Intervallum aritmetika

Az intervallum aritmetika  egy olyan matematikai struktúra , amely valós intervallumokhoz a közönséges aritmetikához hasonló műveleteket határoz meg . A matematikának ezt a területét intervallumanalízisnek vagy intervallumszámításnak is nevezik . Ez a matematikai modell alkalmas különféle alkalmazott objektumok tanulmányozására [1] :

• Olyan mennyiségek, amelyek értéke csak megközelítőleg ismert , azaz egy véges intervallum van meghatározva, amelyben ezek az értékek szerepelnek.
• Olyan mennyiségek, amelyek értékeit a számítások során fellépő kerekítési hibák torzítják .
• valószínűségi változók .

Az intervallum aritmetika objektumai és műveletei a valós számmodell általánosításaként tekinthetők, ezért az intervallumokat számos forrásban intervallumszámnak nevezik . A modell gyakorlati jelentősége abból adódik, hogy a mérések és számítások eredményeiben szinte mindig van valamilyen hiba, amit figyelembe kell venni és értékelni kell.

Háttér

Az intervallum aritmetika nem teljesen új jelenség a matematikában; a történelemben többször szerepelt különböző neveken. Például Arkhimédész a Kr.e. III. században. e.. kiszámította a szám alsó és felső határát :

Bár az intervallumszámítás nem volt olyan népszerű, mint a többi numerikus módszer, nem felejtették el őket teljesen.

Az intervallumszámítás új története 1931-ben kezdődik Rosalind Cecily Young [2] munkájával , ahol megadták az intervallumokkal és a valós számok egyéb részhalmazaival való számításra vonatkozó szabályokat. 1951-ben jelent meg Paul S. Dwyer lineáris algebráról szóló tankönyve , amelyben ezt a témát a digitális rendszerek megbízhatóságának javítása szempontjából vették figyelembe - intervallumokat használtak a lebegőpontos számokhoz kapcsolódó kerekítési hibák becslésére [3] . Teruo Sunaga 1958-ban részletes tanulmányt adott ki az intervallumalgebra numerikus elemzésben való alkalmazásáról [4] .

A 20. század második felében a Szovjetunióban, az USA-ban, Japánban és Lengyelországban szinte egyszerre és egymástól függetlenül a számítógépes számítástechnika igénye idézte elő az intervallumanalízis rohamos fejlődését. 1966-ban jelent meg Ramon Moore amerikai matematikus "Interval Analysis" [ 5 ] könyve . A munka érdeme, hogy egy egyszerű elvből kiindulva általános módszert adott a hibák automatikus elemzésére, nem csak a kerekítésből eredő hibákra.

A következő két évtizedben az intervallumanalízissel és alkalmazásaival kapcsolatos fontos kutatásokat végeztek Németországban Karl Nickel és tanítványai a Freiburgi Egyetemen, Ulrich Kulisch és Götz Ahlefeld csoportjaiban a Karlsruhei Egyetemen [6] ] [7] és mások.

Az 1960-as években Eldon R. Hansen kiterjesztette az intervallum-megközelítést a lineáris egyenletrendszerekre , majd jelentős mértékben hozzájárult a globális optimalizáláshoz , beleértve a ma Hansen-módszert, amely talán a legszélesebb körben használt intervallum-algoritmus [8] . A klasszikus módszerek ebben a problémában gyakran problémát okoznak a legnagyobb (vagy legkisebb) globális érték meghatározásával (csak lokális optimumot találnak, a legjobb értékeket nem); Helmut Rachek és John George Rockne kifejlesztett egy variációt az elágazó és kötött módszerre , amelyet addig csak egész értékekre alkalmaztak.

1988-ban Rudolf Lohner Fortran - alapú szoftvert fejlesztett ki a Cauchy-probléma bizonyítására közönséges differenciálegyenletrendszerekre [9] .

