Engel bomlás

Egy x pozitív valós szám Engel-felbontása a pozitív természetes számok egyetlen olyan nem csökkenő sorozata , ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},a_{3},\dots \))$

x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{ 2}a_{3}}}+\cdots .\;

A racionális számoknak véges Engel, az irracionális számoknak pedig végtelen soros kiterjesztése van. Ha x racionális, akkor az Engel-kiterjesztés az x egyiptomi tört reprezentációját adja . A dekompozíciót Friedrich Engel matematikusról nevezték el , aki 1913 -ban tanulmányozta .

Az Engel -féle dekompozícióhoz hasonló , de a feltételek megfordításával történő bontást Peirce-felbontásnak nevezzük .

Engel-kiterjesztés, frakciók folytatása és Fibonacci

Kraeikamp és Wu [1] észrevették, hogy az Engel-kiterjesztés felírható növekvő törtváltozatként :

x={\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+\cdots }{\displaystyle a_{3)))){\displaystyle a_{2)) }}{\displaystyle a_{1}}}}.

Azt állítják, hogy az ehhez hasonló növekvő törteket már Fibonacci abakusza (1202) óta tanulmányozták . Ez az állítás a Fibonacci összetett tört jelölésére vonatkozik, amelyben a számlálók és nevezők egy sorozata, amelyek ugyanazon a tulajdonságon osztoznak, egy növekvő, folyamatos törtet jelentenek:

{\frac {a\ b\ c\ d}{e\ f\ g\ h))={\dfrac {d+{\dfrac {c+{\dfrac {b+{\dfrac {a}{e} }}{f}}}{g}}}{h}}.

Ha ebben a jelölésben minden számláló 0 vagy 1, ahogy az az abakusz könyvében néhol megjelenik , az eredmény egy Engel-kiterjesztés. Az Engel-dekompozíciót, mint technikát azonban a könyv nem írja le.

Algoritmus az Engel-kiterjesztések kiszámításához

Az x Engel -kiterjesztésének megtalálásához feltesszük

u_{1}=x,

a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k))}\right\rceil ,

és

u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1

hol van a mennyezet (a legkisebb egész szám, amely nem kisebb, mint r ). $\left\lceil r\right\rceil$

Ha néhány i -re , leállítjuk az algoritmust. $u_{i}=0$

Példa

Az 1.175 szám Engel-kiterjesztésének megtalálásához a következő lépéseket hajtjuk végre.

u_{1}=1{,}175,a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1{,}175}}\right\rceil =1;

u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1{,}175\cdot 1-1=0,175,a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0{ ,}175}}\right\rceil=6

u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0{,}175\cdot 6-1=0{,}05,a_{3}=\left\lceil {\frac {1 }{0{,}05}}\right\rceil =20

u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0{,}05\cdot 20-1=0

A sorozat véget ért. Ily módon

1{,}175={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 6}}+{\frac {1}{1\cdot 6\cdot 20}}

és az Engel-kiterjesztés 1,175-re {1, 6, 20}.

A racionális számok Engel-felbontása

Minden pozitív racionális számnak egyedi véges Engel-kiterjesztése van. Az Engel-felbontási algoritmusban, ha u i egy x / y racionális szám , akkor u i +1 = (− y mod x )/ y . Így minden lépés csökkenti a számlálót a maradék u i -ben , és az Engel-bővítés megalkotási folyamatának véges számú lépés után be kell fejeződnie. Minden racionális számnak van egy egyedi végtelen Engel-kiterjesztése is: az egyenlőség felhasználásával

{\frac {1}{n}}=\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{r}}}.

az utolsó n szám a véges Engel-kiterjesztésben az érték megváltoztatása nélkül helyettesíthető egy végtelen sorozattal ( n + 1). Például,

1{,}175=\{1,6,20\}=\{1,6,21,21,21,\pontok \}.\;\;

Ez analóg azzal a ténnyel, hogy minden véges decimális ábrázolással rendelkező racionális számnak van végtelen decimális reprezentációja (lásd 0,(9) ). Egy végtelen Engel-kiterjesztés, amelyben minden elem egyenlő, geometriai progresszió .

