Görbék differenciálgeometriája

A görbék differenciálgeometriája a differenciálgeometria egyik ága , amely az euklideszi tér sima térbeli és síkgörbéinek analitikai módszerekkel történő vizsgálatával foglalkozik.

A görbe meghatározásának módjai

A térgörbe egyenletének beállításának legáltalánosabb módja a paraméteres :

x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t)\qquad \qquad

(egy)

ahol a , és (szabályossági feltétel) paraméter sima függvényei . $x(t),\y(t),\z(t)$ $t$ $(x')^{2}+(y')^{2}+(z')^{2}\ >0$

Gyakran célszerű egy görbe egyenletének invariáns és kompakt jelölését vektorfüggvény segítségével használni :

{\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(t)

ahol a bal oldalon a görbe pontjainak sugárvektora , a jobb oldalon pedig annak valamely paramétertől való függése . Ezt a jelölést koordinátákkal bővítve megkapjuk az (1) képletet. $t$

A görbét meghatározó függvények differenciálhatósági tulajdonságaitól függően a görbe simaságának (szabályszerűségének) mértékéről beszélünk. Egy görbét regulárisnak nevezünk, ha bármely pontjára egy derékszögű derékszögű koordinátarendszer megfelelő megválasztásával lehetővé teszi, hogy e pont közelében a következő alakú egyenletekkel adjuk meg: $x(t),\y(t),\z(t)$ $x,\y,\z$

y=y(x),\z=z(x)

ahol és vannak differenciálható függvények. $y(x)\$ $z(x)\$

Ahhoz, hogy az (1) általános egyenlet által adott görbe pontja közönséges pont legyen (nem szinguláris pont ), elegendő, ha a következő egyenlőtlenség érvényesül ebben a pontban

(x')^{{2}}+(y')^{{2}}+(z')^{{2}}\ >0.

A differenciálgeometria figyelembe veszi a darabonkénti sima görbéket is, amelyek szinguláris pontokkal elválasztott sima szakaszokból állnak. Szinguláris pontokban a definiáló függvények vagy nem teljesítik a szabályossági feltételeket, vagy egyáltalán nem differenciálhatók.

Lapos görbék

A görbék fontos osztálya a síkgörbék, vagyis a síkban fekvő görbék. Egy síkgörbe paraméteresen is megadható, a három (1) egyenlet közül az első kettővel. Egyéb módszerek:

Explicit hozzárendelés: . $y=f(x)\$
Implicit hozzárendelés: . $F(x,\y)=0$

Feltételezzük, hogy a függvények folyamatosan differenciálhatók. Implicit hozzárendelés esetén a görbe egy pontja közönséges lesz, ha a függvény szomszédságában olyan folytonos parciális deriváltak vannak, amelyek egyidejűleg nem egyenlők nullával. $f,\ F$ $F(x,y)\$ $F_{x}',\ F_{y}'$

Adjunk példákat síkgörbék szinguláris pontjaira.

Félköbös parabola : Mindkét származék nulla az origóban. Ez egy szinguláris pont (az első típusú csúcs), ahol az érintővektor hirtelen irányt vált az ellenkezőjére. $x=t^{2};\ \ y=kukac^{3}.$
Az egyenlet egy egyenesből és az origóban lévő izolált szinguláris pontból álló görbét definiálja . $(x-1)(x^{2}+y^{2})\ =0$ $x=1\$

A Bernoulli-féle lemniszkátus szinguláris pont az önmetszéspontban. A szinguláris pontban a függvény differenciálható, de a szabályossági feltétel sérül.

Kapcsolat

A görbeelmélet számos alapfogalmát a halmazok érintkezésének fogalma segítségével vezetjük be , amely a következőkből áll. Legyen és két halmaz közös ponttal . Egy halmazról azt mondják , hogy kapcsolatban áll a megrendelési ponton , ha $M$ $m$ $O$ $M$ $m$ $O$ $\alpha \geqslant 1$

{\frac {\delta (X)}{\left|XO\right|^({\alpha ))))\0-ra

, _

X\-nek O

hol van a beállított pont távolsága -tól . $\delta (X)$ $x$ $M$ $m$

A görbékre vonatkoztatva ez a következőket jelenti: egy közös pontban lévő két görbe érintési foka legalább k -edik nagyságrendű, ha a közös pontban lévő deriváltjaik a k -edik nagyságrendig egybeesnek.

