Az általános relativitáselmélet matematikai megfogalmazása

Ez a cikk az általános relativitáselmélet matematikai alapjait tárgyalja .

Kiinduló pozíciók

Intuitív érzékelésünk azt mondja, hogy a téridő szabályos és folytonos, vagyis nincsenek benne "lyukak". Matematikailag ezek a tulajdonságok azt jelentik, hogy a téridőt egy sima, 4-dimenziós differenciálható sokaság modellezi , azaz egy 4-dimenziós tér, amelyben az egyes pontok szomszédsága lokálisan egy négydimenziós euklideszi térhez hasonlít . A simaság itt elegendő differenciálhatóságot jelent, anélkül, hogy a mértékét megadnánk. $M_4$

Mivel ráadásul a speciális relativitáselmélet törvényei is kielégítőek jó pontossággal , egy ilyen sokaság felruházható egy Lorentzi-metrikával , azaz egy nem degenerált metrikus tenzorral , aláírással (vagy azzal egyenértékűen ). Ennek értelme a következő részben derül ki. $\{-,+,+,+\}$ $\{+,-,-,-\}$

A téridő geometriája

Megjegyzés: Ez a cikk Misner, Thorne és Wheeler klasszikus jelkonvencióit követi [1]

Ez a cikk az ismétlődő indexek összegzésére vonatkozó Einstein-egyezményt is elfogadja .

Metrikus tenzor

Egy differenciálható sokaság [2] M, amely egy g lorentzi metrikus tenzorral van felruházva, tehát egy Lorentzi-sokaság , amely egy pszeudo-Riemann-féle sokaság speciális esetét képezi (a „Lorentziak” definícióját a szöveg későbbi részében részletezzük; lásd a Lorentzi metrikus szakasz alább ).

Vegyünk egy koordinátarendszert a pont közelében , és legyen lokális bázis a pontban lévő sokaság érintőterében . Az érintővektor ezután bázisvektorok lineáris kombinációjaként lesz felírva: $x^{\mu}$ $P$ ${\mathbf e}_{\mu}(x)$ $T_xM$ $M$ $x\-ben M$ $\mathbf w \in T_xM$

\mathbf{w} \ = \w^{\mu} \\mathbf{e}_{\mu}.

Ebben az esetben a mennyiségeket a w vektor kontravariáns komponenseinek nevezzük . A metrikus tenzor ekkor szimmetrikus bilineáris forma : $\w^{\mu}$ $\mathbf g$

\mathbf g \ = \ g_{\mu\nu}(x)\ dx^{\mu}\ \otimes \ dx^{\nu},

ahol a duálist jelöli a kotangens tér bázisához képest, azaz lineáris alakokat a -n , úgy, hogy: $dx^{\mu}$ ${\mathbf e}_{\mu}(x)$ $T_x^*M$ $T_{x}M$

dx^{\nu} ({\mathbf e}_{\mu}) \ =\ \delta_{\mu}^{\nu}.

Továbbá feltételezzük, hogy a metrikus tenzor összetevői folyamatosan változnak a téridőben [3] . $g_{\mu\nu}(x)$

A metrikus tenzor tehát egy valós 4x4 szimmetrikus mátrixszal ábrázolható :

g_{\mu\nu} \ = \ g_{\nu\mu}.

Általában minden valós 4x4-es mátrixnak eleve 4x4 = 16 független eleme van. A szimmetriafeltétel ezt a számot 10-re csökkenti: valójában 4 átlós elem van, amihez hozzá kell adnunk (16 - 4) / 2 = 6 átlón kívüli elemet. A tenzornak tehát csak 10 független komponense van. $g_{\mu \nu }$

Pontos termék

A metrikus tenzor a sokaság minden pontjára meghatároz egy pszeudo- skaláris szorzatot („pszeudo-” abban az értelemben, hogy a pszeudo-euklidesziben nincs pozitív meghatározottsága a kapcsolódó másodfokú formának (vektor négyzete; lásd Lorentzi metrika) pontban az elosztót érintő térköz . Ha és két vektor , akkor a pontszorzatuk a következőképpen van felírva: $x \-ben M$ $M^{}$ $x$ $T_{x}M$ $\mathbf u$ ${\mathbf v}$ $T_{x}M$

