Conway csoportok

A Conway-csoportok a három szórványos egyszerű csoport : Co 1 , Co 2 és Co 3 , amelyet Conway vezetett be a hozzájuk kapcsolódó Co 0 [1] [2] véges csoporttal együtt .

A Conway-csoportok közül a legnagyobb, a Co 0 , a Leach-rács automorfizmuscsoportja . Ez a csoport rendben van $\lambda$

8,315,553,613,086,720,000

Ez nem egy egyszerű csoport. 1. rendű egyszerű Co. csoport

4,157,776,806,543,360,000

a Co 0 csoport faktorcsoportja a középpontja alapján, amely ±1 skaláris mátrixokból áll.

A Leach-rács skaláris szorzata a két szorzott vektor megfelelő koordinátáinak szorzatának 1/8-a. Ez egy egész szám. Egy vektor másodfokú normája egyenlő a vektor és önmaga skaláris szorzatával, mindig páros egész szám. Gyakran beszélünk a Leach rácsvektor típusáról , amely egyenlő a norma felével. Az alcsoportokat gyakran a megfelelő fixpontok típusa szerint nevezik el. A rácsnak nincsenek 1-es típusú vektorai.

A Co 2 ( 42 305 421 312 000 nagyságrendű ) és Co 3 csoport ( 495 766 656 000 nagyságrendű ) automorfizmusokból áll, amelyek megőrzik a 2. típusú vektorokat, illetve a 3. típusú vektorokat. Mivel a −1 skalárral való szorzás nem őrzi meg a nullától eltérő vektorokat, ez a két csoport izomorf a Co 1 alcsoportjaival . $\lambda$

Történelem

Thomas Thompson [3] leírta, hogy John Leach 1964 körül vizsgálta a gömbök sűrű tömörülését nagydimenziós euklideszi terekben . Leach egyik felfedezése egy 24 dimenziós térben halmozott rács volt, amely a Leach-rács elnevezésű hálón alapult . Úgy döntött, kideríti, hogy a rács szimmetriacsoportja tartalmaz-e érdekes egyszerű csoportokat, de úgy érezte, hogy szüksége van egy csoportelméletben jártasabb személy segítségére. Sokáig keresett ilyen embert, de a matematikusok a saját feladataikkal voltak elfoglalva. John Conway beleegyezett, hogy megvizsgálja a problémát. John G. Thompson kijelentette, hogy részt vesz a munkában, ha Conway megtalálja a csoport megrendelését . Conway azt hitte, hónapokat vagy éveket fog a problémával tölteni, de néhány napon belül meglett az eredmény. $\lambda$

Witt [4] azt állította, hogy 1940-ben találta meg a Leach-rácsot, és utalt arra, hogy kiszámította a Co 0 automorfizmuscsoport sorrendjét .

A Co 0 csoport N monomiális alcsoportja

Conway a Co 0 -val kapcsolatos kutatásait az általa N -nek nevezett alcsoporttal kezdte . Ez a (kibővített) bináris Golay-kód holomorfja , amely c 1 vagy −1 átlós mátrixok halmazaként van ábrázolva az átlón, vagyis kiterjesztése az M 24 Mathieu-csoporttal (amelynek elemei permutációs mátrixként ábrázolva ). N ≈ 2 12 : M 24 .

A jelen cikkben használt bináris Golay-kód szabványos reprezentációja 24 koordinátát rendez el úgy, hogy 6 egymást követő 4-es blokk (tetrad) egy szextettet alkot .

A Co 0 csoport mátrixai ortogonálisak . Vagyis változatlanul hagyják a pontszorzatot. Az inverz mátrix a transzponálása . Co 0 nem tartalmaz −1 determinánsú mátrixokat.