Érintő

Ha egy görbét a-nak veszünk, és a görbe egy pontján áthaladó egyenest , akkor az érintkezési feltétel mellett meghatározza a pontban a görbe érintőjét (1. ábra). A görbe egy pontjában lévő érintőt úgy is meghatározhatjuk, mint a szekáns határhelyzetét, amely áthalad azon a ponton és közel van ahhoz a ponthoz , amikor arra hajlik . $M$ $m$ $O$ $\alpha \geqslant 1$ $O$ $P$ $P$ $P_1$ $P_1$ $P$

Egy sima szabályos görbének minden pontjában határozott érintője van. Az (1) egyenlet által adott görbe pontjában az érintő iránya egybeesik a vektor irányával . A vektorjelölésben ez a derivált . $t_0$ $\{x'(t_{0}),\ y'(t_{0}),\ z'(t_{0})\}$ ${\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}(t_{0})$

A differenciálgeometriában érintőegyenleteket vezetnek le a görbe analitikus meghatározásának különféle módjaira. Különösen az (1) egyenletekkel megadott görbe esetén a paraméter értékének megfelelő pontban lévő érintő egyenletei $t_0$

{\frac {X-x_{0}}{x_{0}'}}={\frac {Y-y_{0}}{y_{0}'}}={\frac {Z-z_{0} }{z_{0}'}}

ahol az index a függvények és deriváltjaik értékét jelzi a pontban . ${}_{0}\$ $x,y,z\$ $t_{0}\$

Síkgörbe esetén az érintőegyenlet egy pontban a következő alakú. $(x_{0},\ y_{0})$

Paraméteres feladat: $Y=y_{0}+{\frac {y_{0}'}{x_{0}'}}(X-x_{0})$
Explicit megbízás: $Y=y_{0}+f_{0}'(X-x_{0})\$
Implicit munka: $Y=y_{0}-{\frac {(F_{x}')_{0}}{(F_{y}')_{0}}}(X-x_{0})$

Összefüggő sík és normálok

Ha a görbe pontján átmenő síkot vesszük , akkor az at érintkezési feltétel határozza meg a görbe érintkezési síkját (1. ábra). A kétszeresen differenciálható görbének minden pontjában van egy összefüggő síkja. Ez vagy egyedi, vagy bármely, a görbe érintőjén áthaladó sík érintő. $m$ $O$ $M$ $\alpha \geqslant 2$

Legyen a görbe egyenlete. Ekkor a szomszédos sík egyenletét abból az összefüggésből határozzuk meg, ahol és zárójelben a vektorok vegyes szorzata . Koordinátákban ez így néz ki: ${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(t)$ $(\mathbf {R} -\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',\mathbf {r} '')=0,$ $\mathbf {R} =(X,Y,Z)$

{\begin{vmatrix}Xx&Y-y&Z-z\\x'&y'&z'\\x''&y''&z''\end{vmatrix}}=0

Az érintőre merőleges és az érintkezési ponton átmenő egyenest a görbe normálisának nevezzük . A görbe adott pontjában az érintőre merőleges síkot normálsíknak nevezzük ; egy adott pontra vonatkozó összes normális a normálsíkban található. Az érintkezési síkban fekvő normált főnormálnak , az érintési síkra merőlegeset pedig binormálisnak [1] nevezzük . Szintén a rövidség kedvéért az ezen vonalak mentén lévő egységvektorokat normálisnak és binormálisnak nevezhetjük (ebben az esetben a fő normálvektor irányát általában úgy választjuk meg, hogy egybeessen a görbe görbületi vektorának irányával [2] ).

A binormális vektoregyenlete a paraméter értékének megfelelő pontban a következő alakú: $t_0$ $t$

{\boldsymbol {r}}(\lambda )={\boldsymbol {r}}(t_{0})+\lambda [{\boldsymbol {r}}'(t_{0}),~{\boldsymbol {r }}''(t_{0})].

