Vegyes termék

A vektorok vegyes szorzata egy vektor skalárszorzata és vektorok vektorszorzata , és : $({\mathbf {a}},{\mathbf {b}}, {\mathbf {c}})$ ${\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}}$ ${\mathbf {a}}$ ${\mathbf {b}}$ ${\mathbf {c}}$

({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf c})={\mathbf {a}}\cdot \left({\mathbf {b}}\times {\mathbf c} \jobb)

Néha a vektorok hárompontos szorzatának is nevezik , nyilván azért, mert az eredmény skalár (pontosabban pszeudoszkalár ).

Geometriai jelentés: a vegyes szorzat modulja numerikusan egyenlő a vektorok által alkotott paralelepipedon térfogatával . ${\mathbf a},{\mathbf b},{\mathbf c}$

Tulajdonságok

A vegyes termék ferdeségszimmetrikus az összes érve tekintetében:

({\mathbf a},{\mathbf b},{\mathbf c})=({\mathbf b},{\mathbf c},{\mathbf a})=({\mathbf c},{\mathbf a},{\mathbf b})=-({\mathbf b},{\mathbf a},{\mathbf c})=-({\mathbf c},{\mathbf b},{\mathbf a} )=-({\mathbf a},{\mathbf c},{\mathbf b});

azaz bármely két tényező permutációja megváltoztatja a szorzat előjelét. Ebből következik tehát

\langle {\mathbf a},[{\mathbf b},{\mathbf c}]\rangle =\langle [{\mathbf a},{\mathbf b}],{\mathbf c}\rangle

A vegyes szorzat a jobb oldali derékszögű koordinátarendszerben (az ortonormális bázisban) egyenlő a vektorokból álló mátrix determinánsával és : $({\mathbf {a}},{\mathbf {b}}, {\mathbf {c}})$ ${\mathbf {a},{\mathbf {b))$ ${\mathbf {c}}$

({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x} &b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}.

A vegyes szorzat a bal oldali derékszögű koordinátarendszerben (ortonormális alapon) egyenlő a vektorokból álló és mínusz előjellel felvett mátrix determinánsával : $({\mathbf {a}},{\mathbf {b}}, {\mathbf {c}})$ ${\mathbf {a},{\mathbf {b))$ ${\mathbf {c}}$

({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})=-{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x }&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}.

Különösen,

Ha bármelyik két vektor kollineáris, akkor bármelyik harmadik vektorral nullával egyenlő vegyes szorzatot alkotnak.
Ha három vektor lineárisan függő (azaz egysíkú, egy síkban van), akkor vegyes szorzatuk nulla.
Geometriai jelentés - A vegyes szorzat abszolút értékben egyenlő a paralelepipedon térfogatával (lásd az ábrát), amelyet a és vektorok alkotnak ; az előjel attól függ, hogy ez a vektorhármas jobb vagy bal. $({\mathbf {a}},{\mathbf {b}}, {\mathbf {c}})$ ${\mathbf {a},{\mathbf {b))$ ${\mathbf {c}}$
A vektorok vegyes szorzatának négyzete egyenlő az általuk meghatározott Gram- determinánssal [1] :215 .

A kevert terméket kényelmesen a Levi-Civita szimbólum (tenzor) használatával írjuk le :

({\mathbf a},{\mathbf b},{\mathbf c})=\sum _{{i,j,k}}\varepsilon _{{ijk}}a^{i}b^{j} c^{k}

(az utolsó képletben ortonormális alapon minden index felírható alacsonyabbnak is; ebben az esetben ez a képlet egy determinánssal eléggé közvetlenül megismétli a képletet, azonban ez a bal oldali bázisokra automatikusan (-1) tényezőt eredményez) .

Általánosítás

A -dimenziós térben a vegyes szorzat természetes általánosítása, amely orientált térfogatot jelent, a vektorkoordinátákkal kitöltött sorokból vagy oszlopokból álló mátrix meghatározója. Ennek a mennyiségnek a jelentése egy orientált -dimenziós térfogat (egy szabványos bázist és egy triviális metrikát kell érteni). $n$ $n\szer n$ $n$

Tetszőleges méretezésű tetszőleges alapon a kevert terméket kényelmesen a megfelelő dimenzió Levi-Civita szimbólumával (tenzorával) írjuk:

({\mathbf a},{\mathbf b},{\mathbf c},\ldots )=\sum _{{i,j,k,\ldots }}\varepsilon _{{ijk\ldots }}a^ {i}b^{j}c^{k}\ldots

A kétdimenziós térben ez a pszeudoszkaláris szorzat .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektoralgebra a példákban és a problémákban . - M . : Felsőiskola , 1985. - 232 p.

Linkek

A vektorok vegyes szorzata és tulajdonságai. Példák problémamegoldásra

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb