Csempe helyettesítések

A csempehelyettesítés a mozaikok készítésének egyik módja . A legfontosabb, hogy egyes csempehelyettesítések időszakos csempéket alkotnak , vagyis olyan tesszellációkat, amelyek prototiliái nem alkotnak párhuzamos fordítású csempét . Ezek közül a leghíresebbek a Penrose csempék . A helyettesítő burkolólapok a véges felosztási szabályok speciális esetei , amikor a csempéknek nem kell geometriailag egyenlőnek lenniük.

Bevezetés

A csempék helyettesítését prototilok készlete , kiterjesztési leképezés és egy osztási szabály írja le , amely meghatározza, hogyan kell felosztani a kiterjesztett prototilokat egyes prototilok másolatainak létrehozására . A csempe iteratív helyettesítése egy csempét hoz létre a síkban, amelyet helyettesítő csempézésnek neveznek . Egyes permutációs csempézések periodikusak , azaz transzlációs szimmetriával rendelkeznek . A nem periódusos permutációs csempék közül néhány aperiodikus , ami azt jelenti, hogy prototiljaik nem helyezhetők el periodikus burkolatként. ${\displaystyle T_{1},T_{2},\dots ,T_{m))$ $K$ ${\displaystyle QT_{i))$ $T_{j}$

Egy egyszerű példa időszakos csempézés létrehozására egyetlen csempével, nevezetesen egy négyzettel:

A helyettesítés megismétlésével a sík egyre nagyobb területeit fedi le a négyzetrács. Az alábbiakban egy bonyolultabb példa látható két proto-csempére.

Intuitív módon megérthetjük, hogy ez az eljárás hogyan hozza létre a teljes sík helyettesítő csempézését . A matematikai definíciót az alábbiakban adjuk meg. A szubsztitúciós csempék nagyon hasznosak az aperiodikus csempézés meghatározásának módjaként , amelyek a matematika számos területén a tanulmány tárgyai , beleértve az automataelméletet , a kombinatorikát , a kombinatorikus geometriát , a dinamikus rendszereket , a csoportelméletet , a harmonikus elemzést és a számelméletet , nem is beszélve. azok a területek, ahol ezek a csempék származnak, krisztallográfia és kémia . A Penrose burkolólap egy példa az aperiodikus permutációs burkolásra.

Történelem

1973-ban és 1974-ben Roger Penrose felfedezte az időszakos burkolólapok családját, amelyet ma Penrose csempéknek hívnak . Az első felfedezést a "kombinációs szabályok" adta, amelyek szerint a csempével végzett munka ugyanúgy zajlott, mint a mozaikkép darabjaival . Annak bizonyítéka, hogy ezeknek a prototiloknak a másolatait össze lehet kapcsolni egy sík csempézéshez , de ez a burkolás nem képezhet periodikus csempét, olyan konstrukciót használ, amely prototil helyettesítő csempézésnek tekinthető. 1977 -ben Robert Ammann több aperiodikus prototilis halmazt fedezett fel, pl. prototilok, amelyeknél az illesztési szabályok nem időszakos csempézésekhez vezetnek. Különösen az első Penrose-példát fedezte fel újra. Ez a munka hatással volt a krisztallográfia területén dolgozó tudósokra , ami végül a kvázikristályok felfedezéséhez vezetett . Ezzel szemben a kvázikristályok iránti érdeklődés néhány jól rendezett aperiodikus tesszelláció felfedezéséhez vezetett. Sok közülük könnyen leírható helyettesítő burkolóanyagként.

Matematikai definíció

Tekintsük az által jól kondicionált régiókat abban az értelemben, hogy a régió egy nem üres kompakt részhalmaz, amely a belsejének lezárása . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{d))$

Vegyünk egy területkészletet prototilként. A prototil elhelyezése a pár , ahol az izometriája . A képet tárhelynek nevezik. A T burkolólap olyan prototil-elhelyezési régiók halmaza, amelyekben a prototilok belső régióinak nincs közös része. Azt mondjuk, hogy a T burkolás a W-en lévő csempézés, ha W a T -ből származó szakaszos területek uniója . $\mathbf {P} =\{T_{1},T_{2},\dots ,T_{m}\}$ $T_{i}$ $(T_{i},\varphi )$ $\varphi$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{d))$ $\varphi (T_{i})$

A csempék helyettesítése a szakirodalomban gyakran nem pontosan meghatározott. A pontos definíció a következő [1] .

A P prototilok csempe helyettesítése egy olyan pár , ahol egy lineáris leképezés , amelynek minden sajátértéke nagyobb, mint az abszolút érték egysége, és a helyettesítési szabályok egy csempére vannak leképezve . A csempe helyettesítése leképezést generál a W terület bármely T lapjáról a terület lapkájára $(Q,\sigma )$ ${\displaystyle Q:{\mathbb {R} }^{d}\to {\mathbb {R} }^{d))$ $\sigma$ $T_{i}$ ${\displaystyle QT_{i))$ $\sigma$ $\sigma (\mathbf {T} )$ $Q_{\sigma }(\mathbf {W} )$

\sigma (\mathbf {T} )=\bigcup _{(T_{i},\varphi )\in \mathbf {T} }\{(T_{j},Q\circ \varphi \circ Q ^{-1}\circ \rho ):(T_{j},\rho )\in \sigma (T_{i})\}.

