Ötszögletű parketta

Ötszögletű parketta - geometria : domború ötszögekből álló burkolóanyag . Szabályos ötszögek csempézése az euklideszi térben nem lehetséges, mivel egy szabályos ötszög teljes szöge 108°, és nem oszt sem 180°-ot, sem 360°-ot. Azonban csempézhetik a hiperbolikus síkot és a gömböt .

A sík esetében azonban az összes lehetséges burkolólap szabálytalan ötszögekkel történő teljes leírásának problémája (minden típusú ötszög leírása, amelynél lehetséges ilyen burkolás) nagyon összetett, és a kutatás több mint egy évszázada folyik. .

A sík csempézése egy domború csempével

Egy domború csempéből származó parketták száma

Ötszögletű parketták általában

Feltételezzük, hogy az ötszögeknek csak 15 osztálya létezik, amelyek közül a végtelen számú parkettával egy síkot is lehet csempézni. Az összes ilyen osztály keresése 2015-ig folytatódott, és 2017. május 1-jén Mikael Rao bemutatta a bizonyítékot, hogy nincs más ilyen ötszög [1] [2] . 2017 decemberétől a tétel bizonyítására használt és kifejezetten megírt számítógépes programot Thomas Hales , a Pittsburghi Egyetem matematika professzora [3] [4] és a cikk többi része függetlenül reprodukálta és ellenőrizte. még mindig szakértői értékelés alatt áll .

Éltől szélig parketta

Egyszerűbb feladat, hogy megkeressük az összes olyan parkettát, amely egy széltől-szélig burkolatot alkot, vagyis amikor egyik lapnak egyik oldala sem esik egybe egyszerre két másik oldalával (vagy más szóval, ha a lap egyik csúcsa sem esik egybe. a burkolólap sokszögei egy másik sokszög valamelyik oldalának közepén helyezkednek el).

Összesen nyolcféle bordás ötszögletű domború parkettalap létezik. Azt a tényt, hogy a már találtakon kívül nincs más ilyen típusú parketta, Bagina Olga bizonyította be az omszki algebrai szemináriumon 2011-ben [5] . A bizonyítékot 2017-ben tették közzé [6] .

Baginától függetlenül a bizonyítékot Sugimoto is megszerezte 2012-ben [7] .

Nevezetes parkettatípusok

Az összerakható ötszögek tizenöt ismert osztálya közül egyiket sem fedi le teljesen a többiek egyesülése. Egyes osztálypárok azonban átfedhetik egymást. Ezenkívül egyes osztályokban vannak sokszögek, amelyekhez a sík ezen osztályú csempékkel történő burkolásának szabványos sémája mellett alternatív csempézési módszerek is léteznek.

A lapok fenti osztályozásában az ötszög sarkait A,B,C,D,E, oldalainak hosszát a, b, c, d, e, ahol |EA|=a, | AB|=b, |BC|= c, |CD|=d, |DE|=e. Ezen osztályok közül sok rendelkezik szög- és oldalegyenletekkel kifejezett szabadsági fokokkal. Különösen az 1., 2., 4., 5., 6., 7., 8., 9. és 13. osztályok tesznek lehetővé olyan paramétereket, amelyek az ötszögeket nem konvexekké teszik.

15 db egycsempés ötszögletű parketta

egy	2	3	négy	5
B+C=180° A+D+E=360°	c=e B+D=180°	a = b, d = c + e A = C = D = 120°	b = c, d = e B = D = 90°	a = b, d = e A = 60°, D = 120°
6	7	nyolc	9	tíz
a = d = e, b = c B + D = 180°, 2B = E	b = c = d = e B + 2E = 2C + D = 360°	b = c = d = e 2B + C = D + 2E = 360°	b = c = d = e 2A + C = D + 2E = 360°	a = b = c + e A = 90°, B + E = 180°, B + 2C = 360°
tizenegy	12	13	tizennégy	tizenöt
2a + c = d = e A = 90°, 2B + C = 360° C + E = 180°	2a = d = c + e A = 90°, 2B + C = 360° C + E = 180°	d = 2a = 2e B = E = 90°, 2A + D = 360°	2a = 2c = d = e A = 90°, B ≈ 145,34°, C ≈ 69,32°, D ≈ 124,66°, E ≈ 110,68° (2B + C = 360°, C + E = 180°).	a = c = e, b = 2a A = 150°, B = 60°, C = 135°, D = 105°, E = 90°

