Zhen osztály

A Chern osztályok (vagy a Chern osztály ) az összetett vektorkötegekhez kapcsolódó jellemző osztályok .

A Zhen osztályokat Shiing-Shen Zhen vezette be [1] .

Geometriai megközelítés

Alapötlet és háttér

A Zhen osztályok jellegzetes osztályok . Ezek topológiai invariánsok , amelyek a sima sokaságokon lévő vektorkötegekhez kapcsolódnak. Az a kérdés, hogy két látszólag különböző vektorköteg ugyanaz-e a köteg, meglehetősen nehéz probléma lehet. A Chern-osztályok egy egyszerű tesztet adnak – ha egy vektorköteg-pár Chern-osztályai nem egyeznek, a vektorkötegek különböznek egymástól. Ennek a fordítottja azonban nem igaz.

A topológiában, a differenciálgeometriában és az algebrai geometriában gyakran fontos megszámolni, hogy egy vektorköteg hány lineárisan független szakaszból áll. A Chern osztályok erről adnak némi információt, például a Riemann-Roch tételen és az Atiyah-Singer indextételen keresztül .

Zhen órái praktikus számításokhoz is kényelmesek. A differenciálgeometriában (és az algebrai geometria bizonyos típusaiban) a Chern-osztályok polinomokként fejezhetők ki a görbületi forma együtthatóiban .

Zhen osztályok felépítése

Különféle megközelítések léteznek az osztályokhoz, amelyek mindegyike a Chern osztályok kissé eltérő tulajdonságaira összpontosít.

A Chern-osztályok eredeti megközelítése az algebrai topológia felőli megközelítés volt – a Chern-osztályok a homotópia elméletén keresztül jönnek létre , amely lehetővé teszi az V köteghez tartozó sokaság térképének megszerkesztését az osztályozó térbe (egy végtelen Grassmannian ebben az esetben). Bármely V vektorköteghez az M sokaságon , létezik egy f leképezés M - ből egy osztályozó térre úgy, hogy a V köteg egyenlő az univerzális köteg inverz képével ( f viszonylatban) az osztályozó tér felett, és a Chern. az V. köteg osztályai ezért az univerzális köteg Chern-osztályainak inverz képeiként definiálhatók. Ezek az univerzális Chern-osztályok pedig kifejezetten Schubert -ciklusok szerint írhatók .

Kimutatható, hogy két f és g leképezés M - ből egy olyan osztályozó térre, amelynek inverz képei ugyanaz a V köteg , homotopikusnak kell lenniük. Így az M kohomológia osztályában lévő bármely univerzális Chern-osztály f és g -hez viszonyított inverz képeinek ugyanabban az osztályban kell lenniük. Ez azt mutatja, hogy V Chern osztályai jól meghatározottak.

Zheng megközelítése a differenciálgeometriára támaszkodik a jelen cikkben leírt görbület használatával. Zhen megmutatta, hogy a korábbi meghatározás valójában egyenértékű volt az ő meghatározásával. Az így kapott elmélet Chen-Weil elméletként ismert .

Ott van Alexander Grothendieck megközelítése is , aki megmutatta, hogy elegendő axiomatikusan csak a vonalkötegek osztályait meghatározni.

A Chern-osztályok természetesen előfordulnak az algebrai geometriában . Az algebrai geometriában általánosított Chern osztályok definiálhatók vektorkötegekre (pontosabban lokálisan szabad tárcsákra ) bármely nem szinguláris sokaságon. Zhen algebrai-geometriai osztályai nem írnak elő korlátozásokat a fő mezőre. A vektorkötegeknek nem kell bonyolultaknak lenniük.

Az eredeti paradigmától függetlenül a Chern-osztály intuitív jelentése egy vektorköteg szakaszainak „nullapontjaira” vonatkozik . Például egy tétel, amely szerint lehetetlen egy labdát hajjal megfésülni ( a sündisznó fésülési tétele ). Bár szigorúan véve a kérdés egy valódi vektorkötegre vonatkozik (a labdán lévő "szőr" a valódi vonal másolata), vannak általánosítások, amelyekben a "haj" összetett (lásd az összetett sündisznófésülés példáját tétel alább), vagy sok más mező feletti egydimenziós projektív terekre.

A vonalkötegek Chern osztálya

(Legyen X egy CW-komplex homotópia típusú topológiai tér .)

Egy fontos speciális eset fordul elő, amikor V egy vonalköteg . Ekkor az egyetlen nem triviális Chern-osztály az első Chern-osztály, amely az X tér második kohomológiai csoportjának eleme. Mivel a Zhen legmagasabb osztálya, megegyezik a köteg Euler osztályával .

Az első Chern osztály teljes invariánsnak bizonyul , amely szerint a topológiai kategóriába tartozó összetett vonalkötegek osztályozásra kerülnek. Vagyis bijekció van az X feletti izomorf vonalkötegek osztályai és a H 2 ( X ; Z ) elemei között, amely a vonalköteg első Chern osztályához kapcsolódik. Ezenkívül ez a bijekció csoporthomomorfizmus (vagyis izomorfizmus):

c_{1}(L\otimes L')=c_{1}(L)+c_{1}(L')

;

az összetett vonalkötegek tenzorszorzata a második kohomológiai csoport összeadásának felel meg [2] [3] .

