Jones polinom

A Jones -polinom egy polinomiális csomóinvariáns , amely minden csomóhoz hozzárendel egy Laurent-polinomot egy formális változóban egész együtthatókkal. Vaughn Jones építette 1984 - ben . $t^{{1/2}}$

Definíció a Kauffman zárójelben

Egy adott orientált hivatkozáshoz egy segédpolinom van meghatározva: $L$

X(L)=(-A^{3})^{{-w(L)}}\langle L\rangle

ahol a diagram csavarási száma és a Kauffman zárójel . A csavarási számot a pozitív keresztezések és a negatív keresztezések számának különbségeként határozzuk meg , és nem csomóinvariáns: az I. típusú Reidemeister-transzformációk nem őrzik meg. $w(L)$ $L$ $\langle L\rangle$ $L_{{+}}$ $L_{{-}}$

$X(L)$ a csomóinvariáns, mivel a diagram mindhárom Reidemeister-transzformációja alatt invariáns . A II. és III. típusú transzformációk invarianciája a Kauffman zárójel invarianciájából és az ezen transzformációk alatti csavarszámból következik. Ezzel szemben az I. típusú transzformációnál a Kauffman zárójelet megszorozzuk -vel , amit pontosan kompenzál a csavarás szám +1 vagy -1 változása . $L$ $-A^{{\pm 3}}$ $w(L)$

A Jones-polinomot a behelyettesítésből határozzuk meg: $X(L)$

A=t^{{-1/4}}

az eredményül kapott kifejezés egy Laurent-polinom a változóban . $t^{{1/2}}$

Definíció a fonatcsoport-ábrázolások szempontjából

Jones eredeti definíciója az operátoralgebrát és a zsinór-reprezentációs nyom fogalmát használja, amely a statisztikai mechanikából származik ( a Potts-modell ).

Alexander tétele azt állítja, hogy bármely láncszemegy fonal zárása,afonalcsoportreprezentációjának definiálásáraa Temperley-Lieb algebrán ésegyütthatókkal. A fonat standard generátora,ahol a Temperley-Lieb algebra standard generátorai vannak. Afonottszóesetében, ahol a Markov-nyom , az eredmény:ahol a zárójeles polinom. $L$ $n$ $\rho$ $B_{n}$ $n$ $TL_{n}$ $\mathbb {Z} [A,A^{-1}]$ $\delta =-A^{2}-A^{-2}$ $\sigma_i$ $A\cdot e_{i}+A^{-1}\cdot 1$ ${\displaystyle 1,e_{1},e_{2},...,e_{n-1))$ $\sigma$ $L$ $\sigma ^{n-1}tr\rho (\sigma )$ $tr$ $\langle L\rangle$ $\langle$ $\rangle$

Ennek a megközelítésnek az az előnye, hogy más algebrákban analóg reprezentációkat választva, mint például a -mátrixok reprezentációja, Jones-invariánsok általánosításaihoz juthatunk (ilyen például [1] a Jones -párhuzamos polinom fogalma ). $R$ $k$

Definíció a gombolyag relációk szempontjából

A Jones-polinomot egyértelműen az a tény határozza meg, hogy bármely triviális csomódiagramon egyenlő 1-gyel , valamint a következő bőrreláció :

{\megjelenítési stílus (t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-}) }

ahol , , és három olyan orientált link diagram, amelyek mindenhol egybeesnek, kivéve egy kis területet, ahol viselkedésük pozitív és negatív metszéspontok, valamint sima átjárás közös pontok nélkül: $L_{{+}}$ $L_{{-}}$ $L_{{0}}$

Tulajdonságok

A Jones-polinom számos csodálatos tulajdonsággal rendelkezik [2] [3] .

Páratlan számú komponensből álló hivatkozásoknál (különösen csomóknál) a Jones-polinom változójának minden hatványa egész szám, a páros számú komponensből álló hivatkozásoknál pedig fél egész szám. $t$

A csomópontok összekapcsolt összegének Jones-polinomja egyenlő a tagok Jones-polinomjainak szorzatával, azaz:

V(L_{1}\#L_{2})=V(L_{1})V(L_{2})

A szétválasztott csomók összegének Jones-polinomja:

V(L_{1}\cup L_{2})=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L_{1})V(L_{2})

A link és a triviális csomó egyesülésének Jones-polinomja : $L$

V(L\cup O)=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L)

Egy adott orientált linkből úgy nyert orientált linkhez , hogy valamely komponens orientációját az ellenkezőre cseréljük, a következőt kapjuk: $L^{*_{k))$ $L$ $k$

V_{L^{*}}=t^{-3\cdot \lambda }\cdot V(L)

ahol a komponens összekapcsolási együtthatója és . $\lambda$ $k$ $Lk$

A Jones-polinom nem változik, ha a csomópontot megfordítjuk, vagyis amikor a kiiktatás irányát megfordítják (tájolás megváltozása).

