Sok

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. július 16-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

A halmaz a matematika egyik kulcsfogalma ; amely egy halmaz, tetszőleges (általánosan szólva tetszőleges) objektumok gyűjteménye - ennek a halmaznak az elemei [1] . Két halmaz akkor és csak akkor egyenlő, ha pontosan ugyanazokat az elemeket tartalmazza [2] .

A halmazok általános tulajdonságainak vizsgálatával a halmazelmélet , valamint a matematika és a matematikai logika kapcsolódó ágai foglalkoznak . Példák: egy adott város lakóinak halmaza, folytonos függvények halmaza, egy adott egyenlet megoldásainak halmaza. Egy halmaz lehet üres vagy nem üres , rendezett vagy rendezetlen , véges vagy végtelen . Egy végtelen halmaz lehet megszámlálható vagy megszámlálhatatlan . Sőt, mind a naiv , mind az axiomatikus halmazelméletekben általában minden tárgyat halmaznak tekintenek. A halmaz fogalma lehetővé teszi, hogy a matematika szinte minden ága közös ideológiát és terminológiát használjon.

A fogalom története

A véges és végtelen halmazok elméletének alapjait Bernard Bolzano fektette le , és megfogalmazta néhány alapelvét [3] [4] [5] .

1872-től 1897-ig (főleg 1872-1884-ben) Georg Cantor számos művet publikált, amelyekben szisztematikusan bemutatták a halmazelmélet főbb ágait, köztük a ponthalmazok elméletét és a transzfinit számok elméletét (bíboros és ordinális) [6 ] . Ezekben a munkákban nemcsak a halmazelméleti alapfogalmakat vezette be, hanem a matematikát is új típusú érvekkel gazdagította, amelyeket a halmazelméleti tételek, különösen a végtelen halmazok bizonyítására alkalmazott először. Ezért általánosan elfogadott, hogy Georg Cantor alkotta meg a halmazelméletet. Konkrétan egy halmazt úgy definiált, mint "egy név az összes objektum gyűjteményéhez, amelyek adott tulajdonsággal rendelkeznek", és ezeket az objektumokat egy halmaz elemeinek nevezte . Az összes olyan objektum halmazát, amelyek rendelkeznek tulajdonsággal (vagyis olyan állítással, amelynek igazsága az x változó értékétől függ ), ő jelölte ki, és magát a tulajdonságot a halmaz jellemző tulajdonságának nevezték. $Fejsze)$ $\{x\mid A(x)\},$ $Fejsze)$ $x.$

A definíció jó minősége ellenére Cantor felfogása paradoxonokhoz – különösen Russell paradoxonjához – vezetett .

Mivel a halmazelmélet valójában minden modern matematikai elmélet alapja és nyelve, 1908-ban a halmazelméletet egymástól függetlenül axiomatizálta Bertrand Russell és Ernst Zermelo . A jövőben mindkét rendszert felülvizsgálták és megváltoztatták, de lényegében megőrizték jellegüket. Ezeket Russell típuselméletének és Zermelo halmazelméletének nevezik . Ezt követően Cantor halmazelmélete naiv halmazelméletként vált ismertté , és a Cantor után újjáépített elmélet (különösen Russell és Zermelo) axiomatikus halmazelméletté vált .

A 20. század közepe óta kialakult gyakorlatban a halmazt olyan modellként határozzák meg, amely kielégíti a ZFC axiómákat (a Zermelo-Fraenkel axiómák a választott axiómával ). Ezzel a megközelítéssel azonban egyes matematikai elméletekben olyan objektumok gyűjteményei keletkeznek, amelyek nem halmazok. Az ilyen gyűjteményeket osztályoknak (különböző rendűeknek) nevezzük .

A halmaz eleme

A halmazt alkotó objektumokat halmazelemeknek vagy halmazpontoknak nevezzük . A halmazokat leggyakrabban a latin ábécé nagybetűivel jelölik , elemeik kisbetűk. Ha egy eleme a halmaznak , akkor azt írják (" tartozik "). Ha nem eleme a halmaznak , akkor azt írják (" nem tartozik "). $a$ $A$ $a\in A$ $a$ $A$ $a$ $A$ $a\notin A$ $a$ $A$

Ha a halmaz minden eleme benne van a -ban , akkor azt írják (a „ benne van, a részhalmaza ”). A halmazelmélet szerint ha , akkor bármely elemre vagy , vagy definiálva van . $A$ $B$ $A\B részhalmaz$ $A$ $B$ $X\Y részhalmaz$ $a\in Y$ $a\in X$ $a\not \in X$

Így egy halmaz elemeinek felírásának sorrendje nem befolyásolja magát a halmazt, azaz . Ezen túlmenően a fentiekből következik, hogy egy halmazra nincs meghatározva az azonos elemek előfordulásának száma, vagyis a rekordnak általánosságban nincs értelme, ha halmaz. Helyes lesz azonban a halmazt írni . $\{6,11\}=\{11,6\}$ $A=\{11,11,6,11,6\}$ $A$ $B=\{11,\{11\},\{6,11\},6\}$

Egy halmaz megadása

A halmazok meghatározásának két fő módja van : az elemek felsorolásával és azok leírásával.

