Természetes logaritmus 2

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. július 19-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A 2 természetes logaritmusa decimális jelölésben ( A002162 sorozat az OEIS -ben ) kb.

\ln 2\kb. 0{,}693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458\,176\,568\,075\ ,500\,134\,360\,255\,254\,120\,680\,009\,493\,393\,621\,969\,694\,715\,605\,863\,326 \,996\,418\,687

amint azt az alábbi táblázat első sora mutatja. A relációból kiszámolható a 2-es szám logaritmusa eltérő alappal ( b ).

\log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b)).

A 2-es szám ( A007524 ) decimális logaritmusa megközelítőleg egyenlő

\log _{10}2\approx 0{,}301\,029\,995\,663\,981\,195\,213\,738\,894\,724\,493\,026 \,768\,189\,881\,462\,108\,541\,310\,427\,461\,127\,108\,189\,274\,424\,509\,486\, 927\,252\,118\,186\,172\,040\,684

Az adott szám reciproka a 10 bináris logaritmusa :

\log _{2}10={\frac {1}{\log _{10}2}}\kb. 3{,}32\,192\,809\,488\,736\,234\ ,787\,031\,942\,948\,939\,017\,586\,483\,139\,302\,458\,061\,205\,475\,639\,581\,593 \,477\,660\,862\,521\,585\,013\,974\,335\,937\,015

( A020862 ).

Szám	A természetes logaritmus hozzávetőleges értéke	OEIS
2	0,693147180559945309417232121458	A002162 szekvencia az OEIS -ben
3	1,09861228866810969139524523692	A002391 szekvencia az OEIS -ben
négy	1,38629436111989061883446424292	A016627 szekvencia az OEIS -ben
5	1,60943791243410037460075933323	A016628 szekvencia az OEIS -ben
6	1,79175946922805500081247735838	A016629 szekvencia az OEIS -ben
7	1,94591014905531330510535274344	A016630 szekvencia az OEIS -ben
nyolc	2,07944154167983592825169636437	A016631 szekvencia az OEIS -ben
9	2,19722457733621938279049047384	A016632 szekvencia az OEIS -ben
tíz	2,30258509299404568401799145468	A002392 szekvencia az OEIS -ben

A Lindemann-Weierstrass-tétel szerint a 0-tól és 1-től eltérő természetes számok természetes logaritmusa (általában minden pozitív algebrai szám esetében , kivéve az 1-et) transzcendentális szám .

Nem ismert, hogy az ln 2 normális szám -e .

Sorábrázolás

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2.

( Mercator sorozat )

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)))=\ln 2.

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)(n+2)))=2\ln 2-1.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)))=2\ln 2-1.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)))=\ln 2-1.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)))=2\ln 2-{\ tfrac {3}{2}}.

\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n))}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\tfrac {1} {2}}.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}[\zeta (n)-1]=1-\gamma -{\frac {\ln 2 }{2}}.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n}(2n+1)))\zeta (2n)={\frac {1-\ln 2 }{2}}.

\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n))=\operátornév {Li} _{1}\left({\ frac {1}{2}}\right).

( Polilogaritmus )

\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3^{n))}+{\frac {1}{4^{n} }}\jobbra){\frac {1}{n}}.

\ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k\geq 1}\left({\frac {1}{2k}} +{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\jobbra){\frac {1}{16 ^{k}}}.

\ln 2={\frac {2}{3}}\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{9^{k}(2k+1))).

\ln 2=\sum _{k\geq 0}\left({\frac {14}{31^{2k+1}(2k+1)))+{\frac {6}{161^ {2k+1}(2k+1)}}+{\frac {10}{49^{2k+1}(2k+1)))\jobbra).

\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-2n)).

\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^{2}- 4n}}.

(itt γ az Euler-Mascheroni állandót , ζ a Riemann zéta-függvényt jelöli ).

Néha ez a képletkategória magában foglalja a Bailey-Borwain-Pluff képletet :

{\begin{aligned}\ln 2&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 2^{2}}}+{\frac {1}{3 \cdot 2^{3}}}+{\frac {1}{4\cdot 2^{4}}}+{\frac {1}{5\cdot 2^{5}}}+\cdots \\ &=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}\cdot k))={\frac {1}{2))\sum _{k=0 }^{\infty }\left[{\frac {1}{2^{k}}}\left({\frac {1}{k+1}}\right)\right]\\&={\ frac {1}{2}}P{\big (}1,2,1,(1){\big )}.\end{aligned}}

Ábrázolás integrálként

\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\ln 2,{\text{ vagy ezzel egyenértékű }}\int _{1}^{2} {\ frac {dx}{x}}=\ln 2.

\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x^{2})(1+x)^{2))}={\frac {1-\ln 2}{4}}.

\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+e^{nx))}={\frac {\ln 2}{n));\int _{0} ^{\infty }{\frac {dx}{3+e^{nx}}}={\frac {2\ln 2}{3n}}.

\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {2}{e^{2x}-1}}\,dx =\ln 2.