\mathbf u \cdot \mathbf v \ = \ \mathbf g (\mathbf u, \mathbf v) \ = \ g_{\mu \nu} \ u^{\mu } \ v^{\nu}

Konkrétan két bázisvektort véve megkapjuk a komponenseket:

g_{\mu \nu} \ = \ \mathbf g ({\mathbf e}_{\mu}, {\mathbf e}_{\nu}) \ = \ {\mathbf e}_{\mu} \ cdot {\mathbf e}_{\nu}

Megjegyzés: ha a mennyiségek a w vektor kontravariáns komponenseit jelölik , akkor a kovariáns komponenseit a következőképpen is definiálhatjuk: $w^{\mu}$

w_{\mu} \ = \ \mathbf w \ \cdot \mathbf e_{\mu}.

Elemi távolság - intervallum

Tekintsük egy pont és egy végtelen közeli pont közötti elemi eltolási vektort: . Ennek a vektornak az invariáns infinitezimális normája egy valós szám lesz, amelyet az intervallum négyzetének jelölünk, és egyenlő: $d\mathbf P \ = \ \epsilon^{\mu} \mathbf e_{\mu}$ $P^{}$ $| \epsilon^{\mu} | \ll 1$ $ds^2$

ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x)\ \epsilon^{\mu} \\epsilon^{\nu}

Ha az elemi eltolási vektor összetevőit "fizikai úton" jelöljük ki , akkor a hossz (intervallum) infinitezimális négyzete formálisan így lesz írva: $\epsilon^{\mu} = dx^{\mu}$

ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x) \ dx^{\mu} \ dx^{\nu}

Figyelem : ebben a képletben és a továbbiakban is szerepel egy valós szám, amelyet fizikailag a koordináta "végtelen kicsiny változásaként" értelmezünk , nem pedig differenciálformaként! $dx^{\mu}$ $x^{{\mu }}$

Lorentz metrika

Finomítsuk most a "Lorentzi" (pontosabban lokálisan lorentzi) kifejezést, ami azt jelenti, hogy a metrikus tenzornak van (1,3) aláírása , és lokálisan első sorrendben egybeesik a speciális relativitáselmélet Lorentzi metrikájával . Az ekvivalencia elve kimondja, hogy lokálisan inerciális koordinátarendszer választásával lehetőség van a gravitációs mező "törlésére". Matematikai szempontból ez a választás annak a jól ismert tételnek az újrafogalmazása, amely a másodfokú alakok főtengelyekre való redukálásának lehetőségéről szól.

Egy ilyen lokálisan inerciális koordinátarendszerben a pont invariánsa így írható fel: $X^{\alpha}$ $ds^2$ $P$

ds^2 \ = \ \eta_{\alpha \beta } \ dX^{\alpha } \ d X^{\beta } \ = \ - \ c^2 \, dT^2 \, + \, dX^2 \, + \, dY^2 \, + \, dZ^2,

hol van a Minkowski tér-idő metrika , és ennek a pontnak egy kis szomszédságában $\eta_{\alpha\beta}$

ds^2 \ = \ (\eta_{\alpha \beta}+\delta_{\alpha \beta }) \ dX^{\alpha } \ d X^{\beta },

ahol a koordináták ponttól való eltérésében másodrendű kicsinységi minimummal rendelkezik , azaz . Elfogadva a Misner, Thorne és Wheeler jelek konvencióját, van [1] : $\delta_{\alpha\beta}$ $P$ $\delta_{\alpha\beta}|_{P}=0,\ \left.\frac{\partial \delta_{\alpha\beta)){\partial X^\alpha}\right|_{P}= 0$

\eta_{\alpha \beta} \ = \ \mathrm{diag} \ ( -1, \, +1, \, +1, \, +1 \, )

Az alábbiakban a következő hagyományos konvenciók használatosak:

A görög indexek 0 és 3 között mozognak. Téridőbeli mennyiségeknek felelnek meg.
A latin indexek 1-től 3-ig változnak. A mennyiségek tér-időbeli összetevőinek felelnek meg.