Az algebrai geometriában az (izomorf) összetett vonalkötegek osztályozása az első Chern-osztály szerint durva közelítése az (izomorf) holomorf vonalkötegek osztályozásának lineárisan ekvivalens osztók osztályai szerint .

Egynél nagyobb dimenziójú összetett vektorkötegek esetén a Chern-osztályok nem teljes invariánsok.

Épületek

A Chen-Weyl elmélet segítségével

Adott egy V komplex hermitikus [ vektorköteg , amelynek komplex rangja n egy differenciálható M sokaság felett, a V köteg minden egyes Chern osztályának ( Chern alaknak nevezett ) c k ( V ) reprezentánsát a karakterisztikus polinom együtthatói adják meg. az V köteg görbületi formájának . $\Omega$

\det \left({\frac {it\Omega }{2\pi }}+E\right)=\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}

A determinánst átveszünk egy n × n mátrixból álló gyűrűt, amelynek elemei t -beli polinomok, amelyek együtthatói az M -en lévő még összetett differenciálformák kommutatív algebrájából származnak . A V köteg görbületi formáját a $\Omega$

\Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega ,\omega ]

ahol a csatlakozási forma , és d a külső differenciál , vagy ugyanaz a kifejezés, amelyben az V köteg szelvénycsoportjának szelvényformája . A t skalárt csak ismeretlen változóként használják a determináns összegének generálására , E pedig egy n × n azonossági mátrixot jelent . $\omega$ $\omega$

Azok a szavak, amelyeket ez a kifejezés a Zhen osztály képviselőjének ad, azt jelenti, hogy az 'osztály' itt a pontos differenciális alakig van definiálva . Vagyis a Chern osztályok kohomológia osztályok a de Rham kohomológia értelmében . Kimutatható, hogy a Chern-formák kohomológiai osztálya nem függ a V- beli kapcsolatválasztástól .

A tr(ln( X ))=ln(det( X )) mátrixazonosságot és az ln( X + I ) Maclaurin sorozatát használva a Chern alakra vonatkozó kifejezés a következőre bővül:

\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}=\left[I+i{\frac {\mathrm {tr} (\Omega )}{2\pi }}t+{ \frac {\mathrm {tr} (\Omega ^{2})-\mathrm {tr} (\Omega )^{2}}{8\pi ^{2}}}t^{2}+i{\ frac {-2\mathrm {tr} (\Omega ^{3})+3\mathrm {tr} (\Omega ^{2})\mathrm {tr} (\Omega )-\mathrm {tr} (\Omega )^{3}}{48\pi ^{3}}}t^{3}+\cdots \right].

Az Euler osztály segítségével

A Chern-osztályt az Euler-osztály alapján határozhatjuk meg. Ezt a megközelítést használja Milnor és Stashef [4] könyve, és hangsúlyozza a vektorköteg orientációjának szerepét .

A fő megfigyelés az, hogy a komplex vektorköteg kanonikus orientációjú az összekapcsolódás miatt. Ezért egy köteg legmagasabb Chern-osztályát Euler-osztályként határozhatjuk meg, és a többi Chern-osztályokkal indukcióval dolgozhatunk. $GL_{n}(\mathbb {C} )$

A pontos felépítés a következő. Az ötlet az, hogy módosítsuk az alapot, hogy eggyel alacsonyabb rangú csomagot kapjunk. Legyen komplex vektorköteg egy parakompakt B tér felett . Ha B -t E - be ágyazott nulla szakasznak tekintjük, beállítunk és definiálunk egy új vektorköteget: $\pi :E\rightarrow B$ $B'=EB$

E'\to B',

amelynek szála az E köteg F szálának tényezője az F -beli v vektor által átívelt vonal mentén (a B' - ben lévő pontot az E köteg F szála és az F -ből származó nullától eltérő vektor határozza meg ) [5] . Ekkor E' rangja eggyel kevesebb, mint E. A Gisin sorozatból a csomaghoz : $\pi |_{B'}:B'\to B$

\cdots \to \operatorname {H} ^{k}(B;\mathbb {Z} ){\overset {\pi |_{B'}^{*}}{\to }}\operátornév { H} ^{k}(B';\mathbb {Z} )\to \cdots ,

látjuk, melyik izomorfizmus k < 2 n − 1-re. Legyen $\pi |_{B'}^{*}$

c_{k}(E)={\begin{cases}{\pi |_{B'}^{*}}^{-1}c_{k}(E'),&k<n\\ e(E_{\mathbb {R} }),&k=n\\0,&k>n.\\\end{cases}}

További munkára van szükség annak igazolására, hogy a Zhen osztály axiómái megfelelnek-e egy ilyen definíciónak.

Példák

A Riemann-gömb összetett érintőkötege

Legyen CP 1 a Riemann-gömb , egy 1-dimenziós komplex projektív tér . Tegyük fel, hogy z egy holomorf lokális koordináta a Riemann-gömbön. Legyen V = T CP 1 minden pontban a ∂/∂ z alakú komplex érintővektorok ceruzája , ahol a egy komplex szám. A sündisznó fésülési tételének egy összetett változatát fogjuk bebizonyítani : V -nek nincsenek nem eltűnő szakaszai.

