Grothendieck hasítási tétele

Grothendieck felosztási tétele megadja a holomorf vektorkötegek osztályozását a komplex projektív egyenes felett . Nevezetesen azt állítja, hogy minden holomorf vektorköteg a holomorf 1-dimenziós kötegek közvetlen összege $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ .

Történelem

A tétel Alexander Grothendieck nevéhez fűződik , aki 1957-ben bebizonyította. [1] Egyenértékű azzal a tétellel, amelyet George Birkhoff 1913-ban bizonyított [2] , de már 1908-ban Josip Plemel [3] és 1905-ben David Hilbert ismerte . [négy]

Formulációk

Grothendieck megfogalmazása

Minden holomorf vektorköteg holomorfan izomorf a vonalkötegek közvetlen összegével: ${\mathcal {E}}$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$

{\mathcal {E}}\cong {\mathcal {O}}(a_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(a_{n}),

ahol a Chern osztályú köteget jelöl . Ráadásul ez az ábrázolás a kifejezések permutációjáig egyedülálló. ${\mathcal {O}}(a)$ $a$

Birkhoff megfogalmazása

Egy invertálható mátrixot , amelynek minden komponense Laurent polinomja , szorzatként ábrázoljuk $M$ $z$

M=M^{+}M^{0}M^{-}

ahol a mátrix egy polinom -ben , egy átlós mátrix, a mátrix pedig egy polinom -ben . $M^{+}$ $z$ ${\displaystyle M^{0))$ $M^{-}$ ${\tfrac {1}{z))$

Alkalmazások

A Grothendieck-féle hasítási tételt Micalef és Moore gömbtételének bizonyítására használjuk izotróp irányú pozitív komplexitott görbületre.

Változatok és általánosítások

Ugyanez az eredmény érvényes bármely mező algebrai vektorkötegeire . [5] $\mathbb {P} _{k}^{1}$ $k$

Jegyzetek

↑ Grothendieck, Alexander (1957), Sur la classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann , American Journal of Mathematics vol. 79: 121-138, DOI 10.2307/2372388 .
↑ Birkhoff, George David (1909), Közönséges lineáris differenciálegyenletek szinguláris pontjai , Transactions of the American Mathematical Society , 10. kötet (4): 436–470, ISSN 0002-9947 , DOI 10.2307/1988594
↑ Plemelj, J. Riemannsche Funktionenscharen mit gegebener Monodromiegruppe. Monatsh. Math. Phys. 19. (1908), 1. sz. 1, 211–245.
↑ Hilbert D. Grundzüge einer allgemeinen theorie der linearen integralgleichungen. vierte mitteilung. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. 1906:157-228.
↑ Hazewinkel, Michiel & Martin, Clyde F. (1982), Grothendieck tételének rövid elemi bizonyítása az algebrai vektorkötegekről a projektív egyenes felett , Journal of Pure and Applied Algebra 25. kötet (2): 207–211 , DOI 10.0216. -4049(82)90037-8

Irodalom

Okonek, C.; Schneider, M. & Spindler, H. (1980), Vector kötegek összetett projektív tereken , Progress in Mathematics, Birkhäuser .