{2}-p_{0}^{2}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}{\mathbf {{\hat {w))))+{\frac {2p_{0}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}{\mathbf {p}}={\frac {mk-rpp_{0 }}{mk}}{\mathbf {{\hat {w}}}}+{\frac {rp_{0}}{mk}}{\mathbf {p}},

ahol az egységvektor az új tengely mentén . Mivel csak három független komponense van, ez a vektor megfordítható úgy, hogy megkapjuk a kifejezést . Például egy komponenshez ${\mathbf {{\hat {w))))$ $w$ ${\boldsymbol {\eta ))$ ${\mathbf {p}}$ $x$

p_{x}=p_{0}{\frac {\eta _{x}}{1-\eta _{w}}}

és hasonlóan a és számára . Más szavakkal, a háromdimenziós vektor egy négydimenziós vektor sztereográfiai vetülete, szorozva ezzel (8. ábra). $p_{y}$ $p_{z}$ ${\mathbf {p}}$ ${\boldsymbol {\eta ))$ $p_{0}$

Az általánosság elvesztése nélkül kiküszöbölhetjük a normál forgásszimmetriát , ha derékszögű koordinátákat választunk , ahol a tengely a szögimpulzusvektor mentén irányul, a momentumhodográf pedig a 7. ábrán látható módon helyezkedik el, a tengelyen körközéppontokkal . Mivel a mozgás síkban történik, és és merőlegesek, ezért a figyelem egy háromdimenziós vektorra összpontosítható . Az impulzushodográfok Apollonius-köreinek családja (7. ábra) a háromdimenziós gömbön lévő nagy körök halmazának felel meg , amelyek mindegyike metszi a tengelyt ebben a két gócban , amelyek megfelelnek az impulzushodográf gócainak . A nagy köröket egyszerű tengely körüli forgatás köti össze (8. ábra). Ez a forgásszimmetria minden azonos energiájú pályát egymásba alakít át; azonban egy ilyen elforgatás merőleges a közönséges háromdimenziós forgatásokra, mivel átalakítja a negyedik dimenziót . Ez a magasabb szimmetria a Kepler-problémára jellemző, és megfelel a Laplace-Runge-Lenz vektor megmaradásának. $z$ $\mathbf{L}$ $y$ ${\mathbf {p}}$ $L$ $p_{z}=\eta _{z}=0$ ${\boldsymbol {\eta }}=(\eta _{w},\;\eta _{x},\;\eta _{y})$ ${\boldsymbol {\eta ))$ $\eta _{x}$ $\eta _{x}=\pm 1$ $p_{x}=\pm p_{0}$ $\eta _{x}$ $\eta _{w}$

A Kepler-probléma szöghatás-változókat használó elegáns megoldása a redundáns négydimenziós koordináta eltávolításával és elliptikus hengerkoordinátákkal [35] érhető el. ${\boldsymbol {\eta ))$ $(\alpha ,\;\beta ,\;\varphi )$

\eta _{w}={\mathrm {cn}}\,\alpha \,{\mathrm {cn}}\,\beta,

\eta _{x}={\mathrm {sn}}\,\alpha \,{\mathrm {dn}}\,\beta \cos \varphi ,

\eta _{y}={\mathrm {sn}}\,\alpha \,{\mathrm {dn}}\,\beta \sin \varphi ,

\eta _{z}={\mathrm {dn}}\,\alpha \,{\mathrm {sn}}\,\beta,

ahol a Jacobi elliptikus függvényeket használjuk : , és . ${\mathrm {sn}}$ ${\mathrm {cn))$ ${\mathrm {dn}}$

Alkalmazások és általánosítások

A hidrogénatom kvantummechanikája

A Poisson zárójelek egyszerű módot kínálnak a klasszikus rendszerek kvantálására . Két kvantummechanikai operátor kommutátora megegyezik a megfelelő klasszikus változók Poisson-zárójelének szorzatával [36] -kal . Ennek a kvantálásnak és a Kepler-probléma Casimir-operátorának sajátértékeinek kiszámításával Wolfgang Pauli levezette a hidrogénszerű atom energiaspektrumát (9. ábra), és ezáltal az atomemissziós spektrumát [3] . Ezt az elegáns megoldást a Schrödinger -egyenlet megszerzése előtt kaptuk [37] . $i\hbar$ $C_{1}$