Ehhez a következő tényre van szükségünk: egy triviális köteg első Chern osztálya egyenlő nullával, azaz

c_{1}({\mathbf {C} \mathbf {P} }^{1}\times {\mathbf {C} })=0.

Ez abból következik, hogy egy triviális kötegnek mindig lapos kapcsolata van.

Mutassuk meg

c_{1}(V)\not =0.

Tekintsük a Kähler-metrikát

h={\frac {dzd{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.

Kimutatható, hogy a 2 görbületű formát a

\Omega ={\frac {2dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.

Sőt, a Zhen első osztályának meghatározása szerint

c_{1}=\left[{\frac {i}{2\pi }}\mathrm {tr} \ \Omega \right].

Meg kell mutatnunk, hogy ez a kohomológia osztály nem nulla. Ehhez elegendő a Riemann-gömb integrálját kiszámítani:

\int c_{1}={\frac {i}{\pi }}\int {\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2} )^{2}}}=2

a polárkoordináta-rendszerre való áttérés után . Stokes tétele szerint a pontos alakú integrálnak 0-val kell egyenlőnek lennie, tehát a kohomológiai osztály nem nulla.

Ez bizonyítja, hogy a T CP 1 nem egy triviális vektorköteg.

Komplex projektív tér

A kötegek pontos sorrendje [6] :

0\ to {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}\ to {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P } ^{n))(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}\to 0,

ahol egy szerkezeti köteg (azaz egy triviális vonalköteg), egy csavarodó Serre-köteg (azaz hipersíkokból álló köteg ), az utolsó nem nulla tag pedig egy érintőköteg /köteg. ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}$ ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(1)$

A fenti sorrend kétféleképpen érhető el:

[7] Legyen z 0 ,… z n ,és. Akkor nálunk van: $\mathbb {C} ^{n+1}$ ${\displaystyle \pi :\mathbb {C} ^{n+1}-0\to \mathbb {C} \mathbf {P} ^{n))$ ${\displaystyle U=\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}-\{z_{0}=0\))$ $\pi ^{*}d(z_{i}/z_{0})={z_{0}dz_{i}-z_{i}dz_{0} \over z_{0}^{2} },\,i\geq 1.$
Más szavakkal, a kotangens köteg , amely egy szabad modul bázissal , benne van a pontos sorrendben $\Omega _{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}|_{U}$ ${\mathcal {O}}_{U}$ $d(z_{i}/z_{0})$
$\textstyle \quad 0\to \Omega _{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}|_{U}{\overset {dz_{i}\mapsto e_{i}}{ \to }}\oplus _{1}^{n+1}{\mathcal {O}}(-1)|_{U}{\overset {e_{i}\mapsto z_{i}}{\to }}{\mathcal {O}}_{U}\to 0,\,i\geq 0,$ hol van a középső kifejezés alapja. Ugyanez a sorozat ekkor a teljes projektív térre pontos, és a fenti sorozat kettős vele. $e_{i}$
Legyen L az origón átmenő egyenes . Könnyen belátható, hogy az L ponthoz tartozó komplex érintőtér természetesen izomorf az L -től a komplementerjéig tartó lineáris leképezések halmazához. [8] Így az érintőköteg azonosítható a homomorfizmusok kötegével $\mathbb {C} ^{n+1}$ $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}$ ${\displaystyle T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n))$ $\operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),\eta )$ hol van olyan vektorköteg, amely . Ez a következőket jelenti: $\eta$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)\oplus \eta ={\mathcal {O}}^{\oplus (n+1)))$ $T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}\oplus {\mathcal {O}}=\operátornév {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),\eta )\ oplus \operátornév {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),{\mathcal {O}}(-1))={\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1 )}$ .

Tekintettel a teljes Chern-osztály c = 1 + c 1 + c 2 + … (vagyis a Whitney-összeg képletek) additivitására,

c(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}){\overset {\mathrm {def} }{=}}c(T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n })=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(1))^{n+1}=(1+a)^{n+1 }

ahol a a kohomológia csoport kanonikus generátora . Azaz, mínusz előjellel felvéve a tautologikus sorköteg első Chern-osztályának értéke (Megjegyzés: amikor E * az E kettőse .) Különösen bármely , $H^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n},\mathbb {Z} )$ ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(-1)$ $c_{1}(E^{*})=-c_{1}(E)$ $k\geqslant 0$

c_{k}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n})={\binom {n+1}{k}}a^{k}.

Zhen polinomja

A Chern-polinom kényelmes módja a Chern-osztályok és a kapcsolódó fogalmak kezelésének. Definíció szerint egy E komplex vektorköteg esetén az E köteg Chern - polinomja c t a következőképpen adódik:

c_{t}(E)=1+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}.

Ez nem egy új invariáns - a formális ismeretlen t egyszerűen a c k ( E ) hatványt tükrözi [9] . Különösen az E - köteg teljes Chern osztálya határozza meg . $c_{t}(E)$ $c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E)$

A Whitney-összeg formula, a Chern-osztályok egyik axiómája (lásd alább), kimondja, hogy c t abban az értelemben additív, hogy:

c_{t}(E\oplus E')=c_{t}(E)c_{t}(E').