Az 1990-es évektől megkezdődött az "Interval Computing" - "Interval Computations" nemzetközi folyóirat megjelenése, amelyet 1995-ben "Reliable Computing"-ra ("Reliable Computing") neveztek át. A folyóirat fő témái a bizonyítékokon alapuló számítások, az intervallumelemzés módszerei és alkalmazásai.

Oroszországban és a Szovjetunióban V. M. Bradis az 1920-as évek óta aktívan részt vesz az intervallum témákban . 1962-ben a Siberian Mathematical Journal egyik első száma publikálta Leonyid Vitalievics Kantorovics cikkét , amely valójában felvázolta az intervallumelemzés alapjait a részben rendezett terekben és az új technikák alkalmazását. Cikkében ezt a témát számítástechnikánk prioritásaként jelölte meg [10] . A háború utáni időszakban az egyik első volt Yu. I. Shokin "Intervall Analysis" [11] című könyve . A következő évben egy tankönyv T.I. Nazarenko és L.V. Marchenko "Bevezetés a számítási matematika intervallummódszereibe" [12] , 1986-ban pedig S. A. Kalmykov, Yu. I. Shokin és Z. Kh. Yuldashev monográfiája "Az intervallumelemzés módszerei" [13] .

Műveletek intervallumokon

Az összes lehetséges véges valós intervallumot figyelembe vesszük . A rajtuk végzett műveletek meghatározása a következő:

• Összeadás: [ a , b ] + [ c , d ] = [ a + c , b + d ]
• Kivonás: [ a , b ] − [ c , d ] = [ a − d , b − c ]
• Szorzás: [ a , b ] × [ c , d ] = [min ( ac , ad , bc , bd ), max ( ac , ad , bc , bd )]
• Osztás: [ a , b ] / [ c , d ] = [min ( a/c , a/d , b/c , b/d ), max ( a/c , a/d , b/c , b/ d )]

A definícióból látható, hogy az összeg-intervallum az összegzési intervallumokból származó számok összes lehetséges összegét tartalmazza, és meghatározza az ilyen összegek halmazának határait. A többi műveletet hasonlóan kezelik. Vegye figyelembe, hogy az osztási művelet csak akkor van megadva, ha az osztó intervallum nem tartalmaz nullát.

Degenerált intervallumok, amelyek eleje és vége egybeesik közönséges valós számokkal. Számukra a fenti definíciók egybeesnek a klasszikus aritmetikai műveletekkel.

Működési tulajdonságok

Az intervallumok összeadása és szorzása egyszerre kommutatív és asszociatív . De az összeadásos szorzás teljes értékű disztributivitása helyett az úgynevezett szub-eloszlás történik:

Az intervallum aritmetika változatai és kiterjesztései

IEEE 1788

Az intervallum aritmetika IEEE 1788-2015 számítógépes megvalósítási szabványát 2015 júniusában fogadták el. [14] A szabvány fejlesztése során és az azt követő években számos szabadon terjesztett referencia implementáció készült: [15] a C++ könyvtár libieeep1788 [ 16] könyvtár C++-hoz, a JInterval könyvtár a Java nyelvhez, valamint egy intervallumot megvalósító csomag. számítások ingyenes matematikai szoftverhez GNU Octave [17] .

A szabvány minimális részhalmazát, amelynek célja a végrehajtás egyszerűsítése és felgyorsítása – IEEE Std 1788.1-2017 – 2017 decemberében fogadták el, és 2018 februárjában tették közzé. [18]

Szoftver

Az intervallum aritmetikának számos megvalósítása létezik különféle szoftvercsomagokban [19] . Gyakran speciális könyvtárakként vannak kialakítva. Számos Fortran és C++ fordító támogatja az intervallumértékeket speciális adattípusként.