Felsorolás

Az első módszer megköveteli a halmazban található összes elem megadását (felsorolását). Például a 10 -nél kisebb nemnegatív páros számok halmazát a következő képlet adja meg: Ezt a módszert csak korlátozott számú véges halmazra célszerű alkalmazni. $Y$ $Y=\{0,2,4,6,8\}.$

Leírás

A második módszert akkor használjuk, ha a halmazt nem vagy nehéz felsorolással megadni (például ha a halmaz végtelen sok elemet tartalmaz). Ebben az esetben a hozzá tartozó elemek tulajdonságaival írható le.

Egy halmaz akkor van megadva, ha olyan feltételt adunk meg , amelyet az összes elem teljesít, és amelyet nem teljesít . kijelöl $Y\subset X$ $Fejsze)$ $x\in X:x\in Y$ $x\in X:x\notin Y$ $Y={\big \{}x\in X:A(x){\big \}}.$

Például egy függvény grafikonja a következőképpen definiálható: $f\kettőspont X\Y-ra$

\Gamma ={\big \{}(x,y)\in X\times Y:f(x)=y{\big \)),

hol van a halmazok derékszögű szorzata. $\szor$

Halmazok közötti kapcsolatok

Az és halmazokhoz relációk adhatók meg : $A$ $B$

$A$ benne van, ha a halmaz minden eleme a halmazhoz is tartozik : $B$ $A$ $B$ $A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A\Rightarrow a\in B$
$A$ tartalmazza , ha benne van : $B$ $B$ $A$ $A \supseteq B \bal jobbra nyíl B \subseteq A$
$A$ egyenlő , ha és szerepelnek egymásban: $B$ $A$ $B$ $A=B\Leftrightarrow A\subseteq B,\,B\subseteq A$
- Bármilyen készlethez $A=A$
- Ha , akkor $A=B$ $B=A$
- Ha , akkor . $A=B$ $B=C$ $A=C$

Néha a szigorú zárványt ( ) megkülönböztetik a nem szigorútól ( ), ami abban különbözik a -tól . A legtöbb esetben azonban a zárványok szigorúsága nincs leírva, ezért vannak feljegyzések az önkényes, szigorú zárványjelekkel ellátott zárványokról. $A\B részhalmaz$ $A\subseteq B$ $A\subset B\not \Rightarrow A=B$

Műveletek halmazokon

A műveletek vizuális megjelenítéséhez gyakran használnak Venn-diagramokat , amelyek a geometriai alakzatokon végzett műveletek eredményeit ponthalmazként mutatják be.

Alapműveletek

metszéspont : (közös pontok halmaza) $A\cap B=\{x:x\in A,\,x\in B\};$
unió : (összes pont halmaza) $A\cup B=\{x,y:x\in A,\,y\in B\};$

A diszjunkt és ( ) unió a következőket is jelenti:

A

B

A\cap B=\varnothing

A+B=A\cup B;

különbség : (az első pontkészlete a második nélkül) $A\setminus B=\{x:x\in A,\,x\notin B\};$
szimmetrikus különbség : $A\bigtriangleup B\equiv A~{\pont {-}}~B=(A\cup B)\setminus (A\cap B);$

kiegészítés ehhez (készlet nélkül ): $A\B részhalmaz$ $B$ $A$ ${\overline {A}}\equiv A^{\complement }=B\setminus A;$

logikai érték (az összes részhalmaz halmaza): $A$ $2^{A}=\{X:X\subset A\}.$

A halmazokon végzett műveletekre de Morgan törvényei is érvényesek :