Nos, ha a (összetett) vonalkötegek közvetlen összege, akkor a Whitney-összeg képlet a következőket jelenti: ${\displaystyle E=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n))$

c_{t}(E)=(1+a_{1}(E)t)\cdots (1+a_{n}(E)t)

hol vannak az első Chern osztályok. A gyököket az E köteg Chern-gyökeinek nevezzük , és ezek határozzák meg a polinom együtthatóit. vagyis $a_{i}(E)=c_{1}(L_{i})$ $a_{i}(E)$

c_{k}(E)=\sigma _{k}(a_{1}(E),\ldots ,a_{n}(E))

ahol az elemi szimmetrikus polinomok . Más szóval, ha a i -t formális változónak tekintjük, akkor c k "egyenlő" . A szimmetrikus polinomokkal kapcsolatos alapvető tény az , hogy bármely szimmetrikus polinom, mondjuk t i -ben, polinom az elemi szimmetrikus polinomokban t i -ben . A hasítási elv vagy a gyűrűelmélet szerint bármely Chern-polinom lineáris faktorokra bomlik a kohomológiai gyűrű növekedése után. Ezért E nem kell, hogy a vonalkötegek közvetlen összege legyen. Következtetés ${\displaystyle \sigma _{k))$ ${\displaystyle \sigma _{k))$ $c_{t}(E)$

"Egy összetett E vektorkötegben bármely f szimmetrikus polinomot ki lehet számítani, ha f polinomot írunk be , majd helyettesítjük -re .

{\displaystyle \sigma _{k))

{\displaystyle \sigma _{k))

c_{k}(E)

Példa : Vannak s k polinomjaink

t_{1}^{k}+\cdots +t_{n}^{k}=s_{k}(\sigma _{1}(t_{1},\ldots ,t_{n}), \ldots ,\sigma _{k}(t_{1},\ldots ,t_{n}))

és így tovább (lásd Newton azonosságait ). Összeg ${\displaystyle s_{1}=\sigma _{1},s_{2}=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2))$

\operatorname {ch} (E)=e^{a_{1}(E)}+\cdots +e^{a_{n}(E)}=\sum s_{k}(c_{1} (E),\ldots ,c_{n}(E))/k!

az E köteg Chern karakterének nevezik, amelynek első néhány tagja a következő: ( az E -t kihagyjuk a jelölésből )

\operátornév {ch} (E)=\operátornév {rk} +c_{1}+{\frac {1}{2}}(c_{1}^{2}-2c_{2})+{ \frac {1}{6}}(c_{1}^{3}-3c_{1}c_{2}+3c_{3})+\cdots .

Példa : Az E köteg Todd osztályát a következő képlet adja meg:

{\begin{aligned}\operatorname {td} (E)&=\prod _{1}^{n}{a_{i} \over 1-e^{-a_{i))}=1 +{1 \over 2}c_{1}+{1 \over 12}(c_{1}^{2}+c_{2})+\cdots .\end{aligned}}

Megjegyzés : Az a megfigyelés, hogy a Chern-osztály alapvetően egy elemi szimmetrikus polinom, használható a Chern-osztályok "definiálására". Legyen G n egy végtelen Grassmann n - dimenziós komplex vektorterek. Ez egy osztályozó tér abban az értelemben, hogy adott egy n rangú E komplex vektorköteg X felett , folyamatos leképezés van.

f_{E}:X\to G_{n},

egyedülálló a homotópiáig. A Borel-tétel kimondja, hogy a Grassmann-féle G n kohomológiai gyűrűje pontosan a szimmetrikus polinomok gyűrűje, amelyek polinomok az elemi szimmetrikus polinomokban . Így az f E előképhez ${\displaystyle \sigma _{k))$

f_{E}^{*}:\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]\ to H^{*}(X,\mathbb {Z} ).

Ahol

c_{k}(E)=f_{E}^{*}(\sigma _{k}).

Megjegyzés : Bármely karakterisztikus osztály polinom a Chern osztályokban a következő okok miatt. Legyen egy kontravariáns funktor , amely egy X CW-komplexummal társítja az X feletti n rangú izomorf komplex vektorkötegek osztályait . Definíció szerint a karakterisztikus osztály egy természetes átalakulás -ból egy kohomológiai függvényré . Yoneda lemmája kimondja, hogy a jellemző osztályok gyűrűje pontosan a Grassmann -féle G n kohomológiai gyűrűje : $\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }$ $\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }=[-,G_{n}]$ $H^{*}(-,\mathbb {Z} ).$

\operatorname {Nat} ([-,G_{n}],H^{*}(-,\mathbb {Z} ))=H^{*}(G_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}].

Zhen osztályainak tulajdonságai

Adott egy komplex E vektorköteg egy X topológiai tér felett , az E köteg Chern-osztályai az X tér kohomológiai elemeinek sorozata . az E köteg k - edik Chern osztálya , amelyet általában c k -vel ( V ) jelölnek, egy elem

H 2 k ( X ; Z ),

az X tér kohomológiája egész együtthatókkal . Egy teljes Zhen osztályt is meghatározhatunk

c(E)=c_{0}(E)+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\cdots .

Mivel az értékek integer cohomology csoportokban vannak, nem pedig valós együtthatós kohomológiában, ezek a Chern-osztályok valamivel világosabbak, mint a Riemann-példában szereplők.