Például egy 4 pozíciós vektort egy lokálisan inerciális koordinátarendszerben a következőképpen írunk:

X^{\alpha} \ = \ \left( \begin{mátrix} X^{0} \\ X^{i} \end{mátrix} \jobbra) \ = \ \left( \begin{mátrix} X^ {0} \\ X^{1} \\ X^{2} \\ X^{3} \end{mátrix} \jobbra) \ = \ \left( \begin{mátrix} c \, T \\ X \\ Y \\ Z \end{mátrix} \jobbra).

Figyelem : valójában véges, nem végtelenül kicsi koordináta-növekmény nem alkot vektort. Egy vektoruk csak nulla görbületű és triviális topológiájú homogén térben keletkezik.

A sokaság lorentzi jellege így biztosítja, hogy a pszeudo-euklideszi tér minden pontjában az érintők pszeudo - skaláris szorzatokkal rendelkezzenek ("pszeudo-" abban az értelemben, hogy nincs pozitív meghatározottsága a kapcsolódó másodfokú alaknak (négyzetvektor). ) három szigorúan pozitív sajátértékkel (amely a térnek felel meg) és egy szigorúan negatív sajátértékkel (amely az időnek felel meg). Különösen a "megfelelő idő" elemi intervalluma, amely két egymást követő eseményt választ el, mindig: $M^{}$ $M^{}$

d \tau^2 \ = \ - \frac{ds^2}{c^2} \ > \ 0.

Az affin kapcsolat és a kovariáns derivált általános fogalmai

Általában az affin kapcsolat egy olyan operátor , amely egy érintőceruza vektormezőjét társítja a ceruza endomorfizmusainak mezőjéhez . Ha az érintővektor a pontban , akkor általában jelöljük $\nabla$ $\mathbf V$ $TM$ $\nabla \mathbf V$ ${\mathbf w} \in T_xM$ $x \-ben M$

\nabla_{\mathbf w} \ \mathbf V(x) \ = \ \nabla \mathbf V(x,\mathbf w).

Azt mondják , hogy ez a vektor " kovariáns deriváltja " az irányba . Tegyük fel továbbá, hogy ez teljesíti a további feltételt: bármely f függvényre rendelkezünk $\nabla_{\mathbf w} \mathbf V$ $\mathbf V$ ${\mathbf w}$ $\nabla \mathbf V$

\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V

A kovariáns derivált a következő két linearitási tulajdonságot teljesíti:

linearitás w -ben, azaz bármilyen legyen is a w és u vektorok, valamint az a és b valós számok mezője, a következőt kapjuk:

\nabla_{(a \mathbf w + b \mathbf u)} \mathbf V \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ b \ \nabla_{\mathbf u} \mathbf V.

linearitás V -ben, azaz bármilyen legyen is az X és Y vektorok , valamint az a és b valós számok mezeje , a következőt kapjuk:

\nabla_{\mathbf w} (a\mathbf X + b\mathbf Y) \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf X \ + b \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf Y.

Miután a kovariáns deriváltot definiáltuk vektormezőkre, a Leibniz -szabály segítségével kiterjeszthető tenzormezőkre : ha és bármely két tenzor, akkor definíció szerint: ${\mathbf T}$ $\mathbf S$

\nabla_{\mathbf w}(\mathbf T \otimes \mathbf S) \ = \ (\nabla_{\mathbf w} \mathbf T )\otimes \mathbf S \ + \ \mathbf T \otimes(\nabla_{\ mathbf w} \mathbf S)

A tenzormező kovariáns deriváltja a w vektor mentén ismét egy azonos típusú tenzormező.

