Univerzális algebra

Az univerzális algebra a matematikának egy olyan ága , amely az algebrai rendszerek általános tulajdonságait tanulmányozza , felhasználva a különböző algebrai struktúrák - csoportok, gyűrűk, modulok, rácsok - közötti hasonlóságokat, bevezetve az ezekben rejlő fogalmakat, és mindegyikre közös állításokat állítva fel. Köztes helyet foglal el a matematikai logika és az általános algebra között, mint az általános algebrai struktúrákra alkalmazott matematikai logika megvalósító berendezése.

A központi fogalom egy algebrai rendszer , egy maximális általánosság tárgya, amely magában foglalja az algebrai struktúrák változatainak jelentős részét ; ezen az objektumon keresztül a homomorfizmus és a faktorrendszerek fogalmai konstruálhatók, általánosítva a megfelelő konstrukciókat a csoportok, gyűrűk, rácsok stb. elméleteiből. Fejlett irány a szekcióban az axiomatizálható algebrai rendszerek osztályainak tanulmányozása, elsősorban olyanok, amelyeket a fajtaazonosságok határoznak meg (beleértve a szabad algebrákat ), és amelyeket a kvázi-varieté kvázi azonosságai határoznak meg . A matematikai tantárgyak osztályozásában a legfelső szintű szakasz az univerzális algebrához van hozzárendelve 08.

Történelem

A matematika egy ilyen nevű ágának első említése Alfred Whiteheadre vonatkozik ( 1898 -ban jelent meg "Treatise on univerzális algebra, alkalmazásokkal" [1] ) [2] , azonban az algebrai struktúrákat tanulmányozó külön tudományág kialakulása. mivel tetszőleges halmazok tetszőleges művelet- és relációhalmazokhoz kötődnek Garrett Birkhoff 1935-ös munkájához [3] [4] , rácselméleti munkája keretében számos, az elméletben használt párhuzamos konstrukcióra hívta fel a figyelmet. csoportok és gyűrűk : homomorfizmusok , faktorcsoportok és faktorgyűrűk , normál alcsoportok és kétoldalú ideálok . Birkhoff munkája egy ideig nem váltott ki publikált válaszokat és fejlődést, azonban az 1940 -es években az algebra ilyen univerzális megközelítéséhez kapcsolódó "folklór" kialakult, különösen a negyvenes évek végén Philip előadásaiban vázolta ezt a megközelítést . Hall . Hall ) a Cambridge -i Egyetemen [2] .

A következő lépés az univerzális algebra, mint a matematika ága felé, Alfred Tarski modellelméletről és Kenjiro Shoda bináris műveletekkel végzett algebrákról szóló munkája, valamint Leon Genkin [5] , Anatolij Malcev [6] munkája , Abraham Robinson [7] , Bjarni Jonsson ( Isl . Bjarni Jónsson ) [8] , akik az akkoriban épülő modellelmélet keretében alkalmazott matematikai logika apparátusának hatékonyságára hívták fel a figyelmet a tanulmányra. Az algebrai rendszerek mint modelleket és algebrákat általánosító struktúrák. Ugyanakkor Maltsev 1941 -es munkáját [9] úgy jegyezték meg, hogy az univerzális algebra logikus megközelítését vetítette előre, de a háború miatt nem kapott válaszokat és nem kapott időben fejlesztést , és Tarski előadását a Nemzetközi Matematikusok Kongresszusán 1950-ben úgy jegyezték meg, mint szakasz második fejlesztési periódusának kiindulópontja [10] .

Az 1950-es évek vége óta a szabad algebrák kutatásának iránya fejlődött , elsősorban Edvard Marchevsky munkásságának és a lengyel matematikusok ezt követő több mint ötven cikkéből álló sorozatának köszönhetően [11] . Az 1950-es évek közepén Philip Higgins bevezette és tanulmányozta a többoperátoros csoportokat [12] [13] , mint olyan struktúrákat, amelyekben a kommutátor fogalma általánosítható , és bármilyen kongruencia ábrázolható az ideálokban lévő kosetekre (a megfelelővel analógiaként). egy normál alcsoport és egy kétoldali ideális gyűrű tulajdonságait, később a többoperátoros csoportok speciális osztályait (többoperátor gyűrűk és algebrák) is tanulmányozták.