A Laplace-Runge-Lenz vektor kvantummechanikai operátorának sajátossága, hogy az impulzus- és a szögimpulzus-operátorok nem ingáznak egymással, ezért a vektorszorzatot gondosan meg kell határozni [ 38] . A derékszögű koordináta-rendszer operátorait általában a szimmetrikus szorzat segítségével határozzák meg $\mathbf {A}$ ${\mathbf {p}}$ $\mathbf{L}$ $Mint$

A_{s}=-mk{\hat {r}}_{s}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j= 1}^{3}\varepsilon _{sij}(p_{i}l_{j}-l_{i}p_{j}),

amelyből meghatározzák a megfelelő létraoperátorokat

A_{0}=A_{3},

A_{{\pm 1}}=\mp {\frac {1}{{\sqrt {2}}}}(A_{1}\pm iA_{2}).

Hasonló módon definiálható az első Casimir invariáns normalizált operátora is

C_{1}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}}}H^{{-1}}-I,

ahol az operátor inverz az energia operátorral ( Hamilton ) és az identitás operátor. Ezeket a létraoperátorokat a teljes impulzusimpulzus, azimutális impulzusimpulzus és energiaoperátorok sajátállapotaira alkalmazva megmutathatjuk, hogy az első Casimir-operátor sajátállapotait . Ezért az energiaszinteket a $H^{{-1}}$ $én$ $|lmn\rangle$ $n^{2}-1$

E_{n}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}n^{2}}},

amely megegyezik a hidrogénatom Rydberg-képletével (9. ábra).

Általánosítás más potenciálokra és SRT-re

A Laplace-Runge-Lenz vektort más potenciálokra, sőt a speciális relativitáselméletre is általánosították . Ennek a vektornak a legáltalánosabb formája a következőképpen írható fel: [11]

{\mathcal {A}}=\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})+\left [\xi -u\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\right]L^{2}{\mathbf {{\hat {r))))

ahol (lásd Bertrand tételét ) és , a következő szöggel $u=1/r$ $\xi =\cos \theta$ $\theta$

\theta =L\int \limits ^{u}{\frac {du}{{\sqrt {m^{2}c^{2}(\gamma ^{2}-1)-L^{2}u ^{2}}}}}.

Itt van a relativisztikus tényező . Mint korábban, a konzervált binormális vektort megkaphatjuk a konzervált szögimpulzus vektorral való keresztszorzat alapján. $\gamma$ $\mathbf {B}$

{\mathcal {B}}={\mathbf {L}}\times {\mathcal {A}}.

Ez a két vektor összevonható egy konzervált kétkomponensű tenzorba $W$

{\mathcal {W}}=\alpha {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}+\beta {\mathcal {B}}\otimes {\mathcal {B}}.

Példaként kiszámítjuk a Laplace-Runge-Lenz vektort egy nem relativisztikus izotróp harmonikus oszcillátorra. [11] Tekintsük a központi erőt:

{\mathbf {F}}(r)=-k{\mathbf {r}}

a szögimpulzus vektor megmarad, ezért a mozgás síkban történik. A megőrzött tenzort egyszerűbb formában is átírhatjuk:

{\mathbf {W}}={\frac {1}{2m}}{\mathbf {p}}\otimes {\mathbf {p}}+{\frac {k}{2}}{\mathbf {r }}\otimes {\mathbf {r}},

bár meg kell jegyezni, hogy és nem merőlegesek, csak úgy, mint . A megfelelő Laplace-Runge-Lenz vektor jelölése összetettebb $p$ $r$ $A$ $B$

{\mathbf {A}}={\frac {1}{{\sqrt {mr^{2}\omega _{0}A-mr^{2}E+L^{2))))}\{ ({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})+(mr\omega _{0}A-mrE){\mathbf {{\hat {r}}}}\},