A főnormál irányát kettős keresztszorzatként kaphatjuk meg : . $[[\mathbf {r} ',\ \mathbf {r} ''],\ \mathbf {r} ']$

Síkgörbe esetén az azt tartalmazó sík egybeesik az érintősíkkal. A normál, az előjelig, csak egy - a fő, és egy pontban lévő egyenlete a következő. $(x_{0},\ y_{0})$

Paraméteres feladat: $Y=y_{0}-{\frac {x_{0}'}{y_{0}'}}(X-x_{0})$
Explicit megbízás: $Y=y_{0}-{\frac {X-x_{0}}{f_{0}'}}$
Implicit munka: $Y=y_{0}+{\frac {(F_{y}')_{0}}{(F_{x}')_{0}}}(X-x_{0})$

Egybefüggő kör

A görbét egy adott pontban érintõ kör rendre érintkezik a görbével ( 2. ábra). A nullától eltérő görbületű, kétszeresen differenciálható görbe minden pontjában létezik (lásd alább), és egyúttal a határa az átmenő körnek és két közeli pontnak, amikor arra irányul . $P$ $\alpha \geqslant 2$ $P$ $P_{1},\ P_{2}$ $P_{1},\ P_{2}$ $P$

Az összefüggő kör középpontját görbületi középpontnak , a sugarat pedig görbületi sugárnak nevezzük . A görbületi sugár a görbület reciproka (lásd alább). Az érintõ kör középpontja mindig a fõnormálon fekszik; ebből következik, hogy ez a normál mindig a görbe homorúsága felé irányul .

A görbék görbületi középpontjainak helyét evolúciónak nevezzük . A görbe érintőit merőlegesen metsző görbét evolvensnek nevezzük . Az evolúció és az evolúció felépítése kölcsönösen inverz műveletek, vagyis egy adott görbe evolúciója esetén az evolúció maga a görbe.

Görbe ív hossza

Egy tetszőleges görbe szakaszának (ívének) hosszának méréséhez ezt a görbét egy olyan vonallánccal helyettesítjük, amely görbepontokat tartalmaz töréspontként, és az összes ilyen vonallánc hosszának maximális összegét veszi a görbe hosszának (ábra 1). 3). Invariáns formában az ív hosszának kiszámítására szolgáló képlet ( görbe kiegyenesítése ) a következő:

s=\int \limits _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}|{\mathbf {r'}}(t)|\,dt

Ugyanez derékszögű koordinátákkal:

s=\int \limits _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2 }+(z'(t))^{2}}}\,dt.

Poláris koordinátákban sík görbe esetén:

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\, d\théta .

Parametrizálás

A görbe végtelen számú, különböző paraméteres hozzárendelési módot enged meg az (1) alakú egyenletekkel. Ezek közül különösen fontos az úgynevezett természetes paraméterezés , amikor a görbe ívének valamely fix pontból mért hossza szolgál paraméterként.

Ennek a paraméterezésnek az előnyei közé tartozik:

${\mathbf {r))'$ egységnyi hosszúságú, ezért egybeesik az érintő egységvektorával.
${\mathbf {r))''$ hosszában egybeesik a görbülettel, irányában pedig a főnormállal.

Görbület

Egy görbe mentén haladva annak érintője irányt változtat. Ennek a forgásnak a sebességét (az érintő végtelenül kis ideig tartó forgási szögének aránya ehhez az intervallumhoz) egyenletes, egységnyi sebességgel, a görbe mentén történő mozgással a görbe görbületének nevezzük . Az érintő pozitív egységvektorának időderiváltját ebben az esetben a görbe görbületi vektorának nevezzük . Mindkettő a görbe egy pontjának függvénye. A görbület a görbületi vektor abszolút értéke.

Egy görbe tetszőleges paraméteres megadása esetén [3] a görbe háromdimenziós térbeli görbületét a képlet határozza meg

k_{1}={\frac {\left|[\mathbf {r} '(t)\times \ \mathbf {r} ''(t)]\right|}{\left|\mathbf { r} '(t)\right|^{3}}}

ahol egy vektorfüggvény koordinátákkal . ${\mathbf {r}}(t)$ $x(t),\y(t),\z(t)$

Koordinátákban:

k_{1}={\frac {{\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+( y''x'-x''y')^{2}}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{{3/2}} }}

Nagyobb dimenziójú térben lévő görbe esetén az itt szögletes zárójelekkel jelölt keresztszorzat helyettesíthető a külső szorzattal .