Klasszikus axiomatikus definíció

A Zhen osztályok a következő négy axiómát teljesítik:

Axióma 1. minden köteg E . $c_{0}(E)=1$

2. axióma. Természetesség: Ha folytonos és f*E az E köteg indukált vektorkötege , akkor . $f:Y\to X$ $c_{k}(f^{*}E)=f^{*}c_{k}(E)$

3. axióma. A Whitney - összeg képlete : Ha egy másik komplex vektorköteg, akkor a közvetlen összeg Chern-osztályait a $F\to X$ $E\oplus F$

c(E\oplus F)=c(E)\smile c(F);

vagyis

c_{k}(E\oplus F)=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(E)\smile c_{ki}(F).

4. axióma. Normalizálás: Egy tautológiai vonalköteg teljes Chern-osztálya CP k felett egyenlő 1 − H , ahol H a hipersík Poincaré-duálisa . ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{k-1}\subseteq \mathbf {CP} ^{k))$

Alexander Grothendieck axiomatikus megközelítése

Alternatív megoldásként Grothendieck [10] ezeket az axiómákat valamivel kevesebb axiómára cserélte:

Természetesség: (Ugyanaz, mint fent)
Additivitás: Ha a vektorkötegek pontos sorozata , akkor . $\ 0\-E'\E\to E''\to 0$ $c(E)=c(E')\smile c(E'')$
Normalizálás: Ha E egy vonalköteg , akkor , ahol az alapul szolgáló valós vektorköteg Euler osztálya $c(E)=1+e(E_{\mathbf {R} })$ $e(E_{\mathbf {R} })$

A Leray-Hirsch tétel segítségével megmutatta, hogy egy véges rangú összetett vektorköteg teljes Chern-osztálya egy tautologikusan meghatározott vonalköteg első Chern-osztálya alapján definiálható.

Mégpedig úgy, hogy egy n rangú komplex vektorköteg P ( E ) projektivizálását olyan kötegként vezetjük be a B -n , amelynek egy tetszőleges pontjában lévő szála az E b szál projektív tere . Ennek a P ( E ) kötegnek a teljes tere a tautologikus összetett vonalköteggel van felruházva, amelyet -vel jelölünk , és az első Chern-osztályt. $E\rightarrow B$ $b\in B$ $\tau$

c_{1}(\tau )=:-a

A P ( E b ) minden rétegén a hipersík mínusz előjelű osztályára (Poincaré duál) korlátozódik, amely létrehozza a réteg kohemológiáját.

osztályok

1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}\in H^{*}(\mathbf {P} (E))

így olyan kohomológiai osztályok családját alkotják, amelyek a réteg kohomológiai alapjára korlátozódnak. A Leray-Hirsch tétel kimondja, hogy a H* bármely osztálya ( P ( E )) egyedileg felírható 1, a , a 2 , …, a n −1 lineáris kombinációjaként, ahol az osztályok együtthatóként vannak a bázisban. .

Különösen az E köteg Chern osztályai határozhatók meg Grothendieck értelmében, amelyeket az osztály következő módon történő felosztásával jelölünk: $c_{1}(E),\ldots c_{n}(E)$ ${\displaystyle -a^{n))$

-a^{n}=c_{1}(E)\cdot a^{n-1}+\cdots +c_{n-1}(E)\cdot a+c_{n}(E) .

Ellenőrizheti, hogy ez az alternatív definíció megegyezik-e bármely más definícióval.

Zheng felső osztálya

Valójában ezek a tulajdonságok egyedileg határozzák meg a Chern osztályokat. Ezek többek között a következőket eredményezik:

Ha n V komplex rangja , akkor minden k > n esetén . Így a teljes Zhen óra megszakad. $c_{k}(V)=0$
A V köteg legmagasabb Chern osztálya ( , ahol n a V rangja ) mindig egyenlő az alapul szolgáló valós vektorköteg Euler osztályával $c_{n}(V)$

Chern osztályok az algebrai geometriában

Axiomatikus leírás

A Chern-osztályoknak van egy másik konstrukciója is, amely a kohomológiai gyűrű algebro-geometriai analógjában, a Zhou gyűrűben vesz értékeket . Kimutatható, hogy létezik a Chern-osztályoknak egy olyan egyedi elmélete, amely szerint egy adott algebrai vektorköteghez egy kváziprojektív sokaságon létezik olyan osztálysorozat , $E\to X$ $c_{i}(E)\in A^{i}(X)$

$c_{0}(E)=1$
A megfordítható sugárhoz , ${\mathcal {O}}_{X}(D)$ $c_{1}({\mathcal {O}}_{X}(D))=[D]$
A vektorkötegek pontos sorrendje alapján a Whitney-összeg képlete a következő: $0\to E'\to \to E''\to 0,$ $c(E)=c(E')c(E'')$
$c_{i}(E)=0$ számára $i>{\text{rank}}(E)$
A leképezést kiterjesztjük egy gyűrűmorfizmusra $E\mapsto c(E)$ $c:K_{0}(X)\to A^{\bullet }(X)$

Absztrakt számítások formális tulajdonságok használatával

A vonalkötegek közvetlen összegei

Ezen összefüggések felhasználásával számos számítást végezhetünk vektorkötegre. Először is vegyük észre, hogy ha vannak vonalkötegeink , akkor vektorkötegek rövid, pontos sorozatát alkothatjuk ${\mathcal {L}},{\mathcal {L}}'$

0\to {\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {L}}'\to {\mathcal {L}}'\to 0

