Tracy-Widom terjesztés

A Tracy-Widom eloszlás egy statisztikai eloszlás , amelyet Craig Tracy és Harold Widom vezetett be egy véletlenszerű Hermiti mátrix normalizált legnagyobb sajátértékének leírására [1] .

Alkalmazott értelemben a Tracy-Widom eloszlás egy átmeneti függvény a rendszer két fázisa között : gyengén és erősen csatolt komponensekkel [2] . Felmerül a véletlen permutációk legnagyobb növekvő részsorozatának hosszának eloszlásaként is [3] , egy aszimmetrikus folyamat folyamának ingadozásaiban egyszerű kivételekkel (ASEP) lépésenkénti kezdeti feltétellel [4] [5] , valamint a véletlen bemenetek legnagyobb közös probléma -részsorozataiban való viselkedés egyszerűsített matematikai modelljeiben [6] [7] .

Az F 1 eloszlás különösen érdekes a többváltozós statisztika szempontjából [8] [9] [10] [11] .

Definíció

A Tracy-Widom eloszlást határként határozták meg [12]

F_{\beta }(s)=\lim \limits _{{n\rightarrow \infty }}{{\rm {Prob}}}\left((\lambda _{{{\rm {max}}}} -{\sqrt {2n)))({\sqrt {2}})n^{{1/6}}\leq s\right){\mbox{,}}

ahol egy standard véletlen mátrixának legnagyobb sajátértéke (mátrixkomponensekre ) Gauss-együttes : β=1 esetén - ortogonális, β=2 esetén - unitárius, β=4 esetén - szimplektikus. Az eltolást arra használjuk, hogy az eloszlást a 0 pontba központosítsuk. A szorzót azért használjuk, mert az eloszlás szórását a következőre skálázzuk . $\lambda _{{{\rm {max))))$ $n\szer n$ $\sigma =1/{\sqrt 2}$ ${\sqrt {2n}}$ $({\sqrt {2}})n^{{1/6}}$ $n^{{-1/6}}$

Egyenértékű ábrázolások

Az egységes együttesek ( ) kumulatív Tracy-Widom eloszlásfüggvénye Fredholm-determinánsként ábrázolható $\beta=2$

F_{2}(s)=\det(I-A_{s})

operátor egy négyzetbe integrálható függvényen a sugáron kernellel az Airy függvények szempontjából $Mint$ $(s,\infty )$ ${\mathrm {Ai}}$

{\frac {\mathrm {Ai} (x)\mathrm {Ai} '(y)-\mathrm {Ai} '(x)\mathrm {Ai} (y)}{xy)).

Integrálként is ábrázolható

F_{2}(s)=\exp \left(-\int _{s}^{\infty }(xs)q^{2}(x)\,dx\jobb)

a Painlevé-egyenlet megoldásán keresztül II

q^{{\prime \prime }}(s)=sq(s)+2q(s)^{3}\,{\mbox{,}}

ahol a Hastings–McLeod megoldásnak nevezett megoldás teljesíti a peremfeltételeket: $q$

\displaystyle q(s)\sim {\textrm {Ai}}(s),s\rightarrow \infty .

Egyéb Tracy-Widom disztribúciók

A Tracy-Widom eloszlások mind az ortogonális ( ) mind a szimlektikus ( ) együttesekre a Painlevé transzcendens [13] fogalmaival is kifejezhetők : $F_{1}$ $F_{4}$ $\beta=1$ $\beta=4$ $q$

F_{1}(s)=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\right)\,\left( F_{2}(s)\right)^{{1/2}}

és

F_{4}(s/{\sqrt {2}})={\mathrm {ch}}\left({\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x) )\,dx\jobbra)\,\left(F_{2}(s)\right)^{{1/2}}.

Ezt a meghatározást kiterjesztették az összes esetre [14] . $F_{\beta }$ $\beta>0$

Numerikus közelítések

A Painlevé II és Painlevé V egyenletek közelítő megoldásainak és a véletlen mátrixok sajátértékeinek numerikusan meghatározott eloszlásának meghatározására szolgáló numerikus módszereket először 2005-ben mutatták be [15] ( MATLAB segítségével ). Ezeket a közelítő módszereket később analitikailag finomították [16] , és a Painlevé II és Tracy-Widom eloszlások (for ) numerikus elemzésére használják az S-PLUS- ban . Ezeket az eloszlásokat táblázatba foglalták [16] négy szignifikáns számjegyre argumentumértékek szerint 0,01 lépéssel; a munka tartalmazta a p - értékek statisztikai táblázatát is . 2009-ben [17] pontos és gyors algoritmusok a numerikus meghatározási és sűrűségfüggvényekhez . Ezek az algoritmusok használhatók az eloszlások átlagának , variancia- , ferdeségének és gördülékenységének numerikus kiszámítására . $\beta=1,2,4$ $F_{\beta }$ $\textstyle f_{\beta }(s)={dF_{\beta } \over ds}$ $\beta=1,2,4$ $F_{\beta }$

