Tangens vonal

Az érintővonal egy olyan egyenes, amely a görbe egy pontján halad át, és egybeesik vele ebben a pontban egészen az első sorrendig.

Szigorú meghatározás

Legyen a függvény definiálva a pont valamelyik környezetében , és legyen benne differenciálható : . Egy függvény grafikonjának érintővonala egy pontban egy lineáris függvény grafikonja , amelyet az egyenlet ad meg $f\colon U(x_{0})\subset {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $x_{0}\in {\mathbb {R}}$ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ $f$ $x_{0}$ $y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\in {\mathbb {R))$ .
Ha egy függvénynek egy pontban végtelen deriváltja van, akkor az érintővonal ebben a pontban az egyenlet által megadott függőleges egyenes $f$ $x_{0}$ $f'(x_{0})=\pm \infty ,$ $x=x_{0}.$

Megjegyzés

A definícióból egyenesen következik, hogy az érintő egyenes grafikonja átmegy a ponton . A görbe érintője és az x tengely közötti szög kielégíti az egyenletet $(x_{0},f(x_{0}))$ $\alpha$

\operátornév {tg}\,\alpha =f'(x_{0})=k,

ahol az érintőt jelöli , és az érintő meredekségi együtthatója. A derivált egy pontban egyenlő a függvény grafikonjának érintőjének meredekségével abban a pontban. $\operátornév {tg}$ $\operátornév {k}$ $x_{0}$ $y = f(x)$

Az érintő mint egy szekáns határhelyzete

Legyen és Ezután a pontokon átmenő egyenes és az egyenlet adja meg $f\colon U(x_{0})\ to \mathbb{R}$ $x_{1}\in U(x_{0}).$ $(x_{0},f(x_{0}))$ $(x_{1},f(x_{1}))$

y=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}) .

Ez az egyenes átmegy bármely ponton, és a meredeksége kielégíti az egyenletet $(x_{0},f(x_{0}))$ $x_{1}\U(x_{0}),$ $\alpha (x_{1})$

\operátornév {tg}\,\alpha (x_{1})={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}.

A pontban a függvény deriváltjának létezése alapján a pontban lévő határértékre átlépve azt kapjuk, hogy van határ $f$ $x_0,$ $x_{1}\–x_{0},$

\lim \limits _{{x_{1}\to x_{0}}}\operátornév {tg}\,\alpha (x_{1})=f'(x_{0}),

valamint az arctangens és a határolószög folytonossága miatt

\alpha =\operátornév {arctg}\,f'(x_{0}).

Egy ponton átmenő egyenest, amelynek dőlésszöge korlátozza, és amely kielégíti , az érintőegyenlet adja meg: $(x_{0},f(x_{0}))$ $\operátornév {tg}\,\alpha =f'(x_{0}),$

y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).

A kör érintője

A kör érintőjének nevezzük azt az egyenest , amelynek van egy közös pontja a körrel és egy síkban van vele .

Tulajdonságok

A kör érintője merőleges az érintkezési pontra húzott sugárra .
Az egy pontból húzott kör érintőinek szakaszai egyenlőek, és egyenlő szöget zárnak be az ezen a ponton átmenő egyenessel és a kör középpontjával.
Az egységnyi sugarú körhöz húzott érintő szegmensének hossza, amelyet az érintőpont és az érintőnek a kör középpontjából húzott sugárral való metszéspontja között veszünk, a sugár közötti szög érintője . és a kör középpontjától az érintési pontig tartó irányt. "Tangens" a lat. tangens - "érintő".

Változatok és általánosítások

Egyoldali féltangensek

Ha van jobboldali derivált, akkor a függvény grafikonjának egy pontban lévő jobb oldali féltangensét sugárnak nevezzük . $f'_{+}(x_{0})<\infty ,$ $f$ $x_{0}$

y=f(x_{0})+f'_{+}(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\geqslant x_{0}.

Ha van baloldali derivált, akkor a függvény grafikonjának bal oldali érintőjét egy pontban sugárnak nevezzük . $f'_{-}(x_{0})<\infty ,$ $f$ $x_{0}$

y=f(x_{0})+f'_{-}(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\leqslant x_{0}.

Ha van végtelen jobboldali derivált, akkor a függvénygráf jobb oldali féltangensét egy pontban sugárnak nevezzük . $f'_{+}(x_{0})=+\infty \;(-\infty ),$ $f$ $x_{0}$

x=x_{0},\;y\geqslant f(x_{0})\;(y\leqslant f(x_{0})).

Ha van végtelen baloldali derivált, akkor a függvény grafikonjának pontban lévő jobb oldali féltangensét sugárnak nevezzük . $f'_{-}(x_{0})=+\infty \;(-\infty ),$ $f$ $x_{0}$

x=x_{0},\;y\leqslant f(x_{0})\;(y\geqslant f(x_{0})).

Lásd még

Irodalom

Toponogov VA Görbék és felületek differenciálgeometriája. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .
Tangens // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.