A és tulajdonságok felhasználásával megkapjuk $egy$ $2$

{\begin{aligned}c({\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {L}}')&=c({\mathcal {L}})c({\mathcal {L}} ')\\&=(1+c_{1}({\mathcal {L))))(1+c_{1}({\mathcal {L))'))\\&=1+c_{1 }({\mathcal {L}})+c_{1}({\mathcal {L}}')+c_{1}({\mathcal {L}})c_{1}({\mathcal {L} }')\end{igazított}}

Indukcióval kapjuk

c(\bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {L}}_{i})=c({\mathcal {L}}_{1})\cdots c({\ matematikai {L}}_{n})

Kétsoros kötegek

Mivel a sima projektív variáns vonalkötegeit az osztóosztály határozza meg , a kettős vonalköteget pedig a negatív osztóosztály , így kapjuk $x$ ${\megjelenítési stílus [D]}$ $-[D]$

c_{1}({\mathcal {L}})=-c_{1}({\mathcal {L}}^{*})

Projektív tér érintőkötege

A fentiek alkalmazhatók a projektív tér Euler-sorozatára

0\ to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\ to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)^ {\oplus (n+1)}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0

számolni

{\begin{aligned}c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n)))c({\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n }})&=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)})\\c({\mathcal {T} }_{\mathbb {P} ^{n)))&=(1+H)^{n+1}\\&={n+1 \choose 0}1+{n+1 \choose 1}H+ \cdots +{n+1 \choose n}H^{n}\end{aligned}}

ahol az 1. fokú hipersíkok osztálya. Vegye figyelembe azt is, hogy a Zhou gyűrűben . $H$ $H^{n+1}=0$ ${\mathbb {P}}^{n}$

Normál sorrend

A projektív tér karakterisztikus osztályainak kiszámítása sok más tér karakterisztikus osztályának kiszámításának alapja, mivel bármely sima projektív részváltozathoz létezik egy rövid pontos sorozat. $X\subset \mathbb {P} ^{n}$

0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}|_{X}\to {\mathcal {N } }}_{X/\mathbb {P} ^{n}}\to 0

Háromdimenziós kvintikus

Vegyünk például egy háromdimenziós kvintikát a -ban . Ezután megadjuk a normál köteget, és van egy rövid pontos sorozatunk ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4))$ ${\mathcal {O}}_{X}(5)$

0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{4}}|_{X}\to {\mathcal {O }}_{X}(5)\to 0

Jelölje a hipersíkok osztályát -ben . Ekkor a Whitney-összeg képlet megadja nekünk $h$ $A^{\bullet }(X)$

{\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})c({\mathcal {O}}_{X}(5))&=(1+h)^{5 }\\&=1+5ó+10ó^{2}+10ó^{3}\end{igazított}}

Mivel egy hiperfelület Zhou gyűrűjét nehéz kiszámítani, ezt a sorozatot koherens tárcsák sorozatának fogjuk tekinteni . Ez ad nekünk ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4))$

c({\mathcal {T}}_{X})={\frac {1+5h+10h^{2}+10h^{3}}{1+5h}}

Vegye figyelembe, hogy létezik formális hatványsor

{\begin{aligned}{\frac {1}{1+5h}}&=1-5h+25h^{2}-125h^{3}+\cdots \\&=1-5h+25h ^{2}-125 óra^{3}\vége{igazított}}

Ennek felhasználásával kaphatunk

{\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&=(1+5h+10h^{2}+10h^{3})(1-5h+25h^{ 2}-125h^{3})\\&=1+10h^{2}-40h^{3}\end{igazított}}

A Gauss-Bonnet tétel segítségével integrálhatjuk az osztályt az Euler-karakterisztika kiszámításához. Ezt hagyományosan Euler-osztálynak nevezik . Nekünk van $c_{3}({\mathcal {T}}_{X})$

\int _{[X]}c_{3}({\mathcal {T}}_{X})=\int _{[X]}-40 óra^{3}=-200

mivel az osztály öt ponttal ábrázolható ( Bézout tételével . Az Euler-karakterisztikával ezután az Euler-karakterisztika definíciója és a Lefschetz-féle hipersík szakasztétel segítségével kiszámíthatjuk a Betti-számokat . $h^3$ $x$

Kotangens sorozat

Egy másik hasznos számítás a projektív tér kotangenskötege. Megduplázhatjuk az Euler-szekvenciát, és megkaphatjuk

0\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)^{\oplus n +1}\ to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\ to 0

A Whitney összegképletet használva azt kapjuk

{\begin{aligned}c(\Omega _{\mathbb {P} ^{n)))&=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}^ {\oplus (n+1)})c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n)))\\&=(1-H)^{n+1}\\& =1-{n+1 \choose 1}H+{n+1 \choose 2}H^{2}+\cdots +{n+1 \choose n}(-1)^{n}H^{n} \end{igazított}}

Kapcsolódó fogalmak

Zhen karaktere

A Chern-osztályok felhasználhatók a tér topológiai K-elméletéből gyűrűhomomorfizmus megalkotására, hogy teljessé váljon a racionális kohemológiája. Az L sorkötegnél a Chern karaktert adjuk meg

\operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^ {m}}{m!}}.