Az 1960-as évek eleje óta fejlődik a kvázivariációk elmélete és az algebrai rendszerek axiomatizálható osztályaival való kapcsolatuk kérdései (Maltsev, Gorbunov ), a leggyorsabban fejlődő irány az 1970-es évek elején-közepén a kongruenciaváltozatok vizsgálata volt. (Bjarni Jónsson, Gretzer).

1968-ra az univerzális algebra bibliográfiája több mint 1000 cikket, 1980-ra már több mint 5000 cikket tartalmazott. az 1976 és 1988 közötti időszakban 2 ezer mű jelent meg [14] .

Az 1970-es évek második felében megjelentek az univerzális algebra alkalmazásai a számítástechnikában - az absztrakt adattípusok elmélete , az adatbázis-kezelő rendszerek elmélete [15] , az alkalmazások főként a sokféle algebrák fogalma köré épülnek . Az 1980-as és 1990-es években [16] a legaktívabb fejlesztések közé tartozik a kvázivariációk elmélete, a kongruenciák sokaságának kommutátorainak elmélete és a természetes kettősség elmélete . A 2000-es években egy külön irányt kapott intenzív fejlesztés - az univerzális algebrai geometria , a klasszikus algebrai geometria általánosítása, az algebrai mezőkkel való munka az algebrai rendszerek szélesebb osztályaira [17] .

Algebrai rendszerek, algebrák és modellek

A szakasz vizsgálatának alapvető tárgya egy algebrai rendszer – egy tetszőleges nem üres halmaz, amelyen véges tömbműveletek adott (esetleg végtelen) halmaza és véges tömbkapcsolatai vannak: , , . A halmazt ebben az esetben a rendszer hordozójának (vagy főhalmazának ) nevezzük , a funkcionális és predikátum szimbólumok halmazát aritásukkal együtt az aláírás . Az üres relációkészlettel rendelkező rendszert univerzális algebrának (a tárgy kontextusában - gyakrabban csak algebra ), az üres műveletkészlettel pedig modellnek [18] vagy relációrendszernek , relációs rendszernek nevezzük. [19] . ${\mathfrak {A}}=\langle A,\;F,\;R\rangle$ $F=\langle f_{1}\colon A^{n_{1}}\to A,\;\ldots f_{i}\colon A^{n_{i}}\to A,\;\ ldots \rangle$ $R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1)),\;\ldots r_{i}\subseteq A^{m_{i)),\;\ldots \rangle$ $A$ $\langle F,\;R,\;\langle n_{1},\;\ldots n_{i},\;\ldots \rangle ,\;\langle m_{1}\ldots m_{i} ,\;\ldots \rangle \rangle$

Az összes alapvető általános algebrai struktúra beleillik ebbe az absztrakcióba, például a részben rendezett halmaz egy bináris részleges sorrendű relációval felruházott relációs rendszer, a csoport pedig egy nulla művelettel felszerelt algebra [20] , amely egy semleges elemet választ ki. unáris művelet egy inverz elem és egy bináris asszociatív művelet megszerzésére .

Tekintettel arra, hogy bármely -áris művelet ábrázolható -dimenziós relációként , bármely algebrai rendszer modellként tanulmányozható, modellelméleti eszközök segítségével [21] . $n$ $f\colon A^{n}\to A$ $(n+1)$ $\mathrm {r} f=\{\langle a_{1},\;\ldots ,\;a_{n},\;a_{n+1}\rangle \mid a_{n+1}= f(a_{1},\;\ldots ,\;a_{n})\}$