A Leach-rács úgy definiálható, mint a Z - modulus , amelyet az összes 2-es típusú vektor halmaza generál, amelyek $\Lambda _{2}$

(4, 4, 0 22 ) (2 8 , 0 16 ) (-3, 1 23 )

és képeiket N akciója alatt . az N hatására 3 1104, 97152 és 98304 méretű pályára bomlik le . Ezután . Conway erősen gyanította, hogy a Co 0 tranzitív a -n, és ráadásul egy új mátrixot fedezett fel, nem monomiális egész számot. $\Lambda _{2}$ $|\Lambda _{2}|=196560=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 13$ $\Lambda _{2}$

Legyen egy 4×4-es mátrix $\eta$

{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1 \end{pmatrix}}

Legyen most egy 6 blokkos mátrix páratlan számmal és [5] [6] . szimmetrikus és ortogonális mátrix, és ezért involúció . Permutál vektorokat az N csoport különböző pályái között . $\zeta$ $\eta$ $-\eta$ $\zeta$

A kiszámításához a legjobb, ha figyelembe vesszük a 4-es típusú vektorok halmazát.. Bármely 4-es típusú vektor pontosan egy a 48 egymással összemérhető 4-es típusú vektor közül , amelyek 24 ortogonális párba esnek . A 48 ilyen vektorból álló halmazt keretnek nevezzük . N -nek van egy szabványos kerete, amely 48 vektorból áll (±8, 0 23 ) pályaként . Az adott keretet rögzítő alcsoport N -hez van konjugálva . A 2 12 csoport , amely izomorf a Golay kóddal, a keretvektorok előjel-fordításaként működik, míg az M 24 a keret 24 párját permuálja. A Co 0 tranzitív a következőn . Conway megszorozta az N csoportsorrendet és a képkockák számát, ez utóbbi egyenlő az aránnyal . Ez a termék a Co 0 bármely alcsoportjának sorrendje, amely szigorúan N -t tartalmaz . Ezért N a Co 0 csoport maximális alcsoportja, és a Co 0 csoport Sylow 2 alcsoportjait tartalmazza . N egyben Co 0 alcsoportja az összes egész számokat tartalmazó mátrixnak. $|\mathrm {Co} _{0}|$ ${\displaystyle \Lambda _{4))$ $2\Lambda$ $\{v,-v\}$ ${\displaystyle \Lambda _{4))$ $2^{12}|\mathrm {M} _{24}|$ $|\Lambda _{4}|/48=8252375=3^{6}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 13$

Mivel a (±8, 0 23 ) alakú vektorokat tartalmazza , a Co 0 racionális mátrixokból áll, amelyekben minden nevező 8-cal osztja. $\lambda$

A Co 0 csoport legkisebb nem triviális reprezentációja bármely mező felett 24 dimenziós, a Leach-rácsból ered, és pontosan a 2-től eltérő karakterisztikájú mezők felett van.

Involúciók Co 0 -ban

A Co 0 bármely involúciója kimutatható, hogy konjugált a Golay-kód egyik eleméhez. A Co 0 -nak 4 involúciós konjugáltsági osztálya van.

Egy 2 12 formájú permutációs mátrixról kimutatható, hogy a dodekádokhoz konjugált . A központosítója [7] 2 12 :M 12 alakú , és a monomiális alcsoporton belüli konjugációkkal rendelkezik. Ebben a konjugált osztályban bármely mátrixnak van 0 nyoma.

Egy 2 8 1 8 formájú permutációs mátrixról kimutatható, hogy konjugált egy oktadhoz . 8-as nyomvonala van. Neki és ellentétének (trace −8) van egy közös központosítója , amely a Co 0 -ban egy maximális alcsoport . $(2^{1+8}\szer 2).\mathrm {O} _{8}^{+}(2)$

Rácscsoportok

Conway és Thompson azt találta, hogy a konferencia tanulmányában [8] leírt négy, nemrégiben talált szórványos egyszerű csoport izomorf a Co 0 alcsoportjainak alcsoportjaival vagy faktorcsoportjaival .

Conway maga használta a jelölést a pontstabilizátorokra és az alterekre úgy, hogy egy pont elé állította. A kivételek a •0 és a •1 voltak, amelyek ma Co 0 és Co 1 néven ismertek . Egész szám esetén jelölje a Leach-rács n típusú pontjainak stabilizátorát (lásd fent). $\mathbf {n} \geqslant 2$ ${\boldsymbol {\cdot ))\mathbf {n}$

Conway ezután bevezette a síkstabilizátorok elnevezéseit, amelyeket olyan háromszögek határoznak meg, amelyek origója a csúcs. Legyen •hkl egy h , k és l típusú élekkel (csúcskülönbségekkel) rendelkező háromszög pontszerű stabilizátora . A legegyszerűbb esetekben a Co 0 tranzitív a pontokon vagy háromszögeken, és a stabilizátorcsoportok a konjugáltságig vannak meghatározva.