Lásd még

• Hozzávetőleges számítások
• IEEE 754

Jegyzetek

1. ↑ Shary, 2019 , p. tizennyolc.
2. ↑ Young, Rosalind Cicely (1931). a sokértékű mennyiségek mennyisége. Mathematische Annalen, 104(1), 260-290. (Ez a disszertációja a Cambridge -i Egyetemen ).
3. ↑ Dwyer, Paul Sumner (1951). Lineáris számítások. Oxford, Anglia: Wiley. (Michigani Egyetem)
4. ↑ Az intervallumalgebra elmélete és alkalmazása a numerikus elemzésre  //  RAAG Emlékiratok: folyóirat. - 1958. - Nem. 2 . - P. 29-46 .
5. ↑ Intervallumelemzés  . _ - Englewood Cliff, New Jersey, USA: Prentice Hall , 1966. - ISBN 0-13-476853-1 .
6. ↑ Grundzüge der Intervallrechnung // Jahrbuch Überblicke Mathematik  (német) / Laugwitz, Detlef. - Mannheim, Németország: Bibliographisches Institut , 1969. - Bd. 2. - S. 51-98.
7. ↑ Wissenschaftliches Rechnen mit Ergebnisverifikation. Eine Einführung  (német) . - Wiesbaden: Springer Vieweg Verlag , 1989. - ISBN 3-528-08943-1 .
8. ↑ Globális optimalizálás  intervallumelemzéssel . — 2. - New York, USA: Marcel Dekker , 2004. - ISBN 0-8247-4059-9 .
9. ↑ Rudolf Lohner közönséges differenciálegyenleteinek határai Archiválva : 2018. május 11. (németül)
10. ↑ Történelmi jegyzetek .
11. ↑ Shokin, 1981 .
12. ↑ T. I. Nazarenko, L. V. Marcsenko. Bevezetés a számítási matematika intervallummódszereibe "Tankönyv. Irkutszk: Irkutszki Egyetem Kiadója, 1982. - 108 p.
13. ↑ S. A. Kalmykov, Yu. I. Shokin, Z. Kh. Yuldashev Az intervallumelemzés módszerei. - Novoszibirszk: Nauka, 1986, 224 p.
14. ↑ Az intervallum aritmetikai IEEE szabványa . Letöltve: 2022. február 7. Az eredetiből archiválva : 2022. február 7.. (határozatlan)
15. ↑ Revol, Nathalie (2015). Az intervallum aritmetika (közel)jövő IEEE 1788 szabványa. 8. kis workshop az intervallum módszerekről. Diák (PDF) Archivált 2016. június 2-án a Wayback Machine -nél
16. ↑ Az intervallum aritmetika előzetes IEEE P1788 szabványának C++ implementációja . Letöltve: 2018. július 31. Az eredetiből archiválva : 2018. június 10. (határozatlan)
17. ↑ GNU Octave intervallum csomag . Letöltve: 2018. július 31. Az eredetiből archiválva : 2016. november 9.. (határozatlan)
18. ↑ IEEE Std 1788.1-2017 – IEEE intervallum aritmetikai szabvány (egyszerűsített) . IEEE SA . IEEE Szabványügyi Szövetség. Letöltve: 2018. február 6. Az eredetiből archiválva : 2022. február 7.. (határozatlan)
19. ↑ Szoftver intervallumszámításokhoz archiválva 2006. március 2-án a Wayback Machine -nél, gyűjtötte: Vladik Kreinovich , University of Texas, El Paso

Irodalom

• Alefeld G., Herzberger J .. Bevezetés az intervallum számításba . M.: Mir, 1987. 356 p.
• Dobronets B. S. Intervallummatematika . Krasznojarszk: KSU Kiadó, 2004.
• Shary S. P. Véges dimenziós intervallumelemzés . - Novoszibirszk: XYZ, 2019. - 635 p.
• Shokin Yu. I. Intervallumelemzés . - Novoszibirszk: a Nauka kiadó szibériai fiókja, 1981.

Linkek

• Intervallumanalízis és alkalmazásai .
  • Történelmi jegyzetek .
• Intervallum aritmetika a Mathworldben  .