Alaptervek

Az algebrai rendszerekre olyan konstrukciókat vezetnek be, amelyek az összes alapvető általános algebrai struktúrára jellemzőek: egy alrendszer ( alrendszer , almodell ), mint a rendszer hordozójának részhalmaza, zárt minden művelet és kapcsolat tekintetében, rendszerek homomorfizmusa , mint leképezések azonos típusú rendszerek között, megőrizve az alapvető műveleteket és összefüggéseket, izomorfizmus , mint invertálható homomorfizmus, az automorfizmus mint önmagára vonatkozó izomorfizmus. A kongruencia fogalmának bevezetése stabil ekvivalencia-relációként egy rendszeren lehetővé teszi egy ilyen konstrukció faktorrendszerként ( faktoralgebra , faktormodell ) - ekvivalenciaosztályok feletti rendszerként való megalkotását . Ezzel egyidejűleg bizonyítást nyert az összes algebrai rendszerben közös homomorfizmus -tétel , amely szerint bármely homomorfizmus esetén a faktorrendszer természetes leképezése a magkongurenciához képest homomorfizmus , algebrák esetében pedig , ez egy izomorfizmus . $\varphi \colon {\mathfrak {A}}(A,\;\Sigma )\to {\mathfrak {A}}'(A',\;\Sigma )$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}/\{(x,\;y)\in A\times A'\mid \varphi (x)=\varphi (y)\))$ ${\mathfrak A}'$

Egy algebrai rendszer összes alrendszere egy teljes rácsot alkot , ezenkívül bármely algebrai rács (vagyis olyan rács, amelynek minden eleme a kompakt elemeinek legkisebb felső korlátjaként ábrázolható) izomorf egyes részalgebrák rácsával. univerzális algebra [22] . Algebrai rendszerek automorfizmusainak csoportjait [23] , kongruenciák rácsait vizsgáltuk . Konkrétan azt mutatják be, hogy bármely csoportra és rácsra létezik olyan univerzális algebra , hogy , , . $\mathbf {Sub} \,{\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Aut} \,{\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Con} \,{\mathfrak {A}}$ $G$ $L_0$ $L_{1}$ $\mathfrak A$ $G\cong \mathbf {Aut} \,{\mathfrak {A}}$ $L_{0}\cong \mathbf {Sub} \,{\mathfrak {A}}$ $L_{1}\cong \mathbf {Con} \,{\mathfrak {A}}$

Azonos típusú algebrai rendszerek családjában a közvetlen szorzat olyan rendszerként definiálható, amelynek műveletei és relációi a hordozók derékszögű szorzatán vannak koordinátaszerűen definiálva : azaz - , és - esetén . A közvetlen termékprojekciók természetes szürjektív homomorfizmusok , amelyek helyreállítják a termék összetevőiben lévő műveleteket és kapcsolatokat. Az algebrai rendszer derékszögű foka önmagával való közvetlen szorzat: ; egy algebra kongruenciáinak rácsát ebben az értelemben tekinthetjük úgy, hogy belép a derékszögű négyzet részalgebrák rácsába , sőt megállapították, hogy ez egy teljes részrács benne [24] . $\prod _{i\in I}{{\mathfrak {A}}_{i}(A_{i},\;\langle f_{1}\colon A^{n_{1}}\to A,\;\ldots f_{i}\colon A^{n_{i}}\to A,\;\ldots \rangle ,\;\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}}, \;\ldots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\;\ldots \rangle )}$ $f_{k}\colon (\prod _{i\in I}A_{i})^{n_{k}}\to \prod _{i\in I}A_{i}$ $f_{k}(\langle \ldots a_{i,\;1}\ldots \rangle ,\;\ldots ,\;\langle \ldots a_{i,\;n_{k))\ldots \ rangle )=\langle \ldots ,\;f(a_{i,\;1},\;\ldots a_{i,\;n_{k}}),\;\ldots \rangle$ $r_{k}\subseteq (\prod _{{i\in I}}A_{i})^{{n_{k}}}$ $\{\langle \ldots ,\;r(a_{i,\;1},\;\ldots ,\;a_{i,\;k}),\;\ldots \rangle \mid a_{ i,\;j}\in A_{i},\;i\in I,\;1\leqslant j\leqslant k\}$ $\pi _{k}\colon \prod _{i\in I}{{\mathfrak {A}}_{i}}\to {\mathfrak {A}}_{k}$ ${\mathfrak A}^{n}=\prod _{{i=1}}^{n}{{\mathfrak A}_{i}}$ $\mathbf {Con} \,{\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Sub} \,{\mathfrak {A}}^{2}$