A link tükörszimmetrikus képe Jones-polinomot tartalmaz, amelyet a -val helyettesítve kapunk ( a tulajdonság könnyen ellenőrizhető a Kauffman-zárójelben szereplő definíció segítségével). $t$ $t^{{-1}}$

Ha egy csomópont, akkor: $K$

V_{K}(e^{2\pi i/3})=1

A Jones-polinom értéke a hivatkozáshoz az 1. pontban található linkösszetevők számával : $L$ $p$

V_{L}(1)=(-2)^{p-1}

A -torikus csomó Jones-polinomja : $(m,n)$

V(t)={\frac {t^{\frac {(m-1)\cdot (n-1)}{2}}\cdot (1-t^{m+1}-t^ {n+1}+t^{m+n})}{1-t^{2}}}

Nyitott kérdések

2003-ban összeállítottak egy nem triviális kapcsolatok családját a triviális link Jones-polinomjával [4] , miközben nem ismert, hogy létezik-e olyan nem triviális csomó, amelynek Jones-polinomja megegyezik a triviális link Jones-polinomjával [4] . a triviális csomóról. 2017-ben egy nem triviális csomók családját alkották meg metszéspontokkal, amelyekre a Jones-polinom kongruens az egységmodulommal [5] . ${\displaystyle K_{r))$ $20\cdot 2^{r-1}+1$ $V(K_{r})$ ${\displaystyle 2^{r))$

Változatok és általánosítások

A Chern-Simons elmélet a törtkvantum Hall-effektus állapotainak topológiai sorrendjét írja le. Matematikai szempontból a Chern-Simons elmélet azért érdekes, mert lehetővé teszi a csomóinvariánsok, például a Jones-polinom kiszámítását.

2000-ben Mihail Khovanov megszerkesztett egy lánckomplexumot csomókhoz és láncszemekhez, és kimutatta, hogy ennek a komplexnek a homológiája csomóinvariáns (a Khovanov-homológia ). Ez a homológiaelmélet a Jones-polinom kategorizálása, azaz a Jones-polinom az Euler-jellemző erre a homológiára.

A HOMFLY polinom hasonló csomó- és linkinvariáns.

Jegyzetek

↑ Murakami J., A linkek polinomiális invariánsainak párhuzamos változata Archivált 2016. június 2-án a Wayback Machine -nél , Osaka J. Math., 1989.
↑ Jones, VFR, A polinom invariáns csomókhoz von Neumann algebrákon Archiválva : 2022. január 19., a Wayback Machine , Bull. amer. Math. Soc. 12:103-111, 1987.
↑ Duzhin S. V., Chmutov S. V. Csomók és invariánsaik , Mat. felvilágosodás, 1999, 3. szám, 59-93.
↑ Eliahou S., Kauffman L., Thistlethwaite M. Infinite family of links with trivial Jones polinom, 2003. . Letöltve: 2017. október 1. Az eredetiből archiválva : 2021. május 6.. (határozatlan)
↑ Eliahou S., Fromentin J. A Remarkable 20-crossing Tangle, 2017. . Letöltve: 2017. október 1. Az eredetiből archiválva : 2021. október 5.. (határozatlan)

Irodalom

Prasolov V. V. , Sosinsky A. B. Csomók, láncszemek, zsinórok és háromdimenziós elosztók . - M .: MTSNMO , 1997. - ISBN 5-900916-10-3 .

Csomók és kapcsolatok elmélete
Hiperbolikus	Nyolc (4 1 ) Három fél fordulat (5 2 ) Hajózás (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Percos pár (10 161 ) Csipke (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Borrome gyűrűk (63 2) L10a140
műhold	Összetett ( bébi ) egyenes Csomók összege
tórikus	Triviális (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Hétlevelű (7 1 ) Leválasztva (02 1) Hopf (22 1) Salamon (42 1)
Invariánsok	váltakozó Arfa invariáns Hidak száma ( 2-híd ) Brunni link Kiralitás ( visszafordítható ) Filmek száma A kereszteződések száma Vasziljev invariáns Hiperbolikus térfogat Khovanov homológiája Nemzetség Csomópont csoport Fogaskerékcsoport Áttétel Polinomok ( Alexander Kauffman tartó HOMFLY Jones Kaufman ) Csipke eljegyzés Egyszerű csomó ( lista ) Szegmensek száma A háromszínű színezések száma A feloldás száma és feladata
Jelölések és műveletek	Alexander–Briggs jelölés Conway jelölés Docker jelölés Mutáció Reidemeister mozgalom Skene arány
Egyéb	Sándor tétele Berge csomó fonat elmélet Conway gömb Csomópont befejezése Dupla tórusz csomó Réteges csomó Szalag Vágott Csomók összege Tate hipotézisei Csavart Vad Twist szám Seifert felület