hol van az oszcillátor frekvenciája. $\omega _{0}={\sqrt {{\frac {k}{m))))$

Lásd még

Irodalom

↑ Arnold V. I. . A klasszikus mechanika matematikai módszerei. 5. kiadás - M. : Szerkesztői URSS, 2003. - 416 p. — ISBN 5-354-00341-5 . ; online elektronikus formában a 3. sz. 1988, lásd 8. függelék, 381. oldal
↑ 1 2 3 4 Goldstein G. . Klasszikus mechanika. 2. kiadás — M .: Nauka, 1975. — 415 p.
↑ 1 2 3 Pauli, W. Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik (német) // Zeitschrift für Physik : magazin. - 1926. - Bd. 36 . - S. 336-363 .
↑ 1 2 Hamilton, W. R. A Hodográf, avagy a Newtoni vonzás törvényének szimbolikus nyelven való kifejezésének új módja // Proceedings of the Royal Irish Academy : folyóirat. - 1847. - Kt. 3 . - P. 344-353 .
↑ Hickok F. A. . Űrrepülési térképek. - M . : Mashinostroenie, 1968. - 133 p. - Ch. 3. Pályaelemzés poláris diagramok segítségével, p. 42.
↑ Gould H., Tobochnik Ya. Számítógépes modellezés a fizikában. T. 1. - M . : Mir, 1990. - 352 p. — ISBN 5-03-001593-0 . . — 4.9. feladat. A pályák tulajdonságai a sebességtérben, p. 88.
↑ 1 2 3 Fock, V. Zur Theorie des Wasserstoffatoms (német) // Zeitschrift für Physik : magazin. - 1935. - Bd. 98 . - S. 145-154 .
↑ 1 2 3 Bargmann, V. Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock (német) // Zeitschrift für Physik : magazin. - 1936. - Bd. 99 . - S. 576-582 .
↑ 1 2 Goldstein, H. A Runge-Lenz vektor őstörténete // American Journal of Physics : folyóirat. - 1975. - 1. évf. 43 . - P. 735-738 .
Goldstein, H. Bővebben a Runge-Lenz vektor előtörténetéről // American Journal of Physics : folyóirat. - 1976. - 1. évf. 44 . - P. 1123-1124 .
↑ 1 2 3 Hamilton, W. R. A kvaterniók módszerének alkalmazásáról néhány dinamikus kérdésre // Proceedings of the Royal Irish Academy : folyóirat. - 1847. - Kt. 3 . - P. III. függelék, pp. xxxvi-l .
↑ 1 2 3 4 5 Fradkin, D. M. Az O 4 és SU 3 dinamikus szimmetriák létezése minden klasszikus központi potenciálproblémára // Progress of Theoretical Physics : folyóirat. - 1967. - 1. évf. 37 . - P. 798-812 .
↑ 1 2 Yoshida, T. A Laplace-Runge-Lenz vektor általánosításának két módszere // European Journal of Physics : folyóirat. - 1987. - 1. évf. 8 . - 258-259 . o .
↑ Hermann, J. Metodo d'investigare l'orbite de' pianeti // Giornale de Letterati D'Italia. - 1710. - T. 2 . - S. 447-467 .
Hermann, J. Extrait d'une lettre de M. Herman à M. Bernoulli datée de Padoüe le 12. Juillet 1710 (fr.) // Histoire de l'academie royale des sciences (Párizs) : magazin. - 1710. - Kt. 1732 . - P. 519-521 .
↑ Bernoulli, J. Extrait de la Réponse de M. Bernoulli à M. Herman datée de Basle le 7. Octobre 1710 (fr.) // Histoire de l'academie royale des sciences (Párizs): magazin. - 1710. - Kt. 1732 . - P. 521-544 .
↑ Laplace P.S. Traite de mecanique celeste. Tome I, Premier Party, Livre II. - Párizs, 1799. - P. 165kk.
↑ Gibbs J. W. , Gibbs E. B .. Vektor elemzés. - New York: Scribners, 1901. - 436 p. — 135. o.
↑ Runge C. . vektoranalízis. bd. I. - Lipcse: Hirzel, 1919. - 436 p.
↑ Lenz, W. Über den Bewegungsverlauf und Quantenzustände der gestörten Keplerbewegung (német) // Zeitschrift für Physik : magazin. - 1924. - Bd. 24 . - S. 197-207 .
↑ Evans, N. W. Superintegrability in classical mechanics // Physical Review A : Journal . - 1990. - 1. évf. 41 . - P. 5666-5676 .
↑ Sommerfeld A. . Atomszerkezet és színképvonalak. – London: Methuen, 1923. – 118 p.