A periódusos burkolólapok szimmetriacsoportjukkal jellemezhetők , például p2 (2222) a 4 forgáspontot (párhuzamos fordítást figyelembe véve) 2-es rendű burkolólapoknál (a kép 360/2=180-kal elforgatva önmagává alakul át) °). Ezt használjuk a későbbiekben az illusztrációkon, ahol ugyanazok a színek láthatók, a mozaik csempéi, megfelelő elforgatással egymásba fordulva.

A primitív cella a legkisebb csempe, amely másolva és mozgatva a teljes adott mozaikot alkotja.

Típusok 1,2,3,4,5 (Reinhardt, 1918)

Az első öt burkolótípust 1918-ban írta le Carl Reinhardt . [8] Mind ez az öt csempe izoéderes volt , azaz mindegyik csempét egymásba lehetett fordítani egyszerű elforgatással és átfordítással, tükörtükrözés nélkül.

Grünbaum és Shephard kimutatta, hogy pontosan 24 különböző izoéder burkolat létezik. [9] Mind a 24 típus a Reinhardt által leírt osztályokhoz tartozott, de néha további feltételeket igényelt. Mindegyik 2-es típusú készlethez két izoéder burkoló tartozik, a másik négyhez pedig egy-egy. A többi 18 típusból 15 az 1-es típusú burkolólap speciális esete, a 24 típusból 9 a széltől szélig érő parketta. [tíz]

Az alábbi képek melletti szimmetriacsoportok orbifold jelöléssel vannak megadva .

Az első típusú csempéknél sokféleképpen lehet vele burkolni a síkot. A következő öt topológiailag különböző példa a tesszellációkra:

Csempézés típusa 1

p2 (2222)	cmm (2*22)	cm (*×)	pmg (22*)	pgg (22x)	p2 (2222)	cmm (2*22)
p2 (2222)	cmm (2*22)	p1 (°)	p2 (2222)	p2 (2222)	p2 (2222)	cmm (2*22)

2 csempéből álló primitív cella			4 csempéből álló primitív cella
B + C = 180° A + D + E = 360°		a = c, d = e A + B = 180°, A + D + E = 360°	a = c A + B = 180°, C + D + E = 360°	a = e B + C = 180°, A + D + E = 360°	d = c + e A = 90°, C + D = 180° 2B + C = 360° B + E = 270°

2. típus
pgg (22x)
p2 (2222)

4 csempéből álló primitív cella
c = e B + D = 180°	c = e, d = b B + D = 180°

3. típus		4. típus		5. típus
p3 (333)	p31m (3*3)	p4 (442)	p4g (4*2)	p6 (632)


3 lapkából álló primitív cella		4 csempéből álló primitív cella		6 csempéből álló primitív cella	18 lapkából álló primitív cella
a = b, d = c + e A = C = D = 120°		b = c, d = e B = D = 90°		a = b, d = e A = 60°, D = 120°	a = b = c, d = e A = 60°, B = 120°, C = 90° D = 120°, E = 150°

6,7,8 típusok (Kershner, 1968)

Richard Kershner 1968-ban további három csempét írt le. Azt állította, hogy a most talált nyolc típuson kívül nincs más, de kiderült, hogy tévedett.

A 7-es és 8-as típusban először a királis csempék jelennek meg (vagyis a szimmetriapályák teljes leírásához először nem csak forgásokat, hanem visszaverődéseket is kell használni). Az alábbi képen a királis lapok párjait színpárok (sárga, zöld) és (kék, halványkék) jelzik.

Az alábbi példák mindegyike 2-izoéder.

6. típus	6 -os típus (5-ös típus is)	7. típus	8. típus
p2 (2222)		pgg (22x)	pgg (22x)
p2 (2222)		p2 (2222)	p2 (2222)


a = d = e, b = c B + D = 180°, 2B = E	a = d = e, b = c B = 60°, A = C = D = E = 120°	b = c = d = e B + 2E = 2C + D = 360°	b = c = d = e 2B + C = D + 2E = 360°
4 csempéből álló primitív cella	4 csempéből álló primitív cella	8 csempéből álló primitív cella	8 csempéből álló primitív cella

10. típus (James, 1975)

Miután áttekintette Kershner eredményeit Martin Gardner "Math Games" rovatában a Scientific American -ban, Richard James egy másik típusú ötszöget talált, amelyet ma 10-es típusnak neveznek.