Conway a •322 -t a McLaughlin-csoporttal McL-lel (898 128 000-es rendelés ) és a •332 - t a Higman-Sims csoporttal HS-sel azonosította (44 352 000-es rendelés ) . Mindkettőt nemrég fedezték fel.

Az alábbiakban egy táblázat [9] [10] látható néhány részrácscsoportról:

Név	Rendelés	Szerkezet	Vertex példa
•2	2 18 3 6 5 3 7 11 23	Co2_ _	(-3, 1 23 )
•3	2 10 3 7 5 3 7 11 23	Co3_ _	(5, 123 )
•négy	2 18 3 2 5 7 11 23	2 11 :M 23	(8, 0 23 )
•222	2 15 3 6 5 7 11	PSU 6 (2) ≈ Fi 21	(4, -4, 0 22 ), (0, -4, 4, 0 21 )
•322	2 7 3 6 5 3 7 11	McL	(5, 1 23 ), (4, 4, 0 22 )
•332	2 9 3 2 5 3 7 11	HS	(5, 1 23 ), (4, -4, 0 22 )
•333	2 4 3 7 5 11	3 5 M 11	(5, 1 23 ), (0, 2 12 , 0 11 )
•422	2 17 3 2 5 7 11	2 10 :M 22	(8, 0 23 ), (4, 4, 0 22 )
•432	2 7 3 2 5 7 11 23	M23_ _	(8, 0 23 ), (5, 1 23 )
•433	2 10 3 2 5 7	2 4 .A 8	(8, 0 23 ), (4, 2 7 , −2, 0 15 )
•442	2 12 3 2 5 7	2 1+8 .A 7	(8, 0 23 ), (6, −2 7 , 0 16 )
•443	2 7 3 2 5 7	M21 :2 ≈ PSL3 ( 4 ):2	(8, 0 23 ), (5, -3, -3, 1 21 )

Két másik szórványos alcsoport

Két szórványos alcsoport definiálható a Leach-rácson lévő szerkezetek stabilizátorainak faktorcsoportjaként. Az R24 azonosítása C12 - vel és azzal $\lambda$

\mathbf {Z} \left[e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right]^{12},

az így kapott automorfizmuscsoport (azaz a Leach-rács komplex szerkezetet megőrző automorfizmusainak csoportja ), ha elosztjuk a komplex skalármátrixok hatelemes csoportjával, a Suzuki Suz csoportot kapjuk ( 448 345 497 600 rendű ). Ezt a csoportot 1968-ban fedezte fel Michio Suzuki.

Hasonló konstrukció a J 2 Janko-csoportot ( 604 800 -as nagyságrendű) adja a kvaterniós automorfizmusok faktorcsoportjaként a skalárcsoport ±1 értékével. $\lambda$

A fent leírt hét egyszerű csoport magában foglalja azt, amit Robert Griss a boldog család második generációjának nevezett, amely 20 szórványos, a szörnyben talált egyszerű csoportból áll . A hét csoport közül néhány tartalmaz legalább néhányat az első generációt alkotó öt Mathieu csoportból .

Csoportok Suzuki lánc termékei

Co 0 -nak 4 3-as rendű eleme van. Az M 24 - ben egy 3 8 alakú elem az S 3 példányban normális csoportot alkot, amely ingázik egy egyszerű 168-as rendű alcsoporttal . oktadja a trió és permutálja a 14 mátrixot a monomiális alcsoportban. Co 0 -ban ezt a monomiális normalizálót kiterjesztjük a forma egy maximális alcsoportjára , ahol a 2.A 9 az A 9 váltakozó csoport kettős fedője [11] . ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,7)\times \mathrm {S} _{3))$ ${\displaystyle 2^{4}\colon \mathrm {PSL} (2,7)\times \mathrm {S} _{3))$ ${\displaystyle 2.\mathrm {A} _{9}\times \mathrm {S} _{3))$

John Thompson rámutatott, hogy eredményes lenne a 2.A n formájú kis csoportok normalizálóit tanulmányozni [12] . Egyes Co 0 maximális alcsoportokat így találjuk meg. Sőt, két szórványos csoport jelenik meg a kapott láncban.