β	Átlagos	Diszperzió	Aszimmetria együttható	Felesleg
egy	−1.2065335745820	1,607781034581	0,29346452408	0,1652429384
2	−1,771086807411	0,8131947928329	0,224084203610	0,0934480876
négy	−2,306884893241	0,5177237207726	0,16550949435	0,0491951565

A Tracy-Widom törvényekkel való munkavégzéshez szükséges funkciókat az RMTstat [18] és a MATLAB RMLab [19] csomagja is tartalmazza .

Egy egyszerű, torzított gamma-eloszláson alapuló közelítést is kiszámítottak [20] .

Jegyzetek

↑ Dominici, D. (2008) Speciális függvények és ortogonális polinomok American Math. szoc.
↑ A titokzatos statisztikai törvénynek végre lehet magyarázata . wired.com (2014. október 27.). Letöltve: 2017. szeptember 30. Az eredetiből archiválva : 2017. július 17. (határozatlan)
↑ Baik, Deift és Johansson (1999) .
↑ Johanson, 2000 .
↑ Tracy, Widom, 2009 .
↑ Majumdar és Nechaev (2005) .
↑ Lásd Takeuchi és Sano, 2010 , Takeuchi et al., 2011 annak kísérleti igazolására (és megerősítésére), hogy egy növekvő csepp (vagy bázis) határfelületének fluktuációit a Tracy-Widom eloszlás (vagy ) írja le, ahogyan azt a ( Prähofer és Spohn, 2000 ) $F_{2}$ $F_{1}$
↑ Johnstone, 2007 .
↑ Johnstone, 2008 .
↑ Johnstone, 2009 .
↑ Az egyetemességről lásd Deift (2007 ) . Az F 1. függelék a populáció szerkezetének genetikai adatokból való következtetéséhez lásd Patterson, Price & Reich (2006 ) $F_{\beta }$ $\beta=1,2,4$
↑ Tracy, CA & Widom, H. (1996), Az ortogonális és szimplektikus mátrixegyüttesekről , Communications in Mathematical Physics 177(3): 727–754, ,10.1007/BF02099545:doi > Archivált : 2014. december 20. a Wayback Machine -nél
↑ Tracy, Widom, 1996 .
↑ Ramírez, Rider & Virág (2006) .
↑ Edelman és Persson (2005) .
↑ 2005. január 12 .
↑ Bornemann, 2010 .
↑ Johnstone et al. (2009) .
↑ Dieng, 2006.
↑ Chiani, 2012 .