Általánosabban, ha az első Chern osztályú vonalkötegek közvetlen összege, akkor a Chern karakter additív módon kerül meghatározásra. ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n))$ $x_{i}=c_{1}(L_{i}),$

\operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\cdots +x_{n}^{m}).

Ezt a következőképpen lehet átírni [11] :

\operátornév {ch} (V)=\operátornév {rk} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}(c_{1}(V)^{2 }-2c_{2}(V))+{\frac {1}{6}}(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_ {3}(V))+\cdots .

Ez az utolsó kifejezés, amelyet az felosztási elv támogat, a ch(V) definíciójaként használható tetszőleges V vektorkötegekhez .

Ha egy kapcsolatot használunk a Chern osztályok meghatározására, amikor az alap egy sokaság (vagyis a Chern-Weil elmélet ), a Chern karakter explicit kifejezése

{\hbox{ch}}(V)=\left[{\hbox{tr}}\left(\exp \left({\frac {i\Omega }{2\pi }}\right)\ jó jó]

hol van a kapcsolat görbülete . $\Omega$

A Chern karakter többek között azért hasznos, mert lehetővé teszi egy tenzorszorzat Chern osztályának kiszámítását. Pontosabban, a következő egyenlőségeket elégíti ki:

{\hbox{ch}}(V\oplus W)={\hbox{ch}}(V)+{\hbox{ch}}(W)

{\hbox{ch}}(V\otimes W)={\hbox{ch}}(V){\hbox{ch}}(W).

Amint fentebb említettük, Grothendieck additív axiómáját használva a Chern-osztályokra, ezen azonosságok közül az első általánosítható arra az állításra, hogy ch Abel-csoportok homomorfizmusa a K ( X ) K - elméletből az X racionális kohomológiai térbe . A második azonosság azt a tényt támasztja alá, hogy ez a homomorfizmus megőrzi a terméket K ( X )-ben, ezért a ch gyűrűhomomorfizmus.

A Chern karaktert a Hirzebruch-Riemann-Roch tétel használja .

Zhen számok

Ha egy 2n dimenziójú orientált sokasággal dolgozunk , akkor a 2n teljes fokú Chern-osztályok bármely szorzata párosítható az alaposztállyal (vagy "integrált sokasággal"), adva egy egész számot, a vektorköteg Chern -számát . Például, ha az elosztó mérete 6, akkor három lineárisan független Chern-szám létezik, amelyeket c 1 3 , c 1 c 2 és c 3 ad meg . Általában, ha az elosztó mérete 2n , akkor a független Chern-számok száma megegyezik n partícióinak számával .

Egy összetett (vagy majdnem összetett) sokaság érintőkötegének Chern-számait a sokaság Chern-számainak nevezzük, és fontos invariánsok.

A Chern osztály az általánosított kohomológia elméletekben

Létezik a Chern-osztályok elméletének egy általánosítása, ahol a szokásos kohomológiákat általánosítottak váltják fel . Azokat az elméleteket, amelyeknél lehetséges egy ilyen általánosítás, komplex orientáltnak nevezzük . A Chern-osztályok formai tulajdonságai ugyanazok maradnak, egy kritikus különbséggel - a vonalkötegek tenzorszorzatának első Chern-osztályának számítására vonatkozó szabály a dekompozíció első Chern-osztályai szempontjából nem egy (közönséges) összeadás, hanem formális csoportjog adja meg .

A Chern-osztály az algebrai geometriában

Az algebrai geometriában van egy hasonló elmélet a vektorkötegek Chern osztályairól. Számos változat létezik, attól függően, hogy a Chern osztályok melyik csoportba tartoznak:

Az összetett gyűjtőknél a Chern osztályok a szokásos kohomológiában vehetnek fel értékeket (mint fent).
Az általános formájú területeken túli fajták esetében a Chern osztályok olyan kohomológiai elméletekben vehetnek fel értékeket, mint az étale cohomology vagy az l- adic cohomology .
Az V fajtáknál az általános formájú mezőkkel szemben a Chern osztályok a Chow csoportok CH(V) homomorfizmusaiban is felvehetnek értékeket . Például az első Chern-osztály egy vonalkötegben egy V sokaságon a CH( V ) -től CH( V )-ig homomorfizmus, amely a fokot 1-gyel csökkenti. Ez megfelel annak a ténynek, hogy a Chow-csoportok analógiák a homológiacsoportokkal és az elemekkel. kohomológiai csoportok homomorfizmusának tekinthetők a Whitney szorzat alapján .

Szerkezete

A Chern-féle osztályelmélet a kobordizmus invariánsainak forrása szinte összetett struktúrák esetében .

Ha M egy majdnem összetett sokaság, akkor annak érintőkötege összetett vektorköteg . Az M Chern-osztályait ezután az érintőköteg Chern-osztályaiként határozzuk meg . Ha M is kompakt és 2 d dimenziójú , akkor a Chern-osztályok minden 2 d teljes fokú monomiját párosíthatjuk az M sokaság alaposztályával , így egész számot kapunk, az M sokaság Chern-számát . Ha M ′ egy másik, azonos méretű, majdnem összetett sokaság, akkor akkor és csak akkor határos M -hez , ha az M ′ sokaság Chern-száma megegyezik az M sokaság Chern-számával .