\int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx=\ln 2.

\int _{0}^{1}\ln \left({\frac {x^{2}-1}{x\ln x}}\right)dx=-1+\ln 2+\ gamma.

\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\operátornév {tg} x\,dx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}} \operátornév {tg} x\,dx=\ln 2.

\int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{\frac {\pi }{4}}\ln \left(\sin x+\cos x\right)\,dx= -{\frac {\pi \ln 2}{4)).

\int _{0}^{1}x^{2}\ln(1+x)\,dx={\frac {2\ln 2}{3}}-{\frac {5}{ tizennyolc}}.

\int _{0}^{1}x\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx={\tfrac {1}{4}}-\ln 2.

\int _{0}^{1}x^{3}\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx={\tfrac {13}{96}}-{\frac {2\ln 2}{3}}.

\int _{0}^{1}{\frac {\ln x}{(1+x)^{2))}\,dx=-\ln 2.

\int _{0}^{1}{\frac {\ln(1+x)-x}{x^{2))}\,dx=1-2\ln 2.

\int _{0}^{1}{\frac {dx}{x(1-\ln x)(1-2\ln x)))=\ln 2.

\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln \left(\ln x\right)}{x^{3))}\,dx=-{\frac {\gamma + \ln 2}{2}}.

A számábrázolás egyéb formái

A Peirce-bővítés a következő formájú: ( A091846 )

\ln 2=1-{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12}}-\cdots .

Engel-bomlás ( A059180 ):

\ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}}+{ \frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\cdots .

A kotangensek formájában történő bővítés A081785 formátumú

\ln 2=\operátornév {ctg} ({\operatorname {arcctg} 0-\operatorname {arcctg} 1+\operatorname {arcctg} 5-\operatorname {arcctg} 55+\operatorname {arcctg} 14187-\ cdots}).

Ábrázolás törtek végtelen összegeként [1] (jel-váltakozó harmonikus sorozat ):

\ln 2=1-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5 }}-\cdots .

Lehetőség van a 2 természetes logaritmusának ábrázolására is Taylor sorozat kiterjesztéseként :

${\textstyle \quad \ln 2={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{12}}+{\tfrac {1}{30}}+{\tfrac {1}{56 ))+{\tfrac {1}{90}}+\cdots }$

Ábrázolás általánosított folytonos törtként : [2]

\ln 2={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{ 5+{\cfrac {3}{2+{\cfrac {3}{7+{\cfrac {4}{2+\ddots ))))))))))))))))))))) ={\ cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ ddots }} }}}}}}

Egyéb logaritmusok számítása

Ha ismert az ln 2 értéke , akkor más természetes számok logaritmusának kiszámításához a prímszámok logaritmusait táblázatba foglalhatja, majd a prímtényezőkre bontás alapján meghatározhatja c vegyes számok logaritmusát:

c=2^{i}3^{j}5^{k}7^{l}\cdots \rightarrow \ln c=i\ln 2+j\ln 3+k\ln 5+l\ 7+\cdots

A táblázat néhány prímszám logaritmusát mutatja.

prímszám	A természetes logaritmus hozzávetőleges értéke	OEIS
tizenegy	2,39789527279837054406194357797	A016634 szekvencia az OEIS -ben
13	2,56494935746153673605348744157	A016636 szekvencia az OEIS -ben
17	2,83321334405621608024953461787	A016640 szekvencia az OEIS -ben
19	2,94443897916644046000902743189	A016642 szekvencia az OEIS -ben
23	3,13549421592914969080675283181	A016646 szekvencia az OEIS -ben
29	3,36729582998647402718327203236	A016652 szekvencia az OEIS -ben
31	3,43398720448514624592916432454	A016654 szekvencia az OEIS -ben
37	3,61091791264422444436809567103	A016660 szekvencia az OEIS -ben
41	3,71357206670430780386676337304	A016664 szekvencia az OEIS -ben
43	3,76120011569356242347284251335	A016666 szekvencia az OEIS -ben
47	3,85014760171005858682095066977	A016670 szekvencia az OEIS -ben
53	3,97029191355212183414446913903	A016676 szekvencia az OEIS -ben
59	4,07753744390571945061605037372	A016682 szekvencia az OEIS -ben
61	4,11087386417331124875138910343	A016684 szekvencia az OEIS -ben
67	4,20469261939096605967007199636	A016690 szekvencia az OEIS -ben
71	4,26267987704131542132945453251	A016694 szekvencia az OEIS -ben
73	4,29045944114839112909210885744	A016696 szekvencia az OEIS -ben
79	4,36944785246702149417294554148	A016702 szekvencia az OEIS -ben
83	4,41884060779659792347547222329	A016706 szekvencia az OEIS -ben
89	4,48863636973213983831781554067	A016712 szekvencia az OEIS -ben
97	4,57471097850338282211672162170	A016720 szekvencia az OEIS -ben

A harmadik lépésben az r = a / b racionális számok logaritmusát a következőképpen számítjuk ki: ln r = ln a − ln b , a gyökök logaritmusait: ln n √ c = 1/ n ln c .

