Koalgebra

A koalgebra egy matematikai szerkezet, amely kettős (a nyilak megfordításának értelmében) egy asszociatív algebrához , amelynek mértékegysége . Egy unitárius asszociatív algebra axiómái kommutatív diagramok formájában adhatók meg . A koalgebra axiómákat a nyilak megfordításával kapjuk meg. Minden dualitású koalgebra (vektortér) generál algebrát, de fordítva nem. A véges dimenziós esetben mindkét irányban kettősség áll fenn. A koalgebrák különféle esetekben fordulnak elő (például univerzális burkolóalgebrákban és csoportsémákban ). Van még egy F-coalgebra , amelynek fontos alkalmazásai vannak a számítástechnikában .

Definíció

A K mező feletti koalgebra egy C vektortér K felett K -lineáris leképezésekkel és , úgy, hogy $\Delta : C \to C \otimes_K C$ $\epszilon : C - K$

$(\mathrm{id}_C \otimes \Delta) \circ \Delta = (\Delta \otimes \mathrm{id}_C) \circ \Delta$
$(\mathrm{id}_C \otimes \epsilon) \circ \Delta = \mathrm{id}_C = (\epsilon \otimes \mathrm{id}_C) \circ \Delta$ .

(Itt az és a tenzorszorzatot jelenti K felett .) $\otimes$ $\otimes_K$

Ennek megfelelően a következő két diagram ingázik :

Az első diagramon két természetesen izomorf térrel azonosulunk . [1] Hasonlóképpen a természetes izomorf terek és a második diagramban azonosíthatók . [2] $C\otimes (C\otimes C)$ $(C \ néha C) \ néhol C$ $C$ $C\otimes K$ $K\otimes C$

Az első diagram kettős az algebra szorzási műveletének asszociativitását kifejező diagrammal (és a szorzás koasszociativitásának nevezik); a második diagram kettős a multiplikatív semleges elem létezését kifejező diagrammal . Ennek megfelelően a Δ térképet C-ben összetettnek ( vagy koszorzatnak ) nevezzük , ε pedig C egysége .

Példa

Tekintsünk egy S halmazt , és alkossunk egy vektorteret K felett S bázissal . Ennek a vektortérnek az elemei S -től K -ig tartó függvények, amelyek S véges számú elemét leképezik nullára; S egy s elemét azonosítjuk egy függvénnyel, amely s -t 1-re, S minden más elemét 0-ra leképezi. Ezt a teret C -ként fogjuk jelölni . Meg fogjuk határozni

\Delta(s) = s\otimes s \quad \mbox{ és } \quad \epsilon(s)=1 \quad \forall s\in S.

Δ és ε egyértelmûen kiterjeszthetõ minden C -re linearitással . A C vektortér koalgebrává válik Δ commultifikációval és ε egységgel (ennek ellenőrzése jó módszer a koalgebra-axiómák használatához).

Véges dimenziós eset

A véges dimenziós esetben az algebra és a koalgebra kettőssége közelebb áll: a véges dimenziós (egységes asszociatív) algebrához duális objektum koalgebra, a véges dimenziós koalgebrához duális pedig (egységes asszociatív) algebra. Általánosságban elmondható, hogy egy algebrával kettős objektumnak nem kell koalgebrának lennie.

Ez abból következik, hogy véges dimenziós terek esetén ( A ⊗ A )* és A * ⊗ A * izomorf.

Még egyszer: az algebra és a koalgebra kettős fogalom (az egyiket meghatározó axiómákat a másik axiómáiból kapjuk meg a nyilak megfordításával), míg a véges dimenziós terek esetében szintén duális objektumok .

Jegyzetek

↑ Yokonuma (1992), p. 12 , Prop. 1.7.
↑ Yokonuma (1992), p. 10 , prop. 1.4.

Lásd még

Irodalom

Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin & Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras , vol. 235 (1. kiadás), Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9 .
Yokonuma, Takeo (1992), Tenzorterek és külső algebra , vol. 108, Matematikai monográfiák fordításai, AMS Bookstore, ISBN 9780821845646 .
Bourbaki, Nicolas. Algebra (határozatlan) . - Springer-Verlag , 1989. - ISBN 0-387-19373-1 . . III. fejezet, 11. szakasz.

Linkek

William Chin: Rövid bevezetés a koalgebra-reprezentáció elméletébe Archiválva 2004. október 24-én a Wayback Machine -nél