Ezenkívül bármilyen méretű térben lévő görbéhez használhatja a görbületi vektor képletet:

{\mathbf k}={\frac {d{\mathbf \tau }}{dl}}

és az a tény, hogy a görbület a modulusa, valamint az egység érintővektor kifejezése

{\mathbf \tau }={\frac {d{\mathbf r}}{dl}}={\frac {r'}{|r'|}}

és

dl=|{\mathbf r}'|dt,

és kapja meg a görbület képletét:

k=\left|{\frac {1}{|{\mathbf r}'|}}\left({\frac {{\mathbf r}'}{|{\mathbf r}'|}}\jobb) '\jobbra|,

vagy nyitó zárójelben:

k=\left|{\frac {{\mathbf r}''}{({\mathbf r}')^{2))}-{\mathbf r}'{\frac {({\mathbf r}' ',{\mathbf r}')}{({\mathbf r}')^{4))}\right|.

Az egyenes vonalak és csak az egyenesek mindenhol nulla görbülettel rendelkeznek. Ezért a görbület jól mutatja, hogy (egy adott pontban) miben tér el a görbe az egyenestől: minél közelebb van a görbület a nullához, annál kisebb ez a különbség. Az R sugarú kör görbülete 1/R.

A kétszeresen differenciálható görbének minden pontban, ahol a görbület nem nulla, egyetlen összefüggő síkja van.

Síkgörbéknél a görbe mentén haladva meg lehet különböztetni az érintő forgásirányát, így a görbület a forgás irányától függően előjellel rendelhető. Az egyenletek által adott síkgörbe görbületét a képlet határozza meg $x=x(t),\ y=y(t)$

k=\pm {\frac {y''x'-x''y'}{(x'^{2}+y'^{2})^{{3/2))))

A vagy jelet megegyezés szerint veszik, de a teljes görbe mentén megmaradnak. $+$ $-$

Torzió

Egy adott pont közelében görbe mentén haladva az érintkező sík elfordul, és a görbe érintője ennek a forgásnak a pillanatnyi tengelye. Az érintkező sík forgási sebességét egyenletes, egységnyi sebességű mozgás során torziónak nevezzük . A forgásirány határozza meg a csavarás jelét.

A háromszor differenciálható görbének minden pontjában van egy bizonyos torzió, ahol a görbület nem nulla. A görbe tetszőleges paraméteres megadása esetén az (1) egyenletekkel a görbe torzióját a képlet határozza meg

k_{2}={\frac {(\mathbf {r} ',\mathbf {r} '',\mathbf {r} ''')}{\left|[\mathbf {r} '\ alkalommal \ \mathbf {r} '']\right|^{2}}},

itt a vegyes szorzatot jelöli és a vektorszorzatot , azaz a vektorszorzatot jelöli. $(*,*,*)$ $[*,*]$

k_{2}={\frac {x'''(y'z''-y''z')+y'''(x''z'-x'z'')+z'''( x'y''-x''y')}{(y'z''-y''z')^{2}+(x''z'-x'z'')^{2}+ (x'y''-x''y')^{2}}}.

Egyenes esetén a torzió nincs meghatározva, mivel az érintősík kétértelműen definiált. A síkgörbe minden pontjában nulla torziós. Ezzel szemben az azonosan nulla torziójú görbe lapos.

Frenet képletei

Természetes triédernek nevezzük azt az alakzatot, amely egy érintőből, egy főnormálból és egy binormálisból, valamint három, ezeket az egyeneseket párokban tartalmazó síkból áll össze ( Frenet triéder , lásd 4. ábra). Az érintő- és normálsíkról már szó esett; az érintőt és a binormálist tartalmazó harmadik síkot egyenirányítónak nevezzük .

