Infinitezimálisok elemzése

Az infinitezimális elemzés a számítás  történelmi neve , a felsőbb matematika azon ága, amely határértékeket , származékokat , integrálokat és végtelen sorozatokat vizsgál , és a modern matematikai oktatás fontos részét képezi. Két fő részből áll: a differenciálszámításból és az integrálszámításból , amelyeket a Newton-Leibniz képlet kapcsol össze .

Ókor

Az ókorban megjelentek olyan elképzelések, amelyek később integrálszámításhoz vezettek, de abban a korszakban ezeket az elképzeléseket nem dolgozták ki szigorúan, szisztematikusan. A térfogat- és területszámítások, amelyek az integrálszámítás egyik célja, megtalálhatók az egyiptomi moszkvai matematikai papiruszban (Kr. e. 1820), de a képletek inkább utasítások, a módszer megjelölése nélkül, és néhány egyszerűen hibásak. [1] A görög matematika korszakában Eudoxus (Kr. e. 408-355) a kimerülési módszert használta a területek és térfogatok kiszámításához , amely előrevetíti a határ fogalmát, majd ezt az elképzelést később Arkhimédész (kb. 287 ) fejlesztette tovább. Kr. e. 212 ) . [2] A kimerülési módszert később Liu Hui találta fel Kínában a Kr.u. 3. században, amelyet egy kör területének kiszámításához használt. [3] Az i.sz. 5.-ben Zu Chongzhi kifejlesztett egy módszert egy gömb térfogatának kiszámítására, amelyet később Cavalieri-elvnek neveztek el . [négy]

Középkor

A 14. században Madhava Sangamagrama indiai matematikus és a keralai csillagászati ​​matematikai iskola a számítás számos összetevőjét bevezette, mint például a Taylor -sort, a végtelen sorközelítést , az integrálkonvergencia-tesztet , a differenciálás korai formáit, a terminusonkénti integrációt, az iteratív módszereket. nemlineáris egyenletek megoldása, és annak meghatározása, hogy a görbe alatti terület mekkora az integrálja. Egyesek a Yuktibhazát (Yuktibhāṣā) tartják az első számítással foglalkozó műnek. [5]

Modern kor

Európában Bonaventure Cavalieri értekezése alapvető művé vált , amelyben azt állította, hogy a térfogatok és területek kiszámíthatók egy végtelenül vékony szakasz térfogatainak és területeinek összegeként. Az elképzelések hasonlóak voltak Arkhimédész által a Metódban megfogalmazottakhoz, de Arkhimédésznek ez a értekezése a 20. század első feléig elveszett. Cavalieri munkásságát nem ismerték el, mivel módszerei hibás eredményekhez vezethettek, és kétes hírnevet szerzett a végtelenül csekély értékekkel kapcsolatban.

Az infinitezimális számítás formális tanulmányozását, amelyet Cavalieri a véges különbségek számításával kombinált , nagyjából ugyanebben az időben végezték Európában. Pierre Fermat , azt állítva, hogy ezt Diophantustól kölcsönözte , bevezette a "kvázi egyenlőség" ( angolul  adequality ) fogalmát, amely egy végtelenül kicsi hibáig terjedő egyenlőséget jelent. [7] John Wallis , Isaac Barrow és James Gregory is jelentős mértékben hozzájárult . Az utolsó kettő 1675 körül igazolta a számítás második alaptételét .

Isaac Newton sajátos jelöléssel vezette be a szorzatszabályt és a láncszabályt , a magasabb rendű deriváltak fogalmát , a Taylor-sorokat és az analitikus függvényeket , amelyeket a matematikai fizika problémák megoldásában használt . Publikációiban Newton átfogalmazta elképzeléseit a korabeli matematikai nyelvezetnek megfelelően, és az infinitezimális számításokat a geometriai ábrázolások más, hibátlannak tekintett ekvivalens formáira cserélte. A kalkulus módszereivel megoldotta a bolygómozgás, a forgó folyadék felületeinek alakja, a Föld ellapultsága, a terhelés cikloidon való csúszása és sok más probléma, amelyeket munkájában felvázolt. A természetfilozófia matematikai alapelvei (1687). Más munkáiban a függvények sorozatkiterjesztéseit fejlesztette ki, beleértve azokat is, amelyek tört- és irracionális hatványokat használnak, és nyilvánvaló volt, hogy megértette a Taylor-sorozat alapelveit . Nem publikálta minden felfedezését, mert abban az időben a végtelenül kicsi módszereknek kétes híre volt.