A metrikához társított kapcsolat

Bizonyítható, hogy a metrikához tartozó kapcsolat, a Levi-Civita [1] kapcsolat az egyetlen olyan kapcsolat, amely az előző feltételeken túlmenően azt is biztosítja, hogy a TM - ből származó X, Y, Z vektorok bármely mezőjére

$\nabla_{\mathbf X}(\mathbf g(\mathbf Y,\mathbf Z)) \ = \ \mathbf g(\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y,\mathbf Z) \ + \ \mathbf g( \mathbf Y,\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z)$ ( metrikus - a nemmetrikus tenzor egyenlő nullával).

$\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \mathbf X \ = \ [\mathbf X, \mathbf Y]$ , ahol X és Y Lie kommutátora (nincs torzió – a torziós tenzor egyenlő nullával). $[\mathbf X,\mathbf Y]$

Leírás koordinátákban

Egy vektor kovariáns deriváltja egy vektor, így az összes bázisvektor lineáris kombinációjaként fejezhető ki:

\nabla_{\mathbf w} V \ = \ \left[ \, \nabla_{\mathbf w} V \, \right]^\rho \ \mathbf e_\rho \ = \ \Gamma^\rho \ \mathbf e_ \rho,

ahol a kovariáns derivált irányú vektorkomponensei vannak (ez a komponens a választott w vektortól függ ). $\Gamma^\rho$ $\mathbf e_\rho$

A kovariáns derivált leírásához elegendő leírni azt minden egyes bázisvektorra az irány mentén . Határozzuk meg ezután a Christoffel szimbólumokat (vagy egyszerűen Christoffel szimbólumokat) 3 index függvényében [4] $\mathbf e_\nu$ $\mathbf e_\mu$ $\Gamma^\rho {}_{\mu \nu},$

\nabla_{\mu} {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \nabla_{{\mathbf e}_{\mu)) {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \Gamma^\ rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho

A Levi-Civita kapcsolatot teljes mértékben a Christoffel szimbólumok jellemzik. Az általános képlet szerint

\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V

V vektorhoz :

\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \nabla_{\mu} (V^\nu \mathbf e_\nu) \ = \ V^\nu \ (\nabla_{\mu} \mathbf e_\nu ) \ + \ dV^\nu(\mathbf e_\mu) \ \mathbf e_\nu.

Ennek ismeretében a következőket kapjuk: $dV^\nu (\mathbf e_\mu) = \partial_\mu V^\nu$

\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ V^\nu \ \Gamma^\rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho \ + \ \partial_\mu V^\ nu \ \mathbf e_\nu

Ennek a képletnek az első tagja a koordinátarendszer "deformációját" írja le a kovariáns deriválthoz képest, a második pedig - a V vektor koordinátáinak változásait . A buta indexek összegzésekor ezt a relációt átírhatjuk alakba

\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \left[ \, V^\rho \ \Gamma^\nu {}_{\mu \rho} \ + \ \partial_\mu V^\nu \, \ jobbra] \ \mathbf e_\nu

Ebből kapunk egy fontos képletet az összetevőkre:

\nabla_{\mu} \mathbf{V}^{\nu} \ = \ \left[ \, \nabla_{\mu} \mathbf{V} \, \right]^{\nu} \ = \ \partial_ {\mu} V^{\nu} \ + \ \Gamma_{~ \mu \rho}^{\nu} \ V^{\rho }

A Leibniz-képlet segítségével ugyanúgy kimutatható, hogy:

\nabla_{\mu} \mathbf{V}_{\nu} \ = \ \partial_{\mu} V_{\nu} \ - \ \Gamma_{~ \mu \nu}^{\rho } \ V_{ \rho}.

Ezen komponensek explicit kiszámításához a Christoffel-szimbólumok kifejezéseit a metrikából kell meghatározni. Könnyen beszerezhetők a következő feltételek beírásával:

\nabla_{\mu} \ \mathbf{g}_{\nu \rho} \ = \ 0.

