Matematikai szerkezet

A matematikai szerkezet  olyan elnevezés, amely olyan fogalmakat egyesít, amelyek közös jellemzője a halmazokra való alkalmazhatóság , amelyek természete nincs meghatározva. Magának a szerkezetnek a meghatározásához meg kell adni azokat a kapcsolatokat , amelyekben ezen halmazok elemei találhatók. Ekkor feltételezzük, hogy ezek az összefüggések bizonyos feltételeket teljesítenek, amelyek a vizsgált struktúra axiómái [1] .

Valamely struktúra axiomatikus elméletének felépítése a struktúra axiómáiból a logikai konzekvenciák levezetése, a vizsgált elemekre vonatkozó egyéb feltételezések nélkül, és különösen a „természetükre” vonatkozó hipotézisekből.

A szerkezet fogalma eredetileg informális volt. Bourbaki munkáiban a szerkezetek formális elméletét konstruálták meg, aminek a matematika alapját kellett volna képeznie, de ez az elmélet nem rögzült ilyen szerepben.

A szerkezetek alapvető típusai

A struktúra meghatározásánál kiinduló viszonyok igen sokfélék lehetnek.

A struktúrák legfontosabb típusai az algebrai struktúrák . Például az „összetétel törvényének” nevezett reláció, vagyis három elem közötti reláció, amely egyedileg határozza meg a harmadik elemet az első kettő függvényében. Ha a struktúra definíciójában szereplő összefüggések „összetétel törvényei”, a megfelelő matematikai struktúrát algebrai struktúrának nevezzük. Például egy hurok , csoport , mező struktúráit két kompozíciós törvény határozza meg megfelelően kiválasztott axiómákkal. Tehát az összeadás és a szorzás a valós számok halmazán határozza meg a mezőt ezen számok halmazán.

A második fontos típust a sorrendi reláció által meghatározott struktúrák , vagyis a sorrendi struktúrák képviselik . Ez a kapcsolat két elem között , amelyet leggyakrabban a " kisebb vagy egyenlő " szavakkal fejezünk ki, és amelyet általában a következőképpen jelölnek . Ebben az esetben nem feltételezzük, hogy ez a reláció egyértelműen azonosítja az egyik elemet a másik függvényeként.

A harmadik típusú struktúrák a topológiai struktúrák , amelyekben a szomszédság , határ és folytonosság intuitív fogalmai egy absztrakt matematikai megfogalmazáson keresztül valósulnak meg, általános topológia segítségével .

Struktúrák hierarchiája a matematikában

A matematikusok egy csoportja, amely Nicolas Bourbaki néven egyesült, a " The Architecture of Mathematics " (1948) cikkben a matematikát a struktúrák háromszintű hierarchiájaként mutatta be, amely az egyszerűtől a bonyolultig, az általánostól a speciálisig halad.

Az első szinten a fő (generáló) matematikai struktúrák kerülnek bemutatásra, ezek között megkülönböztetjük a legfontosabb generáló ( fr.  les structures-mères ) struktúrákat:

Az ilyen típusú szerkezetek mindegyikében elegendő sokféleség van. Ugyanakkor meg kell különböztetni a vizsgált típus legáltalánosabb, legkevesebb axiómával rendelkező szerkezetét, valamint az abból származó további axiómákkal való gazdagítás eredményeként kapott struktúrákat, amelyek mindegyike új következményekkel jár.

A második szintre az összetett matematikai struktúrák ( fr.  többszörösek ) kerülnek - olyan struktúrák, amelyek egyidejűleg egy vagy több generáló struktúrát tartalmaznak, de nem csak egymással kombinálva, hanem szervesen kombinálva az őket összekötő axiómák segítségével. Például a topológiai algebra a kompozíciós törvények és a topológiai struktúra által meghatározott struktúrákat vizsgálja, amelyeket az a feltétel köt össze, hogy az algebrai műveletek az elemek folytonos (a vizsgált topológiában) függvényei. Egy másik példa az algebrai topológia , amely a térben lévő, topológiai tulajdonságok által meghatározott ponthalmazokat olyan elemeknek tekinti, amelyeken algebrai műveleteket hajtanak végre. Az alkalmazásokban használt struktúrák közül sok a második szinthez köthető, például az eseménystruktúra egy részleges sorrendet társít egy speciális bináris relációhoz.

A harmadik szinten a konkrét matematikai struktúrák, amelyekben a vizsgált halmazok elemei, amelyek az általános struktúrákban teljesen határozatlanok voltak, határozottabb egyéniséget kapnak. Ily módon születnek meg a klasszikus matematika olyan elméletei, mint egy valós és összetett változó függvényeinek matematikai elemzése , differenciálgeometria , algebrai geometria .

Történelem

A szerkezet fogalmát eredetileg informálisan használták az általános algebrában . A leghíresebb kísérletet ennek a fogalomnak a formalizálására Bourbaki tette (ez a cikk is Bourbaki munkájára támaszkodik); korábban például Oystin Ore algebrai struktúráinak elmélete [2] . Bourbaki a struktúraelméletét használta a matematika alapjaként a halmazelmélet mellett . Valójában azonban a szerkezetek elméletét még saját további munkájukban is alig használják, és összességében a matematikában nem rögzítették [3] . Az 1940-es és 1950-es években az algebrai struktúrák és sorrendi struktúrák széles osztályának hasonlóságáról felhalmozódott elképzelések egy univerzális algebra és egy algebrai rendszer koncepciójának megalkotásához vezettek  - egy műveletek és relációk halmazához (azonban , nem minden bourbaki értelemben vett algebrai struktúra fejeződik ki hatékonyan a nyelvi univerzális algebra). Az 1960-as és 1970-es évek óta a matematikai struktúrák gondolatait gyakrabban fejezik ki a kategóriaelmélet nyelvén .

Jegyzetek

  1. ↑ Szerkezet // Matematikai enciklopédia (5 kötetben) . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1985. - T. 5.
  2. ↑ Corry, 2004 , 6. fejezet Oystein Ore: Algebraic Structures.
  3. ↑ Corry, 2004 , 7. fejezet. Nicolas Bourbaki: Theory of Structures .

Irodalom