Ezeket az elképzeléseket valódi infinitezimális számításokká kódolta Gottfried Wilhelm Leibniz , akit kezdetben Newton plágiummal vádolt meg . [8] Jelenleg a kalkulus független feltalálója és fejlesztőjeként tartják számon. Hozzájárulása abban rejlik, hogy világos szabályokat dolgozott ki az infinitezimálisokkal való munkavégzésre, lehetővé téve a másod- és magasabb rendű deriváltak kiszámítását, valamint a szorzatszabály és a láncszabály differenciális és integrál formáinak kidolgozásában. Newtonnal ellentétben Leibniz nagy figyelmet szentelt a formalizmusnak, és gyakran sok napot töltött az egyes fogalmak megfelelő szimbólumainak kiválasztásával.

A kalkulus feltalálását általában Leibniznek és Newtonnak is tulajdonítják . Newton volt az első, aki a számítást alkalmazta az általános fizikában , és Leibniz kidolgozta a ma számításokban használt jelölések nagy részét. A fő felismerés, amelyet mind Newton, mind Leibniz mutatott, a differenciálás és az integráció törvényeinek felfedezése, a másod- és magasabb rendű deriváltak bevezetése, valamint a polinomok sorközelítésének koncepciójának bevezetése volt. Newton idejében már ismerték a számítás alaptételét.

Amikor Newton és Leibniz először publikálta eredményeiket, akkoriban nem volt komoly nézeteltérés a matematikus (és így az ország) prioritása tekintetében ebben az újításban. Newton volt az első, aki megszerezte az eredményeit, de Leibniz volt az első, aki közzétette. Newton később azt állította, hogy Leibniz ellopta ötleteit a kiadatlan feljegyzésekből, amelyeket Newton a Royal Society több tagjával is megosztott . Ez a vita hosszú évekre elválasztotta az angolul beszélő matematikusokat kontinentális társaiktól, az angol matematika rovására. Leibniz és Newton munkásságának alapos tanulmányozása kimutatta, hogy eredményeiket egymástól függetlenül kapták meg, Leibniz az integrációval, Newton pedig a differenciálással kezdte. Napjainkban a kalkulus fejlesztése Newton és Leibniz nevéhez fűződik. Az új tudományág nevét Leibniztől kaptuk. Newton a kalkulusát „derivált módszereknek” nevezte.

Leibniz és Newton kora óta sok matematikus járult hozzá a számítások továbbfejlesztéséhez. A véges és a végtelen kicsiny elemzésével foglalkozó egyik első legteljesebb munka Maria Gaetana Agnesi 1748-ban írt könyve volt . [9]

Alapok

A matematikában az alapok a tantárgy szigorú meghatározására utalnak, pontos axiómákból és definíciókból kiindulva. A kalkulus fejlesztésének kezdeti szakaszában a végtelenül kicsi mennyiségek használata nem volt szigorú, számos szerző, elsősorban Michel Rolle és Berkeley püspök kemény kritika érte . Berkeley az 1734-es The Analyst című könyvében az infinitezimálokat „a holt mennyiségek szellemeiként” írta le. A számítások szigorú alapjainak kidolgozása Newton és Leibniz után több mint egy évszázadon át foglalkoztatta a matematikusokat, és a mai napig is aktív kutatási terület.