Ha egy természetes háromszög éleit a görbe adott pontjában egy derékszögű derékszögű koordináta-rendszer tengelyeinek tekintjük, akkor a természetes paraméterezésben a görbe egyenlete ennek a pontnak a közelében kitágul a koordináta mentén sorba. a görbe:

x=s+\dots ,\qquad y={\frac {k_{1}}{2}}s^{2}+\dots ,\qquad z=-{\frac {k_{1}k_{ 2}}{6}}s^{3}+\pontok ...,

ahol és a görbület görbülete és torziója a megadott pontban. $k_{1}\$ $k_{2}\$

A görbe érintőjének, főnormáljának és binormálisának egységvektorai a görbe mentén mozogva változnak. E vektorok irányának megfelelő megválasztásával a következő képleteket kapjuk a görbület és a csavarodás definíciójából: ${\boldsymbol {{\vec t}}},\ {\boldsymbol {{\vec n}}},\ {\boldsymbol {{\vec b}}}$

{\frac {d{\boldsymbol {{\vec t)))){ds}}=k_{1}{\boldsymbol {{\vec n}}}

(2)

{\frac {d{\boldsymbol {{\vec n)))){ds}}=-k_{1}{\boldsymbol {{\vec t}}}+k_{2}{\boldsymbol {{\vec b}}}\qquad

{\frac {d{\boldsymbol {{\vec b)))){ds}}=-k_{2}{\boldsymbol {{\vec n}}}

ahol a differenciálódás a görbe íve mentén megy. A (2) képleteket Frenet képleteknek vagy Frenet- Serret képleteknek nevezzük .

Kinematikai értelmezés

Egy adott görbe ívének hosszát tekintjük időnek, a Frenet triédert pedig a görbe mentén mozgó merev testnek. Ekkor ez a mozgás minden időpillanatban transzlációs (az érintő mentén) és pillanatnyi szögsebességű forgásból áll ( a Darboux vektor ). Frenet képletei a következőket jelentik: ${\boldsymbol {{\vec \omega ))}$

{\boldsymbol {{\vec \omega }}}=k_{1}\ {\boldsymbol {{\vec b}}}+k_{2}\ {\boldsymbol {{\vec t}}}

Ez azt jelenti, hogy a pillanatnyi forgásvektor az egyenirányító síkban fekszik és 2 komponensre oszlik: forgás a binormális körül sebességgel (forgás) és forgás az érintő körül sebességgel (torzió). $k_{1}\$ $k_{2}\$

Természetes görbe egyenletek

A nullától eltérő görbületű görbét teljesen definiáljuk (a térbeli pozícióig), ha görbületét és torzióját a görbe ívének függvényében adjuk meg. Ebben a tekintetben az egyenletrendszer $s$

k_{1}=k_{1}(s),~~k_{2}=k_{2}(s)

görbe természetes egyenleteinek nevezzük .

Példa

Tekintsünk egy csavarvonalat (4. ábra), amelyet az egyenletek adnak meg:

x(t)=a\ \cos t

y(t)=a\ \sin t

z(t)=b\t

A fenti képletek alapján a következőket kapjuk:

k_{1}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}

k_{2}={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}

Így a spirál görbülete és torziója állandó. Mivel a természetes egyenletek egyedileg határozzák meg a görbe alakját, nincs más, állandó görbületű és torziós görbe. A csavarvonal határesetei a kör (ezt a pontban kapjuk ) és egy egyenes ( ). $b=0\,\!$ $a=0\,\!$

Jegyzetek

↑ Binormal // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.
↑ A görbét egy adott pontban érintő sík tehát az a sík, amelyben az érintővektor és a görbületi vektor található, feltételezve, hogy ezen vektorok mindegyike a görbe adott pontjából ered.
↑ azaz. ha a görbe mentén mozog, általában véve nem állandó sebességgel, mivel a t paraméter növekszik .

Lásd még

Irodalom

Pogorelov A. V. Differenciálgeometria (6. kiadás). Moszkva: Nauka, 1974.
Rashevsky P. K. Differenciálgeometria tanfolyam (3. kiadás). M.-L.: GITTL, 1950.
Toponogov, V. A. Görbék és felületek differenciálgeometriája . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .