Algebrai rendszer

Az univerzális algebrában az algebrai rendszer egy nem üres halmaz ( hordozó ), amelyen műveletek és relációk halmaza ( aláírás ) van megadva. Az üres relációhalmazzal rendelkező algebrai rendszert algebrának , az üres műveletkészlettel rendelkező rendszert pedig modellnek nevezzük . $G$

$n$ -ary művelet egy halmaz példányainak közvetlen szorzatának leképezése magára a halmazra . Definíció szerint a null művelet egyszerűen egy halmaz megkülönböztetett eleme. Leggyakrabban unáris és bináris műveleteket veszünk figyelembe, mivel könnyebb velük dolgozni, de a topológia , algebra , kombinatorika igényei miatt fokozatosan felhalmozódik a nagyobb aritású műveletekkel való munka technikája , itt például idézheti az operák (multilineáris műveletek klónjai) és a felettük lévő algebrák ( többoperátoros algebrák ) elméletét. $G$ $n$ $G^{n}\-nek G$

A fogalom a különféle általános algebrai struktúrákra jellemző konstrukciók általánosságára vonatkozó megfigyelésekből származott , mint például csoportok , gyűrűk , rácsok ; különösen ezek egy alrendszer konstrukciói ( egy részcsoport , részgyűrű , részrács , ill. fogalmainak általánosítása ), homomorfizmus , izomorfizmus , faktorrendszer (egy ténycsoport , faktorgyűrű , faktorrács konstrukciójának általánosítása ). Ezt az általánosságot az általános algebra – univerzális algebra – független szakaszában tanulmányozzuk , miközben számos értelmes eredményt kapunk, amelyek bármely algebrai rendszerre jellemzőek, ilyen például a homomorfizmustétel , amely egy algebrai rendszer esetén anélkül, hogy adott volna. relációk - algebra - a korábban csoportelméletből és gyűrűelméletből ismert izomorfizmus -tételekre finomítva .

A matematikában az " algebrai struktúra " fogalmát is használják különböző fokú szigorral . Bourbaki különösen műveletekkel felruházott halmazként formalizálja; ebben az esetben egy relációkkal felruházott halmaz (amelynek jelenléte lehetséges egy algebrai rendszerben) már egy másfajta matematikai struktúrának tekinthető - egy sorrendi struktúra . Azonban nem minden algebrai struktúrát írnak le algebrai rendszerek további konstrukciók nélkül , példaként említhetők a koalgebrák , a bialgebrák , a Hopf-algebrák és a rajtuk lévő komodulok ; Ezen túlmenően, még az olyan klasszikus struktúrák meghatározásához is, mint egy gyűrű feletti modul vagy egy mező feletti algebra , az univerzális algebra olyan mesterséges konstrukciókat használ, mint a gyűrű (mező) minden elemére az ezzel az elemmel való unáris szorzási művelet meghatározása.

Az algebrai rendszerek főbb osztályai

A halmaz egy degenerált algebrai rendszernek tekinthető, műveletek és relációk üres halmazával [1] .

Groupoidok, félcsoportok, csoportok

A csoportoid egy bináris művelettel rendelkező halmaz , amelyet általában szorzásnak neveznek . $\cdot :G\times G\ to G$
A jobb oldali kvázicsoport olyan csoportoid, amelyben lehetséges a helyes osztás, vagyis az egyenletnek egyedi megoldása van bármely és -ra . $x\cdot a=b$ $a$ $b$
A kvázicsoport jobb és bal oldali kvázicsoport is.
A hurok olyan kvázicsoport, amelynek semleges eleme van , így . $e\in G$ $a\cdot e=e\cdot a=a$
A félcsoport olyan csoportoid, amelyben a szorzás asszociatív : . $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
A monoid egy semleges elemet tartalmazó félcsoport.
A csoport olyan monoid, amelyben a csoport minden a elemére definiálhatunk egy a −1 inverz elemet úgy , hogy . $a\cdot a^{{-1}}=a^{{-1}}\cdot a=e$
Az Abel-csoport olyan csoport, amelyben a művelet kommutatív , azaz . Az Abel-csoporton végzett műveletet gyakran összeadásnak ('+') nevezik. $a\cdot b=b\cdot a$

Gyűrűk

A gyûrû két bináris mûveletû szerkezet (egy Abel-csoport adott második asszociatív bináris mûvelettel, szorzással összeadva), amelyben teljesül az eloszlási törvény : . $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,\quad (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$
A kommutatív gyűrű kommutatív szorzású gyűrű .
Az integrálgyűrű olyan gyűrű, amelyben két nem nulla elem szorzata nem egyenlő nullával.

A test egy gyűrű, amelyben a nullától eltérő elemek szorzócsoportot alkotnak.
A mező egy kommutatív gyűrű, amely test.

A félgyűrű hasonló a gyűrűhöz, de az összeadás megfordíthatósága nélkül.
A közeli gyűrű egyben egy gyűrű általánosítása is, amely abban különbözik a közönséges gyűrűtől, hogy nincs meg az a követelmény, hogy az összeadás kommutatív legyen, és nincs meg az a követelmény, hogy a szorzás elosztó legyen az összeadás felett (balra vagy jobbra).

Algebrák

Az algebra egy lineáris tér bilineáris disztributív szorzási művelettel , más szóval egy gyűrű konzisztens lineáris térszerkezettel
Associative algebra - algebra asszociatív szorzással
Kifejezések algebra
Kommutatív algebra
Osztályozott algebra
A Lie algebra egy antikommutatív szorzású algebra (általában jelöléssel ), amely kielégíti a Jacobi-azonosságot . $[a,b]$ $[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0$
A Leibniz -algebra egy olyan algebra, amelynek szorzása (általában jelölése ) kielégíti a Jacobi-azonosságot . $[a,b]$ $[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0$
A Jordan algebra egy kommutatív algebra, gyenge asszociativitással : $x^{2}(yx)=(x^{2}y)x$
A nem kommutatív jordán algebra egy nem kommutatív algebra, amelynek gyenge asszociativitási azonossága: és rugalmassági azonossága : $x^{2}(yx)=(x^{2}y)x$ $x(yx)=(xy)x$
Alternatív algebra - Algebra identitásokkal $x^{2}y=x(xy),\quad yx^{2}=(yx)x$
A Maltsev algebra egy antikommutatív algebra, amelynek azonossága : ${\megjelenítési stílus (xy)(xz)+(y(xz))x+((xz)x)y=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)y)x}$
Kommutatív-asszociatív algebra
Az operák feletti algebra az algebrai rendszerek egyik legáltalánosabb típusa. Itt maga az opera játssza az algebra aláírásának szerepét.

Rácsok

A rács két kommutatív, asszociatív, idempotens művelettel rendelkező szerkezet, amely teljesíti az abszorpciós törvényt .
Boole-algebra .

Jegyzetek

↑ Kurosh A. G. Általános algebra. - M.: Nauka, 1974. P.15

Irodalom

Artamonov V. A. . fejezet VI. Univerzális algebrák // Általános algebra / Szerk. szerk. L. A. Szkornyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Referencia matematikai könyvtár). — 25.000 példány. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Kon P. Univerzális algebra. - M .: Mir , 1969. - 351 p.
Maltsev AI algebrai rendszerek. — M .: Nauka , 1970. — 392 p. - 17 500 példány.