Van egy alcsoport , amelynek csak az egyik lánca nem maximális Co 0 -ban . Továbbá van egy alcsoport . Következik . Az unitárius csoport ( 6048 -as rend ) a 36 csúcsú gráf automorfizmuscsoportjához kapcsolódik, előrevetítve a következő alcsoportot. Ebben az alcsoportban jelenik meg a Janko csoport J2 . A fenti gráf egy 100 csúcsos Hall-Yanko gráfra bővül . Ezután következik a G 2 (4) csoport, amely a Lie típusú kivételes csoport [13] [16] . ${\displaystyle 2.\mathrm {A} _{8}\times \mathrm {S} _{4))$ ${\displaystyle (2.\mathrm {A} _{7}\times \mathrm {PSL} _{2}(7))\kettőspont {2))$ $(2.\mathrm {A} _{6}\times \mathrm {SU} _{3}(3)):2$ $\mathrm {SU} _{3}(3)$ $(2.\mathrm {A} _{5}\circ \mathrm {2.HJ} ):2$ $(2.\mathrm {A} _{4}\circ 2.\mathrm {G} _{2}(4)):2$

A lánc a 6.Suz:2-vel végződik (Suz= Spordic Suzuki Group ), ami, mint fentebb említettük, megőrzi a Leach-rács összetett ábrázolását.

Általánosított szörnyű ostobaság

Conway és Norton egy 1979-es tanulmányban felvetette, hogy a szörnyű ostobaságnak más csoportok számára is lehet megfelelője. Larisa Kuin és mások egymás után úgy találták, hogy lehetséges számos fő modul kiterjesztése (az angol szakirodalomban a Hauptmodul kifejezést a német nyelvből kölcsönzik, szó szerint - a fő modult) szórványcsoportok dimenzióinak egyszerű kombinációiból. A Conway-csoportok esetében a megfelelő McKay-Thompson sorozatok: ={1, 0, 276, -2048 , 11 202 , -49 152 , …} ( A007246 ) és ={1, 0, 276, 2048 , 11 202 5 , 24 , …} ( A097340 ), ahol az állandó tag a(0)=24 , $T_{2B}(\tau )$ $T_{4A}(\tau )$

{\begin{aligned}j_{4A}(\tau )&=T_{4A}(\tau )+24\\&=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\jobbra)^{24}\\&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\ eta (4\tau )}}\jobbra)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )))\jobbra)^{ 4}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q))+24+276q+2048q^{2}+11202q^{3}+49152q^{4}+\pontok \end {igazított}}

és a Dedekind eta függvény . $\eta (\tau )$

Jegyzetek

↑ Conway, 1968 .
↑ Conway, 1969 .
↑ Thompson, 1983 .
↑ Witt, 1998 , p. 329.
↑ Griess, 1998 , p. 97.
↑ Thompson, 1983 , p. 148–152.
↑ A mátrix központosítója a vele ingázó mátrixok halmaza ( Arnold 1999 ).
↑ Brauer, Sah, 1969 .
↑ Conway, Sloane, 1999 , p. 291.
↑ Griess, 1998 , p. 126.
↑ Wilson, 2009 , p. 27.
↑ Conway, 1971 , p. 242.
↑ Wilson, 2009 , p. 219.
↑ Wilson, 2009 , p. 9.
↑ Wilson, 2009 , p. 82.
↑ Itt a kettőspont egy csoport osztott kiterjesztését jelenti ( féldirekt szorzat ) [14] , a ◦ jel a csoportok központi szorzatát — a csoportok direkt szorzatának faktorcsoportját a középpontja szerint [15] .