Irodalom

Dotsenko V. S. Univerzális véletlenszerűség // Phys . - 2011. - T. 181 , 3. sz . - doi : 10.3367/UFNr.0181.201103b.0269 .
Baik, J.; Deift, P. & Johansson, K. (1999), A véletlen permutációk leghosszabb növekvő részsorozatának hosszának eloszlásáról , Journal of the American Mathematical Society , 12. kötet (4): 1119–1178 , DOI 10.1090/S0894- 0347-99-00307-0 .
Deift, P. (2007), Egyetemesség matematikai és fizikai rendszerek számára , Matematikusok Nemzetközi Kongresszusa (Madrid, 2006) , Európai Matematikai Társaság , p. 125–152 .
Johansson, K. (2000), Shape fluktuációk és véletlen mátrixok , Communications in Mathematical Physics 209. kötet (2): 437–476 , DOI 10.1007/s002200050027 .
Johansson, K. (2002), Toeplitz-determinants, véletlenszerű növekedés és determináns folyamatok , Proc. Matematikusok Nemzetközi Kongresszusa (Peking, 2002) , vol. 3, Peking: Higher Ed. Nyomd. 53–62 .
Johnstone, I. M. (2007), Nagydimenziós statisztikai következtetés és véletlen mátrixok , Nemzetközi Matematikusok Kongresszusa (Madrid, 2006) , Európai Matematikai Társaság , p. 307–333 .
Johnstone, IM (2008), Többváltozós elemzés és Jacobi ensembles: legnagyobb sajátérték, Tracy–Widom határértékek és konvergencia mértéke , Annals of Statistics 36. kötet (6): 2638–2716, PMID 20157626 , DOI 10.12-AOS6/08.50 .
Johnstone, IM (2009), A legnagyobb gyökér hozzávetőleges nulleloszlása többváltozós elemzésben , Annals of Applied Statistics 3. kötet (4): 1616–1633, PMID 20526465 , DOI 10.1214/08-AOAS220 .
Majumdar, Satya N. & Nechaev, Sergei (2005), Exact asymptotic results for the Bernoulli matching model of sequence alignment , Physical Review E T. 72 (2): 020901, 4 , DOI 10.1103/PhysRevE.712.020 .
Patterson, N.; Price, AL & Reich, D. (2006), Population structure and eigenanalysis , PLoS Genetics 2. kötet (12): e190, PMID 17194218 , DOI 10.1371/journal.pgen.0020190 .
Prähofer, M. & Spohn, H. (2000), Univerzális eloszlások termesztési folyamatokhoz 1+1 dimenzióban és véletlen mátrixokban , Physical Review Letters , 84. kötet (21): 4882–4885, PMID 10990822 , DOI 10.1103/ Phys.1103/Phys. .
Takeuchi, KA & Sano, M. (2010), Univerzális fluktuációk a növekvő felületekről: Evidence in turbulens liquid crystals , Physical Review Letters 104 (23): 230601, PMID 20867221 , DOI 10.1103/PhysRevLett3010401260
Takeuchi, K. A.; Sano, M.; Sasamoto, T. & Spohn, H. (2011): A növekvő interfészek a skálainvariancia mögötti univerzális ingadozásokat tárják fel , Scientific Reports 1. kötet : 34 , DOI 10.1038/srep00034
Tracy, CA & Widom, H. (1993), Level-spacing distributions and the Airy kernel , Physics Letters B 305 ( 1-2): 115-118
Tracy, CA & Widom, H. (1994), Level-spacing distributions and the Airy kernel , Communications in Mathematical Physics 159. kötet (1): 151–174 , DOI 10.1007/BF02100489 .
Tracy, CA & Widom, H. (2002), Eloszlási függvények a legnagyobb sajátértékekhez és alkalmazásaik , Proc. Matematikusok Nemzetközi Kongresszusa (Peking, 2002) , vol. 1, Peking: Higher Ed. Nyomd. 587–596 .
Tracy, CA & Widom, H. (2009), Asimptotika az ASEP-ben lépés kezdeti feltétellel , Communications in Mathematical Physics 290. kötet (1): 129–154 , DOI 10.1007/s00220-009-0761-0 .
Bejan, Andrei Iu. (2005), Legnagyobb sajátértékek és minta kovariancia mátrixok. Tracy–Widom és Painleve II: Számítási szempontok és megvalósítás az S-Plusban alkalmazásokkal , M.Sc. disszertáció, Statisztikai Tanszék, The University of Warwick , < http://www.cl.cam.ac.uk/~aib29/TWinSplus.pdf > .
Bornemann, F. (2010), Az eloszlások numerikus értékeléséről a véletlen mátrixelméletben: Áttekintés kísérleti matematikai felhívással, Markov Processes and Related Fields 16. kötet (4): 803–866 .
Chiani, M. (2012), A legnagyobb sajátérték eloszlása valós Wishart és Gauss véletlen mátrixokhoz és egyszerű közelítés a Tracy–Widom eloszláshoz .
Edelman, A. & Persson, P.-O. (2005), Numerical Methods for Omavalue Distributions of Random Matrixes .
Ramirez, JA; Rider, B. & Virág, B. (2006), Beta ensembles, stochastic Airy spektrum, and a diffusion .

Linkek

Kuijlaars, Az eloszlásfüggvények egyetemessége a véletlenmátrix elméletben , < http://web.mit.edu/sea06/agenda/talks/Kuijlaars.pdf > .
Tracy, CA & Widom, H. , A véletlen mátrixelmélet eloszlásai és alkalmazásaik , < http://www.math.ucdavis.edu/~tracy/talks/SITE7.pdf > .
Johnstone, Iain; Ma, Zongming; Perry, Patrick és Shahram, Morteza (2009), „RMTstat” csomag , < http://cran.r-project.org/web/packages/RMTstat/RMTstat.pdf > .
Quanta Magazin: Egy új egyetemes törvény távoli végén

Valószínűségi eloszlások
Diszkrét	Bernoulli Binomiális Geometriai hipergeometrikus Logaritmikus Negatív binomiális Poisson Diszkrét egyenruha Multinomiális
Abszolút folyamatos	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenciális Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormális Normál (Gauss) Logisztikai Nakagami Pareto Pearson félkör alakú folyamatos egyenruha Rizs Rayleigh Diák Tracey – Vidoma Halász Khi-négyzet Exponenciális Variancia-gamma Többváltozós normál kapcsolószó