Az itt bemutatott példák 3-izoéderek.

típus 10
p2 (2222)	cmm (2*22)


a=b=c+e A=90, B+E=180°, B+2C=360°	a=b=2c=2e A=B=E=90°, C=D=135°
6 csempéből álló primitív cella

9., 11., 12., 13. típus (Rízs, 1977)

Marjorie Rice amatőr matematikus 1976-ban és 1977-ben talált további négy fajta burkolásra alkalmas csempét.

Mind a négy parkettatípus 2-izoéderes. Az alábbi képen a királis lapok párjait színpárok (sárga, zöld) és (kék, halványkék) jelzik.

A négy típus közül csak a 9-es típus ad éltől szélig csempézést.

A primitív cellák mindenhol 8 lapkát tartalmaznak.

9. típus	11. típus	12. típus	13. típus
pgg (22x)
p2 (2222)


b=c=d=e 2A+C=D+2E=360°	2a+c=d=e A=90°, 2B+C=360° C+E=180°	2a=d=c+e A=90°, 2B+C=360° C+E=180°	d=2a=2e B=E=90°, 2A+D=360°
8 csempéből álló primitív cella	8 csempéből álló primitív cella	8 csempéből álló primitív cella	8 csempéből álló primitív cella

14. típus (Stein, 1985)

A tizennegyedik mozaikot Rolf Stein találta meg 1985-ben. Az általa talált csempe 3-izoéderes, és nem a széltől a szélig típusú.

Sőt, burkolása szigorúan rögzített lapokból áll - a szögegyenleteken keresztül nincs változékonyság, mint az előző típusoknál, itt sincsenek szabadsági fokok. Íme néhány lehetőség ehhez a rögzített csempéhez:

b=a{\sqrt {\frac {11{\sqrt {57}}-25}{8}}}

\sin(B)={\frac {{\sqrt {57}}-3}{8}}

\cos(B)=-{\sqrt {\frac {3{\sqrt {57}}-1}{32}}}

\tan(B)=-{\frac {1}{4}}{\sqrt {3{\sqrt {57}}-15}}

Ezekből az értékekből könnyen levezetheti a többit.

Egy ilyen csempe primitív cellája hat lapkát tartalmaz.

típus 14
pgg (22x)
	2a=2c=d=e A=90°, B≈145,34°, C≈69,32°, D≈124,66°, E≈110,68° (2B+C=360°, C+E=180°).	6 csempéből álló primitív cella

15. típus (Mann, Macleod, von Durey, 2015)

A Bothell-i Washington Egyetem kutatói, Casey Mann, Jennifer Macleod és David von Duray matematikusok 2015-ben számítógépes számítások segítségével megtalálták a tizenötödik parkettatípust. Munkájuk 2015 októberében jelent meg. [tizenegy]

Ez a burkolólap nem egy széltől-szélig burkolat. 3-izoéderes (ezt két szimmetria biztosítja – 180°-os elforgatás az egyik elemi cella világossárga lapjainak találkozási pontja körül, és tükörvisszaverődés két különböző elemi cellából származó világossárga lapok találkozási pontja körül) . A mozaikban királis csempe található - a képen színpárok jelzik (sárga, világos sárga), (kék, cián), (piros, rózsaszín). A primitív cella 12 lapkát tartalmaz.

A 14-es típusú parkettához hasonlóan ez a parketta is egyetlen cserépből építhető, nincs szabadságfok az oldalak szögének és hosszának változtatására.

15. típus
( Nagyobb kép )	a=c=e, b=2a, d= √ 2 + √ 3 a A=150°, B=60°, C=135° D=105°, E=90°	12 csempéből álló primitív cella

Nem időszakos parketták

Léteznek ötszögletű csempéből készült nem időszakos parketták is. Radiális szimmetriájúak, vagyis egybeesnek önmagukkal, miután a középponthoz képest egy bizonyos szöget átfordítottak.