Ennek a kovariáns deriváltnak a számítása oda vezet

\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ g^{\mu \nu} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \partial_\rho g_{\nu \sigma} \ - \ \partial_\nu g_{\rho \sigma} \right),

hol vannak az egyenletek által meghatározott „inverz” metrikus tenzor összetevői $g^{\mu \nu}\$

g^{\mu \nu} \ g_{\nu \rho} \ = \ \delta^\mu{}_\rho

A Christoffel-szimbólumok „szimmetrikusak” [5] az alsó indexekhez képest: $\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma}=\Gamma^\mu {}_{\sigma \rho}.\$

Megjegyzés: néha a következő szimbólumokat is meghatározzák:

\Gamma_{\nu \rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \partial_\rho g_{\nu \sigma} \ - \ \partial_\nu g_{\rho \sigma} \right)

így érkezett:

\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \ g^{\mu \nu} \ \Gamma_{\nu \rho \sigma}

Riemann görbületi tenzor

Az R Riemann görbületi tenzor egy 4. vegyértéktenzor, amely bármely X, Y, Z vektormezőre van definiálva M - ből .

\mathbf R(\mathbf X,\mathbf Y)\mathbf Z \ = \ \nabla_{\mathbf X} \, (\nabla_{\mathbf Y} \mathbf Z) \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \ , (\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z) \ - \ \nabla_{[\mathbf X,\mathbf Y]} \mathbf Z\; .

Összetevői kifejezetten metrikus együtthatókból vannak kifejezve:

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ \frac{1}{2}\left( \partial^2_{ \nu \rho } g_{ \mu \sigma } \ + \ \partial^2_{ \mu \sigma } g_{ \nu \rho } \ - \ \partial^2_{ \nu \sigma } g_{ \mu \rho } \ - \ \partial^2_{ \mu \rho } g_{ \nu \ szigma } \jobbra) \ +

+ \ g_{ \lambda \tau } \left( \Gamma^\lambda {}_{ \nu \rho } \Gamma^\tau {}_{ \mu \sigma } \ - \ \Gamma^\lambda {} _{ \nu \sigma } \Gamma^\tau {}_{ \mu \rho } \right)\;.

Ennek a tenzornak a szimmetriája:

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ R_{ \rho \sigma \mu \nu }\;,

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{ \nu \mu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{\mu \nu \sigma \rho }\;.

A következő összefüggést is kielégíti:

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ + \ R_{ \mu \sigma \nu \rho } \ + \ R_{ \mu \rho \sigma \nu } \ = \ 0.

Ricci görbületi tenzor

A Ricci - tenzor a 2. vegyértéktenzor , amelyeta Riemann-féle görbületi tenzor konvolúciója határoz meg

R_{\mu \nu} \ = \ g^{\rho \sigma } \ R_{\rho \mu \sigma \nu} \ = \ R^\sigma_{~ \mu \sigma \nu} \; .

Összetevői kifejezetten Christoffel szimbólumokon keresztül:

R_{\mu \nu} \ = \ \partial_{\rho } \Gamma^{\rho } {}_{\mu \nu} \ - \ \partial_{\nu} \Gamma^{\rho } {} _{\mu \rho } \ + \ \Gamma^{\rho } {}_{\mu \nu } \Gamma^{\sigma } {}_{\rho \sigma } \ - \ \Gamma^{\ sigma} {}_{\mu \rho}\Gamma^{\rho} {}_{\nu \sigma} \; .

Ez a tenzor szimmetrikus: . $R_{\mu\nu} \ = \ R_{\nu \mu} \$

Skaláris görbület

A skaláris görbület egy invariáns, amelyet a Ricci-tenzor és a metrika konvolúciója határoz meg.

R \ = \ g^{\mu \nu} \ R_{\mu \nu} \ = \ R^\nu_{~ \nu}.