↑ 1 2 3 Landau LD , Lifshitz EM . mechanika. 3. kiadás - Pergamon Press, 1976. - ISBN 0-08-029141-4 . . — 154. o.; Landau L.D. , Lifshitz E.M .. Mechanika. 5. kiadás - M. : Fizmatlit, 2004. - 224 p. — (Elméleti fizika tantárgy 1. kötet). - ISBN 5-9221-0055-6 . — 15. §. Kepleri probléma, „konzervált vektor”, p. 56; 52. § Feltételesen periodikus mozgás, polárkoordinátabeli megoldási feladat, p. 217.
↑ Evans, N. W. A Smorodinsky-Winternitz rendszer csoportelmélete // Journal of Mathematical Physics : folyóirat. - 1991. - 1. évf. 32 . - P. 3369-3375 .
↑ Dulock, V. A.; McIntosh H. V. A Kepler-probléma degenerációjáról // Pacific Journal of Mathematics : folyóirat. - 1966. - 1. évf. 19 . - P. 39-55 .
↑ Redmond, P. J. A Runge-Lenz vektor általánosítása elektromos mező jelenlétében // Fizikai áttekintés : folyóirat . - 1964. - 1. évf. 133 . - P.B1352-B1353 .
↑ 1 2 Einstein, A. Erklärung der Perihelbeivegung der Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie (német) // Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften: magazin. - 1915. - Bd. 47 , sz. 2 . - S. 831-839 .
↑ Le Verrier, U. J. J. Sur la théorie de Mercure et sur le mouvement du périhélie de cette planète; Lettre de M. Le Verrier à M. Faye (fr.) // Comptes Rendus de l'Academie de Sciences (Párizs): folyóirat. - 1859. - Kt. 49 . - P. 379-383 . [egy]
↑ Will C. M. . Általános relativitáselmélet, egy Einstein-századi felmérés / Szerk. S. W. Hawking és W. Israel. – Cambridge: Cambridge University Press, 1979.
↑ Pais, A.. Finom az Úr: Albert Einstein tudománya és élete (angol). –Oxford University Press, 1982.
Pais, Abraham. . Albert Einstein tudományos tevékenysége és élete / Szerk. A. A. Logunova. —M.: Nauka, 1989. — 566 p. —ISBN 5-02-014028-7. .
↑ Lévy-Leblond, JM (1971). „Megőrzési törvények szelvényinvariáns lagrangiák számára a klasszikus mechanikában.” American Journal of Physics . 39 (5): 502-506. Bibcode : 1971AmJPh..39..502L . DOI : 10.1119/1.1986202 .
↑ 1 2 Prince, G. E.; Eliezer C. J. A klasszikus Kepler-probléma hazugságszimmetriáiról // Journal of Physics A: Mathematical and General : folyóirat. - 1981. - 1. évf. 14 . - P. 587-596 .
↑ 1 2 Bander, M.; Itzykson C. Csoportelmélet és a hidrogénatom (I ) // Reviews of Modern Physics : folyóirat. - 1966. - 1. évf. 38 . - P. 330-345 .
↑ Bander, M.; Itzykson C. Csoportelmélet és a hidrogénatom (II ) // Reviews of Modern Physics : folyóirat. - 1966. - 1. évf. 38 . - P. 346-358 .
↑ Rogers, H. H. A klasszikus Kepler-probléma szimmetriai transzformációi // Journal of Mathematical Physics : folyóirat. - 1973. - 1. évf. 14 . - P. 1125-1129 .
↑ Guillemin, V.; Sternberg S. Variációk egy témára Keplertől. - American Mathematical Society Colloquium Publications, 42. kötet, 1990. .
↑ Lakshmanan, M.; Hasegawa H. A Kepler-probléma kanonikus ekvivalenciájáról koordináta- és impulzusterekben (angol) // Journal of Physics A : folyóirat. — Vol. 17 . - P.L889-L893 .
↑ Dirac P.A.M. A kvantummechanika alapelvei. 4. kiadás (angol) . – Oxford University Press, 1958.
↑ Schrödinger, E. Quantisierung als Eigenwertproblem // Annalen der Physik . - 1926. - T. 384 . - S. 361-376 .
↑ Bohm A. . Kvantummechanika: alapok és alkalmazások. 2. kiadás. - Springer Verlag, 1986. - P. 208-222.

Linkek

Leach, PGL; Flessas háziorvos. A Laplace - Runge - Lenz vektor általánosításai // J. Nonlinear Math. Phys. : folyóirat. - 2003. - 1. évf. 10 . - P. 340-423 . A cikk a Laplace-Runge-Lenz vektor általánosításával foglalkozik a Coulomb-tól eltérő potenciálokra. archive.org