Az alábbiakban egy sugárirányú szimmetriájú burkolólapról lesz szó, ha a központi pont körüli elforgatás után önmagával egybeesik . $k$ ${\frac {2\pi }{k}}$

2016-ban Bernard Claasen kimutatta, hogy minden esetben létezik nem periodikus ötszögletű burkolás, amelynek radiális szimmetriája van [12] [13] . Építési módszere az volt, hogy a síkot ötszögpárokkal töltötte meg, amelyeket az egyik oldalon úgy kapcsoltak össze, hogy hatszöget alkossanak. Ha az ötszög egyik szöge egyenlő , és az oldalak hosszát helyesen választjuk meg, akkor az ilyen, egy pont körül triviálisan összeillesztett ötszögekből kiindulva kiszámíthatóan meg lehet tölteni az őket körülvevő rétegeket egyenként. $k\geq 2$ $k$ ${\frac {2\pi }{k}}$

Ötszögletű burkolás radiális szimmetriával, 5. rendű	Ötszögletű burkolás sugárirányú szimmetriával, 6. rendű	Ötszögletű burkolás 7-es rendű radiális szimmetriával	Példa egy Claasen burkolóanyagra $k=7$

Kettős vagy homogén parketták

Háromféle parkettát különböztetünk meg a kettős vagy homogén parkettáktól . Mindezek a parketták bordás-bordás típusúak. A kettős parketták szimmetriái egybeesnek a megfelelő homogén parketták szimmetriáival. Mivel a homogén parketták izogonálisak , a kettős parkettáik izoéderek.

cmm (2*22)	p4g (4*2)	p6 (632)

Prizmás ötszögletű parketta1. típusú példány [8]	Kairói ötszögletű mozaik4. típusú példány [8] [14]	Ötszögletű virágos mozaikAz 1., 2. és 5. típusú példány
120°, 120°, 120°, 90°, 90° V3.3.3.4.4	120°, 120°, 90°, 120°, 90° V3.3.4.3.4	120°, 120°, 120°, 120°, 60° V3.3.3.3.6

Egy sík csempézése több csempével

Kettős parketta k -homogén

Más k -homogén parketták, amelyeknek mindegyik csúcsa öt kilépő éllel rendelkezik, szintén kettős ötszögletű parkettával rendelkezik, de több különböző csempéből áll. Más csempe azonban nem jelenik meg bennük, kivéve a közönséges parkettákban megjelenő hármat, kettőstől homogénig.

A k -homogén parkettával kettős parketták k -izoéderek.

Például az alábbiakban láthatók az ötszögletű parketták, amelyek kettős, 2, 3, 4 és 5 homogén, valamint külön (mindegyik alatt) az ezeket alkotó csempék.

2-izoéder		3-izoéder
p4g (4*2)	pgg (22x)		p2 (2222)	p6 (*632)


4-izoéder			5-izoéder
pgg (22x)		p2 (2222)		p6m (*632)


5-izoéder
pgg (22x)			p2 (2222)

Ötszög-hatszögletű burkolólapok

Az ötszögek érdekes kapcsolatban állnak a hatszögekkel. Egyes hatszögtípusok ötszögekre bonthatók – konkrétan egyetlen hatszöget is fel lehet bontani:

2 db 1-es típusú csempe
3 típusú 3 csempe
4 típusú 4 csempe
9 db 3-as típusú csempe

A sokféle lehetőség miatt a síkot végtelen sokféleképpen lehet ötszögekre burkolni, amelyeket egy szabályos burkolólap hatszögeinek felosztásából állítanak elő.

A sík burkolása egy ötszögletű csempével (1. típus), hatszögekből álló szabályos mozaik kialakításával (mindegyik 2 ötszögre van osztva)	A sík csempézése egy ötszögletű csempével (3-as típus), hatszögekből álló szabályos mozaik kialakításával (mindegyik 3 ötszögre van osztva)	A sík burkolása egy ötszögletű csempével (4-es típus), hatszögekből álló szabályos mozaik kialakításával (mindegyik 4 ötszögre van osztva)	A sík burkolása egy ötszögletű csempével (3-as típus) két különböző méretű hatszögből álló szabályos mozaik kialakításával (mindegyik 3 vagy 9 lapkára van osztva)

Burkolás nem domború ötszögekkel

A sík nem konvex sokszögekkel történő burkolása is létezik. Ilyen például a Szfinx burkolólap, amely egy nem időszakos burkolás az elválasztólap méretének növelésével . A "Szfinx" ábrához a párjaik paralelogrammává történő összeállítása révén, valamint a sík triviális csempézése is létezik ilyen paralelogrammákkal.