Több matematikus, köztük Maclaurin is megpróbálta bizonyítani az infinitezimálisok használatának érvényességét, de ezt csak 150 évvel később tették meg Cauchy és Weierstrass munkái , akik végre megtalálták a módját, hogyan lehet elkerülni az infinitezimálisok egyszerű "apróságait". a kezdetek differenciál- és integrálszámítás volt. Cauchy írásaiban az alapozó megközelítések univerzális spektrumát találjuk, beleértve a folytonosság infinitezimális definícióját és a (ε, δ)-határdefiníció (némileg pontatlan) prototípusát a differenciálás definíciójában. Weierstrass munkájában formalizálja a határ fogalmát, és kiküszöböli a végtelenül kicsi mennyiségeket. Weierstrass ezen munkája után a határértékek, és nem a végtelenül kicsi mennyiségek váltak a számítás általános alapjává. Bernhard Riemann ezeket az ötleteket használta az integrál pontos meghatározásához. Ebben az időszakban a kalkulus gondolatait általánosították az euklideszi térre és a komplex síkra is .

A modern matematikában a számítás alapjait a valós elemzés rész tartalmazza, amely a számítási tételek teljes definícióit és bizonyítását tartalmazza. A kalkulus kutatások köre sokkal szélesebb lett. Henri Lebesgue kidolgozta a halmazmértékek elméletét , és felhasználta a legegzotikusabb függvények integráljainak meghatározására. Laurent Schwartz általánosított függvényeket vezetett be , amelyek segítségével bármilyen függvény deriváltja kiszámítható.

A határértékek bevezetése nem az egyetlen szigorú megközelítést határozta meg a kalkulus alapjaihoz. Alternatív megoldás lehet például Abraham Robinson nem szabványos elemzése . Az 1960-as években kidolgozott Robinson-féle megközelítés a matematikai logikától kezdődően technikai eszközöket használ a valós számok rendszerének a végtelen kicsikre és a végtelenekre való kiterjesztésére, ahogyan az eredeti Newton-Leibniz koncepcióban is történt. Ezeket a hiperreáloknak nevezett számokat a számítás szokásos szabályaiban lehet használni, hasonlóan ahhoz, amit Leibniz tett.

Fontosság

Bár a kalkulus egyes elképzeléseit korábban Egyiptomban , Görögországban , Kínában , Indiában , Irakban, Perzsiában és Japánban fejlesztették ki, a számítás modern alkalmazása a 17. században kezdődött Európában , amikor Isaac Newton és Gottfried Wilhelm Leibniz a korábbi matematikusok alapelveit. A kalkulus fejlesztése a pillanatnyi mozgás és a görbe alatti terület korábbi fogalmain alapult.

A differenciálszámítást a sebességgel és a gyorsulással , a görbeszöggel és az optimalizálással kapcsolatos számításokhoz használják . Az integrálszámítás alkalmazásai kiterjednek a területekre , térfogatokra , ívhosszokra , tömegközéppontokra , munkavégzésre és nyomásra vonatkozó számításokra . A bonyolultabb alkalmazások közé tartozik a teljesítménysorok és a Fourier - sorok számítása .

SzámításA [ finomítás ] is arra szolgál, hogy pontosabb képet kapjunk a tér, az idő és a mozgás természetéről. A matematikusok és filozófusok évszázadok óta küzdöttek a nullával való osztáshoz vagy egy végtelen számsor összegének megtalálásához kapcsolódó paradoxonokkal. Ezek a kérdések merülnek fel a mozgás tanulmányozása és a területszámítás során. Az ókori görög filozófus eleai Zénón számos híres példát hozott az ilyen paradoxonokra . A Calculus eszközöket biztosít ezeknek a paradoxonoknak a feloldására, különösen a határértékekre és a végtelen sorozatokra.

Határértékek és infinitezimals

A végtelenül kis mennyiségeket számoknak tekinthetjük, de mégis „végtelenül kicsik”. Egy végtelenül kicsi dx szám nagyobb, mint 0, de kisebb, mint bármely szám az 1, 1/2, 1/3, ... sorozatban, és kisebb, mint bármely pozitív valós szám . Többszörösére véve egy infinitezimális még mindig végtelenül kicsi, vagyis az infinitezimálisok nem elégítik ki Arkhimédész axiómáját . Ebből a szempontból a számítás az infinitezimálisok kezelésére szolgáló módszerek összessége. Ezt a megközelítést a 19. században nem támogatták, mert nehéz volt reprezentálni az infinitezimális egzakt fogalmát. A koncepció azonban a 20. században újjáéledt a nem szabványos elemzés és a sima infinitezimális elemzés megjelenésével , amely szilárd alapot biztosított az infinitezimálisok manipulálásához.