Az elméletet a valós szimplektikus vektorkötegekre is általánosítják kompatibilis, szinte összetett struktúrák felhasználásával. Különösen a szimplektikus elosztóknak van egy egyedileg meghatározott Chern osztálya.

Chern osztályok az aritmetikai áramkörökről és a diofantin egyenletekről

(Lásd Arakelov geometriák )

Lásd még

Pontryagin osztály
Stiefel-Whitney osztály
Zhen-Simons elmélet
Euler osztály
Segre osztály
Tom izomorfizmusa

Jegyzetek

↑ Chern, 1946 .
↑ Tu, Loring, 1995 , p. 267ff.
↑ Hatcher, 2003 .
↑ Milnor, Stasheff, 1974 .
↑ Megjegyzés: A jelölés itt eltér a Milnor − Staszef jelöléstől, de természetesebb.
↑ Ezt a sorozatot néha pontos Euler-sorozatnak is nevezik .
↑ Harshorne, 1977 , p. 176, Ch. II. 8.13. Tétel.
↑ Legyen olyan komplex számok csoportja, amely origó nélküli, n - dimenziós térben hat szorzással. Ezután következik a főköteg a struktúracsoporttal , amelynek alapja a komplex projektív tér . Az L at (az origón áthaladó) egyenes egy pont lesz a térben . Katanaev, 2016 , 472 ${\displaystyle \mathbb {C} _{0}=\mathbb {C} \smallsetminus \{0\))$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\smallsetminus \{0\))$ $\mathbb {C} ^{n+1}{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}\mathbb {CP} ^{n}$ $\mathbb {C} _{0}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}=(\mathbb {C} ^{n+1}\smallsetminus \{0\})/\mathbb {C} _{0))$ $\mathbb {C} ^{n+1}$ ${\mathbb {CP}}^{n}$
↑ A gyűrűk elméleti vonatkozásaiban létezik a fokozatos gyűrűk izomorfizmusa : $H^{2*}(M,\mathbb {Z} )\to \oplus _{k}^{\infty }\eta (H^{2*}(M,\mathbb {Z} )) [t],x\mapsto xt^{|x|/2}$ ahol a bal oldalon a páros tagok kohomológiai gyűrűje, az osztályozást figyelmen kívül hagyó homomorfizmusok gyűrűje, x pedig homogén és fokozata | x |. $\eta$
↑ Grothendieck, 1958 .
↑ (Lásd még: #Cheng polinom .) Vegye figyelembe, hogy ha V vonalkötegek összege, akkor V Chern-osztályai a következő elemi szimmetrikus polinomokként fejezhetők ki . Egyrészt különösen, $x_{i}$ $c_{i}(V)=e_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}).$ $c(V):=\sum _{i=0}^{n}c_{i}(V),$ másrészt pedig $c(V)=c(L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n})=\prod _{i=1}^{n}c(L_{i})=\prod _{ i=1}^{n}(1+x_{i})=\összeg _{i=0}^{n}e_{i}(x_{1},\lpontok ,x_{n}).$ Ezért a Newton-azonosságok segítségével ch(V) hatványösszegét más módon csak V Chern-osztályaiban fejezhetjük ki , ami megadja a szükséges képletet.

Irodalom

Chern SS A Hermitian Manifolds jellemző osztályai // Annals of Mathematics . - The Annals of Mathematics, 1946. - V. 47 , no. 1 . – S. 85–121 . — ISSN 0003-486X . - doi : 10.2307/1969037 . — .
Alexander Grothendieck . La théorie des classes de Chern // Bulletin de la Société Mathematique de France. - 1958. - T. 86 . – S. 137–154 . — ISSN 0037-9484 .
Jürgen Jost. Riemann geometria és geometriai elemzés. — 4. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2005. - ISBN 978-3-540-25907-7 . (Egy nagyon rövid bevezető áttekintést adunk Zhen óráiról.)
Május JP Az algebrai topológia tömör kurzusa. - University of Chicago Press, 1999. - ISBN 978-0226511832 .
John Willard Milnor , James D. Stasheff. jellemző osztályok. — Princeton University Press; University of Tokyo Press, 1974. - V. 76. - (Annals of Mathematics Studies). - ISBN 978-0-691-08122-9 .
Elena Rubei. Algebrai geometria, tömör szótár. - Berlin/Boston: Walter De Gruyter, 2014. - ISBN 978-3-11-031622-3 .
Raoul Bott Tu, Loring W. Differenciálformák az algebrai topológiában. — Corr. 3. print.. - New York [ua]: Springer, 1995. - S. 267ff. — ISBN 3-540-90613-4 .
Harshorne R. Algebrai geometria. - Springer-Verlag, 1977. - V. 52. - (Matekból érettségi szövegek). — ISBN 0-387-90244-9 . — ISBN 3-540-90244-9 .
Katanajev Mihail Orionovics Geometriai módszerek a matematikai fizikában. - Az előadások kurzusának bővített változatának harmadik, kiegészített változata. - 2016. - (Előadások kurzusa 2008-2016-ban a Moszkvai Tudományos Akadémia V. A. Szteklovról elnevezett tudományos és oktatási központjában).

Allen Hatcher. 3.10 . állítás // Vektorkötegek és K-elmélet . – 2003.

Linkek

Dieter Kotschick , Chern numbers of algebraic varieties Archivált 2011. június 6. a Wayback Machine -nél