2003-ban Gerver megmutatta, hogyan lehet egy szabályos háromszöget három nem konvex sokszögre bontani. Ugyanezt a sémát használva tetszőleges szabályos -gont végtelen sokféleképpen fel lehet osztani nem konvex ötszögekre. Ez a módszer különösen alkalmas 3, 4 és 6 szögekre, amelyek szabályos tesszellációinak felosztása révén a sík csempézésének egy másik végtelen osztályát nem konvex sokszögekké lehet előállítani. $k$ $k$

Jegyzetek

↑ Konjajev, Andrej . A francia matematikus megoldotta az N+1 sík burkolásának problémáját ( 2017. július 12.). Archiválva az eredetiből 2018. január 5-én. Letöltve: 2018. január 4.
↑ Rao művének előnyomata . Letöltve: 2018. március 12. Az eredetiből archiválva : 2017. augusztus 2.. (határozatlan)
↑ Hales programkód
↑ Hales munkájának publikálása archiválva : 2017. augusztus 6. a Wayback Machine -nél a Quanta Magazine weboldalán
↑ Omszki algebrai szeminárium . Letöltve: 2018. március 12. Az eredetiből archiválva : 2018. március 12. (határozatlan)
↑ O. G. Bagina. Egyenlő szomszédos oldalpárral rendelkező mozaikötszögek tulajdonságairól // Matematikai Intézet im. S. L. Soboleva Szibériai elektronikus matematikai hírek. - Elektronikus magazin, 2017. - december 8. ( 14. évf. ). - S. 1380-1412 . doi : 10.17377 / semi.2017.14.119 . (Orosz)
↑ Sugimoto, Teruhisa (2012), Konvex ötszögek éltől szélig burkoláshoz, I. , Forma T. 27 (1): 93–103 , < http://www.scipress.org/journals/forma/abstract/ 2701/27010093.html > Archiválva : 2020. május 20. a Wayback Machine -nél
↑ 1 2 3 Reinhardt, Karl (1918), Über die Zerlegung der Ebene in Polygone , Dissertation Frankfurt am Main, Borna-Leipzig, Druck von Robert Noske,, p. 77–81 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN316479497&DMDID=DMDLOG_0013&LOGID=LOG_0013&PHYSID=PHYS_0083 > (megjegyzés: a munkában legalább egy hiba van A 77. oldalon az első két típusú csempében a γ +δ szögek összege π legyen, ne 2π)
↑ Grünbaum, Shephard, 1978 .
↑ Schattschneider, 1978 .
↑ Mann, Casey; McLoud-Mann, Jennifer és David Von Derau (2015), Konvex ötszögek, amelyek $i$-blokk tranzitív burkolatokat engednek meg, arΧiv : 1510.01186 [math.MG].
↑ Klaassen, Bernard. Forgásszimmetrikus burkolólapok domború ötszögekkel és hatszögekkel // Elemente der Mathematik : folyóirat. - 2016. - Kt. 71 , sz. 4 . - 137-144 . o . — ISSN 0013-6018 . - doi : 10.4171/em/310 .
↑ Klaassen, Bernhard (2016), Forgásszimmetrikus burkolólapok konvex ötszögekkel és hatszögekkel, arΧiv : 1509.06297 [math.MG].
↑ Kairói ötszögletű csempézés egy 4 -es pentagon típusú lekérdezéssel archiválva 2017. december 28-án a Wayback Machine -nél és egy ötszögletű 2 -es típusú csempézési lekérdezéssel Archiválva : 2017. december 29-én a Wayback Machine -nél a wolframalpha.com -on Archiválva : 2017. február 24-én a Wayback Machine a 2-es típusú ötszögletű burkolólap wolfram-definíciója nem egyezik meg a Reinhardt által 1918-ban meghatározott 2-es típussal )