Irodalom

Arnold VI Geometriai módszerek a közönséges differenciálegyenletek elméletében. - Második kiadás. - Izsevszk: MTSNMO, VKM NMU, 1999. - ISBN 5-89806-028-4 .
John Horton Conway A 8 315 553 613 086 720 000-es rend és a szórványos egyszerű csoportok tökéletes csoportja // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . - 1968. - T. 61 , sz. 2 . — S. 398–400 . - doi : 10.1073/pnas.61.2.398 .
Véges csoportok elmélete: A szimpózium / Brauer R., Chih-han Sah. – W.A. Benjamin, Inc., New York-Amszterdam, 1969.
John Horton Conway Egy csoport 8 315 553 613 086 720 000 // The Bulletin of the London Mathematical Society. - 1969. - T. 1 . – 79–88 . — ISSN 0024-6093 . - doi : 10.1112/blms/1.1.79 .
John Horton Conway Három előadás a kivételes csoportokról // Véges egyszerű csoportok / Powell MB, Higman G. - Boston, MA: Academic Press , 1971. - 215–247. – (A London Mathematical Society (NATO Advanced Study Institute) által szervezett oktatási konferencia anyaga, Oxford, 1969. szeptember.). - ISBN 978-0-12-563850-0 . Újranyomva:Conway, Sloane (1999, 267–298)
John Horton Conway , Neil Sloane . Gömbcsomagolások, rácsok és csoportok . — 3. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1999. - T. 290. - (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). - ISBN 978-0-387-98585-5 .
Thomas M. A hibajavító kódoktól a gömbcsomagolásokon át az egyszerű csoportokig . - Mathematical Association of America , 1983. - V. 21. - (Carus Mathematical Monographs). - ISBN 978-0-88385-023-7 .
John Horton Conway , Richard A. Parker, Simon P. Norton, Curtis RT, Robert A. Wilson. Véges csoportok atlasza . - Oxford University Press , 1985. - ISBN 978-0-19-853199-9 .
Robert L. Griess Jr. Tizenkét szórványos csoport. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1998. - (Springer-monográfiák a matematikában). - ISBN 978-3-540-62778-4 .
A véges csoportos reprezentációk atlasza: Co 1 2. verzió
A véges csoportképviseletek atlasza: Co 1 archiválva 2008. március 27-én a Wayback Machine 3-as verziójában
Robert A. Wilson. Conway Co₁ csoportjának maximális alcsoportjai // Journal of Algebra. - 1983. - T. 85 , sz. 1 . – S. 144–165 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(83)90122-9 .
Robert A. Wilson. Conway Co₁ csoportjának 3 helyi alcsoportjáról // Journal of Algebra. - 1988. - T. 113 , sz. 1 . – S. 261–262 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(88)90192-5 .
Robert A. Wilson. A véges egyszerű csoportok. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2009. - (Matematika diplomás szövegei 251). - ISBN 978-1-84800-987-5 . - doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 .
Ernst Witt. Összegyűjtött iratok. Gesammelte Abhandlungen. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1998. - ISBN 978-3-540-57061-5 .
RT Curtis, BT Fairburn. A Conway-csoport elemeinek szimmetrikus ábrázolása •0 // Journal of Symbolic Computation. - 2009. - Kiadás. 44 . - S. 1044-1067 .

Csoportelmélet
Alapfogalmak	Alcsoport Normál alcsoport Tényezőcsoport Munka közvetlen félig közvetlen ingyenes
Algebrai tulajdonságok	kommutatív csoport Ciklikus csoport rendelt csoport Transform Group Megoldható csoport Schreier Lemmája Lagrange-tétel Sylow tételei Egyszerű véges csoportok osztályozása
véges csoportok	C n véges ciklikus csoport Szimmetrikus csoport S n Diéder csoport D n Váltakozó csoport A n Klein négyes csoport Mathieu csoportok M11_ _ M12_ _ M22 _ M23_ _ M24 _ Conway csoportok Co 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankó csoportok J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Fisher csoportok F22_ _ F 23 F24 _ Szörny (M)
Topológiai csoportok	Hazugságcsoportok O(n) ortogonális csoport Speciális ortogonális csoport SO(n) U(n) egységes csoport Különleges egységes csoport SU(n) Szimlektikus csoport Sp(n) Kivételes Egyszerű Lorentz csoport Poincaré csoport
Algoritmusok csoportokon	Schreier – Sims Todd – Coxeter Fourier transzformáció