Vegye figyelembe, hogy a prototilok a csempe helyettesítéséből következtethetők. Így nincs szükség a csempehelyettesítésekbe [2] . $(Q,\sigma )$

Minden olyan csempézést , amelynek véges része kongruens valamely részhalmazával, helyettesítő csempézésnek nevezzük (a csempe helyettesítésére ). ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{d))$ $\sigma ^{k}(T_{i})$ $(Q,\sigma )$

Lásd még

Mozaik "csapkerék"

Jegyzetek

↑ Frettlöh, 2005 , p. 619-639.
↑ Vince, 2000 , p. 329-370.

Olvasás további olvasáshoz

N. Pytheas Fogg. Helyettesítések a dinamikában, az aritmetikában és a kombinatorikában / Szerkesztők Berthé, Valérie; Ferenczi, Sebastien; Mauduit, Christian; Siegel, A.. - Berlin: Springer-Verlag , 2002. - T. 1794. - (Matematikai előadásjegyzetek). — ISBN 3-540-44141-7 .
D. Frettlöh. A helyettesítések által generált modellkészletek kettőssége // Román J. of Pure and Applied Math. - 2005. - Kiadás. 50 .
Vince A. Irányok a matematikai kvazikristályokban / M. Baake, R. V. Moody. - Providence: AMS, 2000. - Vol. 13. - (CRM Monograph series).

Linkek

Dirk Frettlöh és Edmund Harriss Encyclopedia of Substitution Tilings

geometrikus mozaikok

Időszakos

püthagoraszi
Rombikus
Schwartz háromszög
Téglalap alakú
- Dominó
Ötszögű
Homogén mozaik
Honeycombs
- Színezés
- Konvex
- Osztott mozaik
Lapos krisztallográfiai csoport
Wythoff építkezés

időszakos

Ammann-Binker
Időszakos mozaiklapkészlet
- Lista
Egy csempe kihívás
- Sokolara – Taylor
Gilbert
Penrose
szélkerék
kupolás
Elválasztó és önragasztó készletek
- Szfinksz
Truche

Egyéb

Nem izoéder és izoéder
Építészeti és fényvisszaverő
Circle Limit III
Számítógépes grafika
lépek
Edge tranzitív
Csomag
Feladatok
Mozaik csempe
- Conway kritériuma
- Girih
A gép szabályos felosztása
Szabályos rács
Helyettesítések
Voronoi diagram
Foderberg

Csúcskonfiguráció szerint _

Gömbölyű	2n _ 3 3 n V3 3.n _ 42.n _ _ V4 2.n _
helyes	2∞ _ 3 6 4 4 6 3
félig helyes	3 2 .4.3.4 V3 2.4.3.4 _ 3 3 .4 2 3 3 .∞ 3 4 .6 V3 4.6 _ 3.4.6.4 (3.6) 2 3.12 2 4 2 .∞ 4.6.12 4,8 2
Hiperbolikus _	3 2 .4.3.5 3 2 .4.3.6 3 2 .4.3.7 3 2 .4.3.8 3 2 .4.3.∞ 3 2 .5.3.5 3 2 .5.3.6 3 2 .6.3.6 3 2 .6.3.8 3 2 .7.3.7 3 2 .8.3.8 3 3 .4.3.4 3 2 .∞.3.∞ 3 4 .7 3 4 .8 3 4 .∞ 3 5 .4 3 7 3 8 3∞ _ (3.4) 3 (3.4) 4 3,4,6 2,4 _ 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4 3.6.4.6 (3.7) 2 (3.8) 2 3.14 2 3,16 2 (3.∞) 2 3.∞ 2 4 2 .5.4 4 2 .6.4 4 2 .7.4 4 2 .8.4 4 2 .∞.4 4 5 4 6 4 7 4 8 4∞ _ (4.5) 2 (4.6) 2 4.6.12 4.6.14 V4.6.14 4.6.16 V4.6.16 4.6.∞ (4.7) 2 (4.8) 2 4.8.10 V4.8.10 4.8.12 4.8.14 4.8.16 4.8.∞ 4.10 2 4.10.12 4.12 2 4.12.16 4.14 2 4.16 2 4.∞ 2 (4.∞) 2 5 4 5 5 5 6 5∞ _ 5.4.6.4 (5.6) 2 5.8 2 5.10 2 5.12 2 (5.∞) 2 6 4 6 5 6 6 6 8 6.4.8.4 (6.8) 2 6,8 2 6.10 2 6.12 2 6.16 2 7 3 74 _ 7 7 7,6 2 7,8 2 7.14 2 8 3 8 4 8 6 8 8 8 12 8.6 2 8.16 2 ∞ 3 ∞ 4 ∞ 5 ∞∞ _ ∞.6 2 ∞.8 2