Linkek

Branko Grünbaum, Geoffrey C. Shephard. A sík izoéderes csempézése poligonok szerint // Commentarii Mathematici Helvetici. - 1978. - T. 53 . - S. \u003d 542-571 . — ISSN 0010-2571 . - doi : 10.5169/tömítések-40786 . (nem elérhető link)
Schattschneider, Doris (1978), A sík csempézése egybevágó ötszögekkel , Mathematics Magazine 51. köt. (1): 29–44, ISSN 0025-570X , DOI 10.2307/2689644
Gerver, ML (2003), Tételek sokszögek tesszellációiról , Sbornik: Mathematics 194 (6): 879–895 , doi 10.1070/sm2003v194n06abeh000743
Pentagon burkolólapok
A matematikusok új típusú ötszögletű parkettát találtak
Matematikai parketta

geometrikus mozaikok

Időszakos

püthagoraszi
Rombikus
Schwartz háromszög
Téglalap alakú
- Dominó
Ötszögű
Homogén mozaik
Honeycombs
- Színezés
- Konvex
- Osztott mozaik
Lapos krisztallográfiai csoport
Wythoff építkezés

időszakos

Ammann-Binker
Időszakos mozaiklapkészlet
- Lista
Egy csempe kihívás
- Sokolara – Taylor
Gilbert
Penrose
szélkerék
kupolás
Elválasztó és önragasztó készletek
- Szfinksz
Truche

Egyéb

Nem izoéder és izoéder
Építészeti és fényvisszaverő
Circle Limit III
Számítógépes grafika
lépek
Edge tranzitív
Csomag
Feladatok
Mozaik csempe
- Conway kritériuma
- Girih
A gép szabályos felosztása
Szabályos rács
Helyettesítések
Voronoi diagram
Foderberg

Csúcskonfiguráció szerint _

Gömbölyű	2n _ 3 3 n V3 3.n _ 42.n _ _ V4 2.n _
helyes	2∞ _ 3 6 4 4 6 3
félig helyes	3 2 .4.3.4 V3 2.4.3.4 _ 3 3 .4 2 3 3 .∞ 3 4 .6 V3 4.6 _ 3.4.6.4 (3.6) 2 3.12 2 4 2 .∞ 4.6.12 4,8 2
Hiperbolikus _	3 2 .4.3.5 3 2 .4.3.6 3 2 .4.3.7 3 2 .4.3.8 3 2 .4.3.∞ 3 2 .5.3.5 3 2 .5.3.6 3 2 .6.3.6 3 2 .6.3.8 3 2 .7.3.7 3 2 .8.3.8 3 3 .4.3.4 3 2 .∞.3.∞ 3 4 .7 3 4 .8 3 4 .∞ 3 5 .4 3 7 3 8 3∞ _ (3.4) 3 (3.4) 4 3,4,6 2,4 _ 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4 3.6.4.6 (3.7) 2 (3.8) 2 3.14 2 3,16 2 (3.∞) 2 3.∞ 2 4 2 .5.4 4 2 .6.4 4 2 .7.4 4 2 .8.4 4 2 .∞.4 4 5 4 6 4 7 4 8 4∞ _ (4.5) 2 (4.6) 2 4.6.12 4.6.14 V4.6.14 4.6.16 V4.6.16 4.6.∞ (4.7) 2 (4.8) 2 4.8.10 V4.8.10 4.8.12 4.8.14 4.8.16 4.8.∞ 4.10 2 4.10.12 4.12 2 4.12.16 4.14 2 4.16 2 4.∞ 2 (4.∞) 2 5 4 5 5 5 6 5∞ _ 5.4.6.4 (5.6) 2 5.8 2 5.10 2 5.12 2 (5.∞) 2 6 4 6 5 6 6 6 8 6.4.8.4 (6.8) 2 6,8 2 6.10 2 6.12 2 6.16 2 7 3 74 _ 7 7 7,6 2 7,8 2 7.14 2 8 3 8 4 8 6 8 8 8 12 8.6 2 8.16 2 ∞ 3 ∞ 4 ∞ 5 ∞∞ _ ∞.6 2 ∞.8 2