$A\backslash (B\cap C)=(A\backslash B)\cup (A\backslash C)$

$A\backslash (B\cup C)=(A\backslash B)\cap (A\backslash C)$

Bizonyíték

A halmaz indikátorát a következőképpen vezetjük be Könnyen kimutatható, hogy az egyik állítást bebizonyítjuk, feltételezve, hogy a második bizonyítás is hasonló: . (használt ) $A$ $I_{a}:X\supset A\to \{0,1\}:I_{a}(x)={\begin{cases}1,\,\forall x\in A,\\0 ,\,\forall x\notin A;\end{cases}}$
$I_{a\cap b}=I_{a}I_{b};\,\,\,I_{a\cup b}=I_{a}+I_{b}-I_{a}I_{ b};\,\,\,I_{a\setminus b}=I_{a}-I_{a}I_{b}.$

$A\backslash (B\cup C)\,\,\Leftrightarrow I_{a}-I_{a}\cdot I_{b\cup c}\,\,\Leftrightarrow I_{a}-I_{a }\cdot (I_{b}+I_{c}-I_{b}\cdot I_{c})=I_{a}-I_{a}\cdot I_{b}-I_{a}\cdot I_{ c}+I_{a}\cdot I_{b}\cdot I_{c}=$
$=I_{a}^{2}-I_{a}^{2}\cdot I_{b}-I_{a}^{2}\cdot I_{c}+I_{a}\cdot I_ {c}\cdot I_{b}=(I_{a}-I_{a}\cdot I_{b})\cdot (I_{a}-I_{a}\cdot I_{c})\Baljobbra nyíl (A \backslash B)\cap (A\backslash C)$ $I_{a}^{2}=I_{a}$

A műveletek prioritása

A halmazokon végzett műveletek sorrendje, mint általában, zárójelben adható meg. Zárójelek hiányában először az unáris műveleteket (kiegészítést) hajtják végre, majd a metszéspontokat , majd az uniókat , a különbségeket és a szimmetrikus különbségeket . Az azonos prioritású műveletek balról jobbra haladva hajtódnak végre. Ugyanakkor szem előtt kell tartani, hogy az aritmetikai összeadástól és kivonástól eltérően , amelyre különösen igaz, hogy , ez nem igaz a halmazokon végzett hasonló műveletekre. Például, ha akkor , de ugyanakkor, . ${\megjelenítési stílus (a+b)-c=a+(bc)}$ $A=\{1,3\},B=\{1,2\},C=\{2,3\},$ $(A\cup B)\setminus C=\{1\},$ $A\cup (B\setminus C)=\{1,3\}$

derékszögű termék

A halmazok derékszögű szorzata egy olyan halmaz , amelynek elemei az eredeti halmazok összes lehetséges elempárja; $A$ $B$ $(A\time B)$ $A\times B=\{\{a,b\}:a\in A,\,b\in B\}.$

Kényelmes elképzelni, hogy egy derékszögű szorzat elemei kitöltenek egy elemtáblázatot, amelynek oszlopai az egyik halmaz összes elemét írják le, a sorai pedig egy másik halmaz összes elemét.

Power

A halmaz hatványa egy olyan halmaz jellemzője, amely a véges halmaz elemszámának fogalmát úgy általánosítja, hogy azok a halmazok, amelyek között bijekciót lehet megállapítani, egyformán erősek. Jelölve vagy . Egy üres halmaz számossága nulla, véges halmazoknál a számosság egybeesik az elemek számával, végtelen halmazoknál speciális bíborszámokat vezetnek be , amelyek a befogadási elv szerint korrelálnak egymással (ha , akkor ) és kiterjesztik a halmaz tulajdonságait. véges halmaz Boole-számossága: végtelen halmazok esetére. Magát a kijelölést nagyrészt ez a tulajdonság motiválja. $|A|$ $\éles A$ $A\subseteq B$ $|A| \leqslant |B|$ $|2^A| = 2^{|A|}$ $2^A$

A legkisebb végtelen hatványt jelöljük , ez egy megszámlálható halmaz hatványa (bijektív ). Egy kontinuumhalmaz (bijektív vagy ) számosságát a vagy jelöli . A kontinuum hatványának meghatározása sok szempontból a kontinuum hipotézisén alapul - azon a feltételezésen, hogy a megszámlálható és a kontinuum hatványa között nincs köztes hatvány. $\aleph_0$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {R}$ $2^{\mathbb {N} }$ $\mathfrak c$ $2^{\aleph_0}$

Bizonyos készletek és hasonló objektumok

Különleges készletek

Az üres halmaz olyan halmaz, amely nem tartalmaz elemeket.
Az egyelemű halmaz egy elemből álló halmaz.
Az univerzális halmaz (univerzum) az összes elképzelhető objektumot tartalmazó halmaz. Russell paradoxonjakapcsánezt a fogalmat jelenleg szűkebben értelmezik, mint "egy halmazt, amely magában foglalja a vizsgált problémában részt vevő összes halmazt és objektumot".

