Hurwitz automorfizmus tétele

A Hurwitz-féle automorfizmus-tétel korlátozza a g > 1 nemzetségbe tartozó  kompakt Riemann-felület automorfizmuscsoportjának – orientációt  megőrző konformális leképezéseket – sorrendjét , kimondva, hogy az ilyen automorfizmusok száma nem haladhatja meg a 84-et ( g − 1). Azt a csoportot, amelynél a maximumot elérjük, Hurwitz-csoportnak , a megfelelő Riemann-felületet pedig Hurwitz- felületnek nevezzük . Mivel a kompakt Riemann-felületek a nem szinguláris komplex projektív algebrai görbék szinonimája , a Hurwitz-felületet Hurwitz-görbének is nevezhetjük [1] . A tétel Adolf Hurwitz nevéhez fűződik , aki 1893-ban bizonyította [2] .

A Hurwitz-korlát érvényes a 0 karakterisztikájú mezők feletti algebrai görbékre és a p > 0 pozitív karakterisztikájú mezők felettiekre is olyan csoportok esetén, amelyek sorrendje p -hez képest másodlagos , de nem érvényes a p > 0 karakterisztikájú mezőkre, ha p osztja a csoport sorrendjét. . Például az egyszerű mező felett minden ponton elágazó projektív vonal kettős borítója rendelkezik genussal , de a sorrendi csoport arra hat .

Értelmezés a hiperbolicitás szempontjából

A differenciálgeometria egyik alapvető témája a K pozitív, nulla és negatív görbületű Riemann- féle sokaságok  közötti trichotómia . Ez sok helyzetben és különböző szinteken megtalálható. A Riemann X felületek összefüggésében a Riemann uniformizálási tétel szerint ez a trichotómia a különböző topológiájú felületek közötti különbségnek tekinthető:

• X  egy gömb , a nulla nemzetséghez tartozó kompakt Riemann-felület, ahol K > 0;
• X  egy lapos tórusz vagy elliptikus görbe , az 1. nemzetség Riemann-felülete, ahol K = 0;
• X  a nemzetség > 1 és K < 0 hiperbolikus felülete .

Míg az első esetben az X felület végtelen sok konform automorfizmust enged meg (valójában a konform automorfizmus csoport egy Lie-csoport , amelynek három dimenziója a gömb, és egy dimenzió a tórusz esetében), a hiperbolikus Riemann felület csak az automorfizmusok diszkrét halmazát engedi meg. . Hurwitz tétele kimondja, hogy valójában még ennél is több igaz – korlátot ad az automorfizmus csoport rendjének a nemzetség függvényében, és leírja azokat a Riemann felületeket, amelyekre ez a határ pontos.

A bizonyítás ötlete és a Hurwitz-felületek felépítése

Az uniformizálási tétel szerint minden X hiperbolikus felületet , vagyis azt a felületet, amelynek Gauss-görbülete bármely pontban egyenlő mínusz eggyel, egy hiperbolikus sík fed le . Egy felület konform leképezése a hiperbolikus sík orientációmegőrző automorfizmusainak felel meg. A Gauss-Bonnet tétel szerint a felület egyenlő

Ahhoz, hogy a G automorfizmus csoport X -en a lehető legnagyobb legyen, ehhez a művelethez a lehető legkisebbre kell csökkentenünk a D alapvető tartományának területét. Ha az alapvető tartomány egy és csúcsszögű háromszög , amely a hiperbolikus sík mozaikját adja, akkor p , q és r egynél nagyobb egész számok lesznek, és a terület

Tegyük fel magunknak a kérdést, hogy mely természetes számokra vonatkozik a kifejezés

szigorúan pozitív és a lehető legkisebb. Ez a minimális érték 1/42 és

az ilyen számok egyedi (permutációig) hármasát adja meg. Ez azt jelenti, hogy a megrendelés | G | automorfizmus csoportot az érték korlátozza

A pontosabb számítások azonban azt mutatják, hogy ez a becslés felére csökken, mivel a G csoport tartalmazhat orientáció-fordító transzformációkat. Az orientációt megőrző konform automorfizmusok esetében a határ a .

Épület

Hogy példát kapjunk egy Hurwitz-csoportra, kezdjük a hiperbolikus sík (2,3,7)-elrendezésével. Teljes szimmetriacsoportja a teljes háromszögcsoport (2,3,7) , amelyet egy alapháromszög oldalairól alkotott visszaverődések alkotnak , és szögekkel . Mivel a tükrözés megfordítja a háromszöget és megváltoztatja a tájolást, párosíthatjuk a háromszögeket, és kaphatunk egy tájékozódást megőrző csempézett sokszöget. A Hurwitz-felületet úgy kapjuk meg, hogy a hiperbolikus sík végtelen csempézésének egy részét "bezárjuk" a g nemzetségbe tartozó Riemann-felületbe . Ehhez pontosan a csempékre lesz szükség (két háromszögből áll).

A következő két szabályos burkolólap rendelkezik a kívánt szimmetriacsoporttal. A forgatási csoport egy él, csúcs és lap körüli elforgatásoknak felel meg, míg a teljes szimmetriacsoport tartalmazhat visszaverődéseket is. Vegye figyelembe, hogy a burkolólap sokszögei nem alapvető területek – a háromszög burkolólap (2,3,7) finomítja mindkét csempét, és nem szabályos.

A Wythoff konstrukciói további egységes burkolást tesznek lehetővé , így nyolc egységes burkolatot adnak , köztük az itt látható kettőt. Mindegyik Hurwitz felületről származik, és a felületek burkolását adják (háromszögelés, hétszögű burkolás stb.).