A 2 logaritmusa abból a szempontból hasznos, hogy 2 hatványai meglehetősen sűrűn oszlanak el: viszonylag könnyű megtalálni 2 i hatványát , amely közel áll egy másik b szám b j hatványához .

Ismert értékek

Ez a számok kiszámításával kapcsolatos legutóbbi bejegyzések táblázata . 2018 decemberéig több számjegyet számított ki, mint bármely más természetes logaritmus [3] [4] , kivéve az 1-et. $\ln(2)$

dátum	A jelentős számjegyek száma	Számítási szerzők
2009. január 7	15 500 000 000	A.Yee és R.Chan
2009. február 4	31 026 000 000	A.Yee és R.Chan
2011. február 21	50 000 000 050	Alexander Yee
2011. május 14	100 000 000 000	Shigeru Kondo
2014. február 28	200 000 000 050	Shigeru Kondo
2015. július 12	250 000 000 000	Ron Watkins
2016. január 30	350 000 000 000	Ron Watkins
2016. április 18	500 000 000 000	Ron Watkins
2018. december 10	600 000 000 000	Michael Kwok
2019. április 26	1 000 000 000 000	Jacob Riffee
2020. augusztus 19	1 200 000 000 100	Seungmin Kim [5] [6]

Jegyzetek

↑ Wells, David. Érdekes és érdekes számok pingvin szótára . - Pingvin, 1997. - 29. o . — ISBN 0140261494 .
↑ Borwein, J.; Crandall, R.; Ingyenes, G. A Ramanujan AGM-törtről, I: A valós paraméteres eset // Exper . Math. : folyóirat. - 2004. - 20. évf. 13 . - 278-280 . doi : 10.1080 / 10586458.2004.10504540 .
↑ y-cruncher – Többszálú Pi program . www.numberworld.org . Letöltve: 2021. február 19. Az eredetiből archiválva : 2015. április 16.. (határozatlan)
↑ 2 természetes naplója . www.numberworld.org . Letöltve: 2021. február 19. Az eredetiből archiválva : 2021. július 9.. (határozatlan)
↑ y-cruncher – Többszálú Pi program . web.archive.org (2020. szeptember 15.). Hozzáférés időpontja: 2021. február 19. (határozatlan)
↑ 2 természetes logaritmusa (Log(2) ) . Polymath Collector (2020. augusztus 19.). Letöltve: 2021. február 19. Az eredetiből archiválva : 2020. október 17.

Irodalom

Brent, Richard P. Elemi függvények gyors többszörös pontosságú kiértékelése // J. ACM : napló. - 1976. - 1. évf. 23 , sz. 2 . - P. 242-251 . - doi : 10.1145/321941.321944 .
Uhler, Horace S. A 2, 3, 5, 7 és 17 modulusának és logaritmusának újraszámítása és kiterjesztése // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : Journal . - 1940. - 1. évf. 26 . - P. 205-212 . - doi : 10.1073/pnas.26.3.205 .
Sweeney, Dura W. Az Euler-állandó kiszámításáról // Számítási matematika : folyóirat. - 1963. - 1. évf. 17 . - 170-178 . o . - doi : 10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X .
Chamberland, Marc. Bináris BBP-képletek logaritmusokhoz és általánosított Gauss–Mersenne-prímekhez (angol) // Journal of Integer Sequences : Journal. - 2003. - 1. évf. 6 . — P. 03.3.7 . Archiválva az eredetiből 2011. június 6-án.
Gourevics, Borisz; Guillera Goyanes, Jézusom. Binomiális összegek felépítése π-hez és polilogaritmikus állandókhoz BBP-képletek alapján // Applied Math. E-jegyzetek: napló. - 2007. - Vol. 7 . - 237-246 .
Wu, Qiang. A racionális számok logaritmusának lineáris függetlenségi mértékéről // Számítási matematika : folyóirat. - 2003. - 1. évf. 72 , sz. 242 . - P. 901-911 . - doi : 10.1090/S0025-5718-02-01442-4 .

Linkek

Weisstein, Eric W. 2 természetes logaritmusa a Wolfram MathWorldnél .
Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal A logaritmus állandó:log 2 . (határozatlan)

Irracionális számok
Apéry állandó ( ζ(3) ) Erdős-Borwein állandó ( E ) Feigenbaum állandók Szofomor álom Prímszám állandó (ρ) Műanyag szám (ρ) Kettős logaritmus (ln 2) 2 12. gyöke ( 12 √ 2 ) 2 négyzetgyöke ( √ 2 ) 3 négyzetgyöke ( √ 3 ) 5 négyzetgyöke ( √5 ) Arany arány (φ) Szuper aranymetszés (ψ) Ezüst metszet ( δS ) e π Gelfond állandó ( e π ) Gelfond-Schneider állandó ( 2 √ 2 ) Inverz Fibonacci-állandó (ψ)
transzcendentális Trigonometrikus