Temperley-Liba algebra

Algebra Temperley - Lieb - algebra , melynek segítségével átviteli mátrixok készülnek. Neville Temperley fedezte felés Elliot Lieb . Az algebrát a statisztikai mechanikában , az integrálható modellek elméletében alkalmazzák, a csomóelmélet és a fonatcsoportok , kvantumcsoportok és a Neumann-algebrák résztényezői szempontjából releváns .

Definíció

Legyen egy kommutatív gyűrű (leggyakrabban a valós számok mezője ), amelyben az elem rögzített . A Temperley-Lieb algebrát a Jones - relációknak engedelmeskedő generátorok alkotják : $R$ $\delta \in R$ $TL_{n}(\delta )$ $R$ ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots ,U_{n-1))$

$U_{i}^{2}=\delta U_{i}$ nál nél $1\leq i\leq n-1$
$U_{i}U_{i+1}U_{i}=U_{i}$ nál nél $1\leq i\leq n-2$
$U_{i}U_{i-1}U_{i}=U_{i}$ nál nél $2\leq i\leq n-1$
$U_{i}U_{j}=U_{j}U_{i}$ at , ilyen $1\leq i,j\leq n-1$ $|ij|\neq 1$

$TL_{n}(\delta )$ vektortérként ábrázolható, bázisvektorokkal, amelyek mindegyike négyzet alakú diagram, amelynek két ellentétes oldalán pontok találhatók. A pontok n párt alkotnak, mindegyik pár görbe köti össze, és nincs két görbe metszéspontja. Az öt bázisvektor így néz ki: $n$ $TL_{3}(\delta )$

Két alapelem szorzása úgy történik, hogy két négyzetet egymáshoz kötünk, minden kapott ciklus után δ tényezőt adunk . Például,

× = = δ .

Az egységelem egy diagram n vízszintes vonallal, a generátor pedig egy diagram, amelyben az i -edik csúcs az i + 1 -edik, a 2n - i + 1 -edik ponthoz kapcsolódik a 2n - i -edikhez . pont, a többi pont pedig ellentétekkel van összekötve. Például a generátorok a következők: $U_{i}$ $TL_{5}(\delta )$

Balról jobbra: azonos elem (egy) és U 1 , U 2 , U 3 , U 4 generátorok .

A Jones-arányok grafikusan ábrázolhatók:

= δ

Linkek

Louis H. Kauffman , State Models and the Jones Polynomial. Archiválva : 2019. december 8., Wayback Machine Topology, 26(3):395-407, 1987.
RJ Baxter , Pontosan megoldott modellek a statisztikai mechanikában Archiválva : 2012. március 20., a Wayback Machine Academic Press Inc., 1982.
N. Temperley, E. Lieb , A perkolációs és színezési probléma és a szabályos síkhálókkal kapcsolatos gráfelméleti problémák közötti összefüggések: néhány pontos eredmény a perkolációs problémára. Proceedings of the Royal Society Series A 322 (1971), 251-280.