Erdős , Renyi és Szüsz az x / y racionális tört véges Engel-bővítésének hosszára vonatkozó nem triviális korlátokra kérdezett rá . Erre a kérdésre Erdős és Schallit válaszolt, bizonyítva, hogy a bővítési tagok száma O( y 1/3 + ε ) bármely ε > 0 esetén [2] [3] .

Engel-kiterjesztés néhány jól ismert állandóhoz

\pi

= {1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, ...} ( A006784 sorozat az OEIS -ben )

{\sqrt {2}}

= {1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144, ...} ( A028254 sorozat az OEIS -ben )

e

= {1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...} ( A000027 sorozat az OEIS -ben )

e^{1/r}-1=\{1r,2r,3r,4r,5r,6r,\pontok \}\;

További Engel-bővítések itt találhatók .

A bomlási elemek növekedési üteme

Az Engel-bővítés ai együtthatói általában exponenciális növekedést mutatnak . Pontosabban, a (0,1]) intervallum szinte minden számára létezik a határérték, és egyenlő e -vel. Az intervallum azon részhalmaza azonban, amelyre ez nem áll fenn, elég nagy ahhoz, hogy a Hausdorff-dimenziója egy legyen [4 ] . ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}^{1/n))$

Ugyanez a tipikus növekedés látható az egyiptomi törtek mohó algoritmusa által generált kifejezésekben is . Azonban a valós számok halmaza a (0,1) intervallumban, amelynek Engel-bővítése egybeesik a mohó algoritmus általi kiterjesztésével, nulla mértékkel rendelkezik, Hausdorff-dimenziója pedig 1/2 [5] .

Jegyzetek

↑ Kraaikamp, Wu, 2004 .
↑ Erdős, Renyi, Szüsz, 1958 .
↑ Erdős, Shallit, 1991 .
↑ Wu, 2000 , Wu szerint az e határérték egyenlőségére vonatkozó eredmény szinte minden számra Galambos Jánosnak köszönhető.
↑ Wu, 2003 .

Irodalom

F. Engel. Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg. - 1913. - S. 190-191.
T. A. Pierce. Egy algoritmusról és annak használatáról algebrai egyenletek gyökeinek közelítésére // Am. Math. Havi. - 1929. - T. 36 , 10. sz . - S. 523-525 . — .
Erdős Pál, Rényi Alfréd, Szüsz Péter. Engel és Sylvester sorozatáról // Ann. Univ. sci. Budapest. Eötvös Szekt. Matek.. - 1958. - T. 1 . - S. 7-32 .
Erdős Paul, Jeffrey Shallit. Új határok a véges Pierce és Engel sorozatok hosszában // Journal de théorie des nombres de Bordeaux. - 1991. - 3. évf. , szám. 1 . - S. 43-53 . - doi : 10.5802/jtnb.41 .
J. Paradis, P. Viader, L. Bibiloni. Közelítés a másodfokú irracionálisokhoz és Pierce-kiterjesztéseikhez // Fib. Quart .. - 1998. - T. 36 , 2. sz . - S. 146-153 .
Cor Kraaikamp, Jun Wu. Új, folyamatos törtbővítésről nem csökkenő parciális hányadosokkal // Monatshefte für Mathematik. - 2004. - T. 143 , sz. 4 . - S. 285-298 . - doi : 10.1007/s00605-004-0246-3 .
Jun Wu. Galambos problémája az Engel-kiterjesztésekről // Acta Arithmetica. - 2000. - T. 92 , sz. 4 . - S. 383-386 .
Jun Wu. Hány ponton van ugyanaz az Engel és Sylvester bővítés? // Számelméleti folyóirat. - 2003. - T. 103 , sz. 1 . - S. 16-26 . - doi : 10.1016/S0022-314X(03)00017-9 .

Linkek

Weisstein, Eric W. Engel bővítés . MathWorld – Wolfram webes forrás. (határozatlan)