Fajták

Az algebrai rendszerek sokfélesége (vagy egy egyenletosztály ) egy fix aláírású algebrai rendszerek osztálya, amelyeket szignatúrákban kifejezett azonosságok halmaza axiomatizál , ez a fogalom olyan speciális, axiomatikusan adott algebraosztályokat általánosít, mint az összes félcsoport osztálya, az összes csoport osztálya, az összes gyűrű osztálya. Az ilyen általánosított konstrukció változatként való tanulmányozásának alapja a Birkhoff-tétel , amely kimondja, hogy ahhoz, hogy az algebrai rendszerek egy nem üres osztálya azonosságokkal axiomatizálható legyen, szükséges és elegendő, ha tartalmazza: ${\mathfrak {K}}$

Tetszőleges szekvencia derékszögű szorzata (szorzatosan zárva volt); ${\mathfrak {K}}$
tetszőleges -rendszer bármely alrendszere (örökletes volt); ${\mathfrak {K}}$
bármely -rendszer homomorf képe (homomorfan zárt volt) [25] . ${\mathfrak {K}}$

A harmadik feltétel a faktorrendszerek tekintetében zártnak felel meg.

Az univerzális algebrával kapcsolatos tanulmányok során részletesen tanulmányozzák a sokaságok szerkezeti tulajdonságait és az egyik sokaság rendszereinek egy másik rendszerébe való bemeríthetőségének kérdéseit. Egy adott egyenletosztályhoz tartozó részváltozatok rácsot alkotnak a befoglalással, és az ilyen fajták rácsainak tulajdonságai eltérőek, különösen az összes rácsfajta rácsa disztributív , és a kontinuum sokfélesége van, és a rács összes változatának rácsa. csoport moduláris , de nem elosztó.

A fajtákon kívül az olyan általánosabb rendszerosztályokat, mint a prevarities (replica-complete osztályok), amelyek az egyelemes rendszert tartalmazó részalgebrák és karteziánus termékek, valamint a kvázivariációk tekintetében zárt osztályok, valamint a kvázivarietások kvázi-azonosságok halmazával axiomatizálódnak ( Horn klauzulák által meghatározott ), valamint a fajták és a kvázi-változatok véges-zárt változatai az ál- és pszeudo-kvázi- változatok is .

Ingyenes algebrák

Speciális algebrák

Algebrai rendszerek kategóriái

Alkalmazások

Jegyzetek

↑ Whitehead, Alfred North. Értekezés az univerzális algebráról, alkalmazásokkal . - Cambridge : Cambridge University Press , 1898. - 547 p.
↑ 1 2 Kohn, 1969 , p. tizenegy.
↑ Maltsev, 1970 , p. 7.
↑ Gretzer, 2008 , Bár Whitehead felismerte az univerzális algebra szükségességét, nem volt eredménye. Az első eredményeket G. Birkhoff tette közzé a harmincas években, p. vii.
↑ Henkin L. Néhány összefüggés a modern algebra és a matematikai logika között // Transactions of the American Mathematical Society . - 1953. - 1. évf. 74 . - P. 410-427 . — ISSN 0002-9947 . Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 21.
↑ A. I. Malcev. Az algebrai rendszerek általános elméletéről // Matematikai gyűjtemény . - 1954. - T. 35 , 77. sz . - S. 3-20 . (Orosz)
↑ Abraham Robinson. Megjegyzés az algebrai rendszerek beágyazási tételéhez // Journal of the London Mathamtical Society . - 1955. - 1. évf. 30 . - P. 249-252 .
↑ Bjarni Jonsson. Univerzális relációs rendszerek (angol) // Mathematica Scandinavica. - 1957. - Nem. 5 . - P. 224-229 . — ISSN 0025-5521 .
↑ Maltsev A.I. A csoportelmélet helyi tételeinek megszerzésének általános módszeréről // Az Ivanovo Állami Pedagógiai Intézet tudományos megjegyzései. Fizikai és matematikai tudományok sorozata. - 1941. - T. 1 , 1. sz . - S. 3-20 .
↑ Gretzer, 2008 , Mal'cev 1941-es dolgozata volt az első, de a háború miatt nem vették észre. A háború után A. Tarski, LA Henkin és A. Robinson ezen a területen kezdett el dolgozni, és 1950 körül kezdték el publikálni eredményeiket. A. Tarski előadása a Nemzetközi Matematikus Kongresszuson (Cambridge, Massachusetts, 1950) úgy tekinthető, mint az új időszak kezdete., p. viii.
↑ Gretzer, 2008 , Marczewski hangsúlyozta a szabad algebrák alapjainak fontosságát; független halmazoknak nevezte őket. Ennek eredményeként Marczewski, J. Mycielski, W. Narkiewicz, W. Nitka, J. Plonka, S. Swierczkowski, K. Urbanik és mások több mint 50, a szabad algebrák algebrai elméletével foglalkozó cikkért voltak felelősek. viii.
↑ Higgins PJ csoportok több operátorral // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1956. - 1. évf. 6 , sz. 3 . - P. 366-416 . - doi : 10.1112/plms/s3-6.3.366 .
↑ Kurosh A. G. Előadások az általános algebráról / szerk. O. N. Golovin – 2. kiadás. — M .: Nauka , 1973. — 400 p. — ISBN 978-5-8114-0617-3
↑ Általános algebra, 1991 , p. 45.
↑ Plotkin B. I. Univerzális algebra, algebrai logika és adatbázisok. — M .: Nauka, 1991. — 448 p. - 3960 példány. — ISBN 5-02-014635-8 .
↑ Gretzer, 2008 , p. 584.
↑ Az Orosz Tudományos Akadémia Elnöksége úgy döntött (2007. október-november) // Az Orosz Tudományos Akadémia közleménye. - 2008. - T. 78 , sz. 3 . - S. 286 . Az eredetiből archiválva : 2014. december 9.
↑ Maltsev, 1970 .
↑ Gretzer, 2008 , p. nyolc.
↑ Feltételezhető, hogy $A^{0}=\varnothing$
↑ Általános algebra, 1991 , p. 313.
↑ Gretzer, 2008 , 2. tétel, p. 48.
↑ Plotkin B. I. Algebrai rendszerek automorfizmuscsoportjai. — M .: Nauka , 1966. — 603 p. - 6000 példányban.
↑ Általános algebra, 1991 , p. 302.
↑ Maltsev, 1970 , pp. 337-339.