A 19. században az infinitezimális értékeket határértékek váltották fel . A határértékek egy függvény értékét írják le bizonyos bemenetre a szomszédos bemenetre vonatkozó értékben. Kis léptékű változásokat takarnak, mint például a végtelenül kicsi, de a valós számok szokásos rendszeréhez használják. Ebben az értelmezésben a kalkulus bizonyos határértékek manipulálására szolgáló módszerek összessége. Az infinitezimálisokat nagyon kis számok helyettesítik, és a függvény végtelen kicsiny változásait úgy találjuk meg, hogy egyre kisebb számoknál korlátozó viselkedést feltételezünk. A határértékek a legegyszerűbb módja annak, hogy szigorú alapot hozzunk létre a számításhoz, ezért ezeket standard megközelítésként fogadjuk el.

Leibniz-jelölés

A Leibniz által a deriváltra bevezetett jelölés így néz ki:

A határértékeken alapuló newtoni megközelítésben a dy/dx szimbólumot nem két szám osztásának hányadosaként kell értelmezni, hanem a fent kiszámított határérték rövidítéseként. Leibniz ezzel szemben két végtelenül kicsi szám arányaként próbálta ábrázolni: dy  - differenciál , azaz y végtelen kicsiny változása és dx  - x infinitezimális változása, amely y változást okoz [10] .

Még akkor is, ha a számítást határértékekkel, nem pedig végtelen kicsinyekkel ábrázolja, a jelölés általános a szimbólumok manipulálására, mintha dx és dy valós számok lennének. Bár az ilyen manipulációk elkerülése érdekében néha célszerű ilyen jelöléseket használni a művelet kifejezésében, mivel például ezt használják a teljes derivált jelölésére .

Jegyzetek

  1. ↑ Morris Kline, Matematikai gondolkodás az ókortól a modern időkig , 4. évf. én
  2. ↑ Archimedes, Módszer , Archimedes munkáiban ISBN 978-0-521-66160-7
  3. ↑ Dun, Liu; Fan, Dainian; Cohen, Robert Sonne. Kínai tanulmányok a tudomány és technológia történetében és filozófiájában  (angolul)  : folyóirat. - Springer, 1966. - 1. évf. 130 . - 279. o . - ISBN 0-792-33463-9 . fejezet , p. 279 Archiválva : 2016. május 26. a Wayback Machine -nál
  4. ↑ Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. Calculus: Early  Transcendentals . — 3. — Jones & Bartlett tanulás, 2009. - P. xxvii. — ISBN 0-763-75995-3 . , Kivonat a 27. oldalból archiválva 2019. április 21-én a Wayback Machine -nél
  5. ↑ Indiai matematika . Letöltve: 2012. február 16. Az eredetiből archiválva : 2006. július 3..
  6. ↑ von Neumann, J., "The Mathematician", in Heywood, RB, szerk., The Works of the Mind , University of Chicago Press, 1947, pp. 180-196. Reprinted in Bródy, F., Vámos, T., eds., The Neumann Compedium , World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1995, ISBN 9810222017 , pp. 618-626.
  7. ↑ André Weil: Számelmélet. Történelmi megközelítés. Hammurapitól Legendréig. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1984, ISBN 0-8176-4565-9 , p. 28.
  8. ↑ Leibniz, Gottfried Wilhelm. Leibniz korai matematikai kéziratai. Cosimo, Inc., 2008. Másolat archiválva : 2017. július 16. a Wayback Machine -nél
  9. ↑ Unlu, Elif Maria Gaetana Agnesi . Agnes Scott College (1995. április). Az eredetiből archiválva: 2012. szeptember 5.
  10. ↑ Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 281-282.

Irodalom

Linkek

  Ugrás a Wikidata elemre  Szótárak és enciklopédiák
 A matematika ágai
"Tudomány" portál
A matematika alapjai halmazelmélet matematikai logika logikai algebra
Számelmélet ( aritmetika )
  • "Matematika" portál
  • "Matematika" kategória