A fenti megfontolások alapján arra a következtetésre juthatunk, hogy a G Hurwitz-csoportot az a tulajdonság jellemzi, hogy két a és b generátorral és három relációval rendelkező csoport véges tényezőcsoportja.

így G egy véges csoport, amelyet két második és harmadik rendű elem generál, és amelynek szorzata hetes rendű. Pontosabban, bármely Hurwitz-felület, azaz olyan hiperbolikus felület, amelyen egy adott nemzetség felületeihez az automorfizmuscsoport maximális sorrendjét elérjük, a leírt konstrukcióval megkaphatjuk. Ez a Hurwitz-tétel utolsó része.

Példák Hurwitz csoportokra és felületekre

A legkisebb Hurwitz-csoport a PSL(2,7) projektív speciális lineáris csoport 168-as renddel, a megfelelő görbe pedig a Klein-kvartikus . Ez a csoport a PSL(3,2)-vel is izomorf .

A következő görbe egy McBeath-görbe 504-es nagyságrendű PSL(2,8) automorfizmus-csoporttal. Sok egyszerű véges csoport létezik, amelyek Hurwitz-csoportok, például 64 váltakozó csoport kivételével mindegyik Hurwitz-csoport. A legnagyobb nem Hurwitz csoport 167 fokozatú. A 15 a legkisebb váltakozó csoport, ami egy Hurwitz csoport.

A legtöbb nagy rangú projektív speciális lineáris csoport a Hurwitz-csoport [4] . Az ilyen kis létszámú csoportok között kevesebb a Hurwitz csoport. A p modulo 7 -et kitevővel jelölve a PSL(2, q ) akkor és csak akkor Hurwitz-csoport, ha q =7 vagy . Ezenkívül a PSL(3, q ) csak q = 2 esetén Hurwitz csoport, a PSL(4, q ) nem Hurwitz csoport egyetlen q esetén sem , és a PSL(5, q ) csak akkor Hurwitz csoport, ha vagy [5] . Hasonlóképpen sok Lie típusú csoport Hurwitz. A magas rangú véges klasszikus csoportok a Hurwitz-csoportok [6] . A kivételes G2 típusú Lie-csoportok és a 2G2 típusú Ree-csoportok szinte mindig Hurwitz-csoportok [7] . A kivételes és csavart Lie-csoportok alacsony rangú családjai, amint azt Malle kimutatta, a Hurwitz-csoportok [8] .

12 szórványos csoport alkotható Hurwitz csoportként - Janko csoportok J 1 , J 2 és J 4 , Fischer csoportok Fi 22 és Fi' 24 , Rudvalis csoport , Held csoport , Thompson sporadikus csoport , Harada csoport -Norton , a Conway Co 3 harmadik csoportja , a Lyons és a "monster" [9] csoportja .

A Riemann-felületek automorfizmuscsoportjainak maximális rendjei

A g nemzetségbe tartozó Riemann felületen ható véges csoport maximális sorrendjét a következőképpen adjuk meg

Lásd még

• Háromszög csoport (2, 3, 7)

Jegyzetek

1. ↑ Technikailag a kompakt Riemann-felületek és az orientációmegőrző konformális leképezések kategóriája egyenértékű a nem szinguláris komplex projektív algebrai görbék és algebrai morfizmusok kategóriájával.
2. ↑ Hurwitz, 1893 .
3. ↑ ( Richter ) Ne feledje, hogy a poliéder minden lapja több burkolólapból áll – két háromszög alakú lap alkot egy négyzetlapot, és így tovább, mint ebben a magyarázó rajzban , archiválva : 2016. március 3. a Wayback Machine -nél .
4. ↑ Lucchini, Tamburini, Wilson, 2000 .
5. ↑ Tamburini, Vsemirnov, 2006 .
6. ↑ Lucchini, Tamburini, 1999 .
7. ↑ Malle, 1990 .
8. ↑ Malle, 1995 .
9. ↑ Wilson, 2001 .

Irodalom

• Hurwitz A. Über algebraische Gebilde mit Eindeutigen Transformationen in sich // Mathematische Annalen . - 1893. - T. 41 , sz. 3 . - S. 403-442 . - doi : 10.1007/BF01443420 .
• Lucchini A., Tamburini MC Nagy rangú klasszikus csoportok, mint Hurwitz csoportok // Journal of Algebra. - 1999. - T. 219 , szám. 2 . - S. 531-546 . — ISSN 0021-8693 . doi : 10.1006 / jabr.1999.7911 .
• Lucchini A., Tamburini MC, Wilson JS Hurwitz nagy csoportok // Journal of the London Mathematical Society. második sorozat. - 2000. - T. 61 , sz. 1 . - S. 81-92 . — ISSN 0024-6107 . - doi : 10.1112/S0024610799008467 .
• Gunter bevásárlóközpont. Hurwitz-csoportok és G2(q)  // Canadian Mathematical Bulletin . - 1990. - T. 33 , sz. 3 . - S. 349-357 . — ISSN 0008-4395 .
• Gunter bevásárlóközpont. Kis rangú kivételes Hurwitz csoportok // A hazugságtípusok csoportjai és geometriái (Como, 1993). - Cambridge University Press , 1995. - V. 207. - S. 173-183. — (London Math. Soc. Lecture Note Ser.).
• Tamburini MC, Vsemirnov M. Irreducible (2,3,7)-subgroups of PGL(n,F) for n ≤ 7 // Journal of Algebra. - 2006. - T. 300 , sz. 1 . - S. 339-362 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.02.030 .
• Wilson RA A szörny egy Hurwitz-csoport // Journal of Group Theory. - 2001. - T. 4 , sz. 4 . - S. 367-374 . - doi : 10.1515/jgth.2001.027 .
• David A. Richter. Hogyan készítsük el a Mathieu csoportot M 24 .