Irodalom

Artamonov V. A. . fejezet VI. Univerzális algebrák // Általános algebra / Szerk. szerk. L. A. Szkornyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Referencia matematikai könyvtár). — 25.000 példány. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Kon P. Univerzális algebra. - M .: Mir , 1969. - 351 p.
Maltsev AI algebrai rendszerek. — M .: Nauka , 1970. — 392 p. - 17 500 példány.
Gratzer, George. Univerzális algebra. — 2. - Springer , 2008. - 585 p. — ISBN 978-0-387-77486-2 .

A matematika ágai

"Tudomány" portál

A matematika alapjai halmazelmélet matematikai logika logikai algebra

Számelmélet ( aritmetika )

Algebra
Elemi algebra	Egyenlet megoldás
Lineáris algebra	Vektorszámítás mátrixok Tenzorszámítás Multilineáris algebra
Általános algebra	Kommutatív algebra Reprezentációs elmélet Differenciálalgebra Homológiai algebra Univerzális algebra Kategória elmélet

Elemzés
Klasszikus elemzés	Differenciálszámítás Integrálszámítás
Függvényelmélet	Harmonikus elemzés Quaternion elemzés Komplex elemzés mértékelmélet Valós változó függvényeinek elmélete funkcionális elemzés Variációszámítás
Differenciál- és integrálegyenletek	Dinamikus rendszerek és ergodikus elmélet Differenciál egyenletek rendes részleges származékokban Integrálegyenletek
Vektor elemzés Globális elemzés Katasztrófaelmélet Egyéni elemzés Sima infinitezimális elemzés

Geometria és topológia
Geometria	Algebrai geometria Analitikus geometria Euklideszi geometria Nem euklideszi geometria Planimetria Sztereometria
Topológia	Általános topológia Algebrai topológia Differenciálgeometria és topológia

Diszkrét matematika
Kombinatorika gráfelmélet

Alkalmazott matematika
Matematikai fizika Matematikai kémia matematikai biológia Matek statisztika Matematikai modellezés Algoritmusok elmélete Numerikus módszerek matematikai közgazdaságtan pénzügyi matematika Valószínűségi elmélet Operációkutatás Játékelmélet

"Matematika" portál
"Matematika" kategória