Hasonló objektumok

A tuple (pontosabban egy rendezett pár ) véges számú elnevezett objektum rendezett gyűjteménye. Zárójelben vagy szögletes zárójelben van írva, és az elemek megismételhetők.
A multihalmaz ( a Petri-háló elméletében „halmaznak” nevezik) egy több elemű halmaz.
A tér egy halmaz, amely további szerkezettel rendelkezik.
A vektor egy lineáris tér olyan eleme , amely valamilyen mező véges számú elemét tartalmazza koordinátaként. A sorrend számít, az elemek ismételhetők.
A sorozat egy természetes változó függvénye . Elemek végtelen halmazaként ábrázolva (nem feltétlenül különbözőek), amelyek sorrendje számít.
A fuzzy halmaz egy olyan halmazhoz hasonló matematikai objektum , amelynek tagságát nem egy reláció , hanem egy függvény adja meg . Vagyis egy fuzzy halmaz elemeire vonatkozóan meg lehet mondani, hogy „milyen mértékben” szerepelnek benne, és nem csak azt, hogy benne vannak-e vagy sem.

Hierarchia szerint

A halmazrendszer (halmazok halmaza) olyan halmaz, amelynek minden eleme egyben halmaz is, általában hasonló eredetű (például mindegyik lehet valamilyen más halmaz részhalmaza) [7] .
- Halmazok algebra , halmazok gyűrűje olyan struktúratípusok példái, amelyek halmazrendszerek.
- A logikai érték egy adott halmaz összes részhalmazának halmaza.
A halmazcsalád egy halmazrendszer indexelt analógja.
Részhalmaz
szuperkészlet

Jegyzetek

↑ Készlet // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben) . - M .: Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 3. - S. 762.
↑ Stoll, Robert. Halmazok, logikai és axiomatikus elméletek . - W. H. Freeman and Company, 1974. - 5. o .
↑ Steve Russ. Bernard Bolzano matematikai művei . - OUP Oxford, 2004. december 9. - ISBN 978-0-19-151370-1 . Archiválva : 2022. április 27. a Wayback Machine -nél
↑ William Ewald. Kanttól Hilbertig 1. kötet: Forráskönyv a matematika alapjaiban / William Ewald, William Bragg Ewald. - OUP Oxford, 1996. - P. 249. - ISBN 978-0-19-850535-8 . Archiválva 2022. április 22-én a Wayback Machine -nél
↑ Paul Rusnock. Bernard Bolzano: Élete és munkássága / Paul Rusnock, Jan Sebestik. - OUP Oxford, 2019. április 25. - P. 430. - ISBN 978-0-19-255683-7 . Archiválva : 2022. április 17. a Wayback Machine -nél
↑ "Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens - welche Elemente der Menge genannt werden - zu einem Ganzen." Archivált másolat . Letöltve: 2011. április 22. Az eredetiből archiválva : 2011. június 10. (határozatlan)
↑ Studopedia - Halmazelmélet . Letöltve: 2020. május 2. Az eredetiből archiválva : 2020. november 25. (határozatlan)

Irodalom

K. Kuratovsky , A. Mostovsky . Halmazelmélet / Angolból fordította: M. I. Röviden, szerkesztette A. D. Taimanov. - M . : Mir, 1970. - 416 p.
Stoll R. R. Szettek. Logikák. axiomatikus elméletek. / Yu. A. Gastev és I. Kh. Shmain fordítása angolból, szerkesztette: Yu. A. Shikhanovich . - M . : Oktatás, 1968. - 232 p.

Logikák

Filozófia • Szemantika • Szintaxis • Történelem

Logikai csoportok

klasszikus logika	Arisztotelészi logika propozíciós logika Elsőrendű logika Másodrendű logika magasabb rendű logika
matematikai logika	halmazelmélet Modellelmélet Kiszámíthatóság elmélet Bizonyításelmélet és konstruktív matematika Lineáris logika formális rendszer természetes következtetés Sorozatszámítás Logikai algebra Releváns logika Deontikus logika intuicionista logika Lambek kalkulus
Nem klasszikus logika	intuicionizmus zavaros logika Szubstrukturális logika logika Leírás logika Többértékű logika Logikai szintézis Kötési logika Időbeli logika Modális logika ( Hibrid logika ) episztemikus logika
Filozófiai logika	Kritikus gondolkodás informális logika deduktív érvelés

Alkatrészek

Logikai szimbólumok listája

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy norvég Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4038613-2 NKC : ph122926