Einstein-egyenletek

A gravitációs téregyenleteket, amelyeket Einstein-egyenleteknek nevezünk , a következőképpen írjuk fel

R_{\mu \nu} \ - \ \frac{1}{2} \, g_{\mu \nu} \, R \ + \ \Lambda \ g_{\mu \nu} \ = \ \frac{8 \pi G}{c^4} \ T_{\mu \nu},

vagy úgy

G_{\mu \nu }\ +\ \Lambda \ g_{\mu \nu }\ =\ {\frac {8\pi G}{c^{4))}\ T_{\mu \nu },

ahol a kozmológiai állandó , a fény sebessége vákuumban, a gravitációs állandó , amely Newton egyetemes gravitációs törvényében is megjelenik, az Einstein-tenzor és az energia-impulzus tenzor . $\lambda$ $c$ $G$ $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }\ -\ {\frac {1}{2))\,g_{\mu \nu }\,R$ $T_{\mu\nu}$

Egy szimmetrikus tenzornak csak 10 független komponense van, az Einstein-tenzor egyenlet egy adott koordinátarendszerben ekvivalens egy 10 skaláris egyenletből álló rendszerrel. Ezt a 10 csatolt nemlineáris parciális differenciálegyenletből álló rendszert a legtöbb esetben nagyon nehéz megtanulni. $g_{\mu\nu}$

Az energia-impulzus tenzor

Az energia-impulzus tenzor valódi 4x4 szimmetrikus mátrixként írható fel:

T_{\mu \nu} \ = \ \left( \begin{mátrix} T_{00} & T_{01} & T_{02} & T_{03} \\ T_{10} & T_{11} & T_ {12} & T_{13} \\ T_{20} & T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{30} & T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{mátrix}\jobbra).

A következő fizikai mennyiségeket tartalmazza:

T 00 - térfogati energiasűrűség . Pozitívnak kell lennie .
T 10 , T 20 , T 30 az impulzuskomponensek sűrűsége .
T 01 , T 02 , T 03 az energiaáramlás összetevői .
3 x 3 almátrix tisztán térbeli összetevőkből:

T_{ik} \ = \ \left( \begin{mátrix} T_{11} & T_{12} & T_{13} \\ T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{31 } & T_{32} & T_{33} \end{mátrix} \jobbra)

az impulzusáramok mátrixa . A folyadékmechanikában az átlós komponensek a nyomásnak, a többi komponens pedig a viszkozitás okozta tangenciális erőknek (feszültségeknek vagy régi szóhasználattal feszültségeknek) felel meg .

Nyugalomban lévő folyadék esetében az energia-impulzus tenzor egy diagonális mátrixra redukálódik , ahol a tömegsűrűség és a hidrosztatikus nyomás. ${\rm {diag}}({{\rho }c^{2}},~p,~p,~p)$ ${\rho}$ $p$

Jegyzetek

↑ 1 2 C. W. Misner, Kip S. Thorne és John A. Wheeler ; Gravitation , Freeman & Co. (San Francisco-1973), ISBN 0-7167-0344-0 . vagy C. MIZNER, C. THORNE, J. WHEELER. GRAVITÁCIÓ. kötet I-III. M. Mir, 1977.
↑ A következőkben nem írjuk mindenhova a 4-es indexet, amely az "M" sokaság dimenzióját adja meg.
↑ Pontosabban, legalább C² osztályúnak kell lenniük.
↑ Figyelem, a Christoffel szimbólumok nem tenzorok.
↑ A "szimmetrikus" szó idézőjelben van, mivel ezek az indexek eredetüknél fogva nem tenzorosak.

A gravitáció elméletei

A gravitáció standard elméletei

Alternatív gravitációs elméletek

A gravitáció kvantumelmélete

Egységes mezőelméletek

klasszikus fizika

Newton gravitációs elmélete

Relativisztikus fizika

Általános relativitáselmélet
- Matematikai megfogalmazás
- Hamiltoni megfogalmazás

Alapelvek

Klasszikus

Relativisztikus

Többdimenziós

Húrok

Egyéb

Mindennek kivételesen egyszerű elmélete