Lambda mátrix

A lambda mátrix ( λ - mátrix , polinomok mátrixa ) egy négyzetes mátrix , amelynek elemei polinomok valamilyen számmező felett . Ha van olyan mátrixelem, amely fokú polinom , és nincsenek -nál nagyobb fokú mátrixelemek , akkor a λ-mátrix foka. $\l$ $\l$ $\l$

A\left(\lambda \right)={\begin{bmatrix}a_{11}(\lambda )&a_{12}(\lambda )&\cdots &a_{1n}(\lambda )\\a_{ 21}(\lambda )&a_{22}(\lambda )&\cdots &a_{2n}(\lambda )\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(\lambda )&a_{ n2}(\lambda )&\cdots &a_{nn}(\lambda )\end{bmatrix}},\qquad a_{ij}(\lambda )=a_{ij}^{(l)}\lambda ^{l }+a_{ij}^{(l-1)}\lambda ^{l-1}+\cdots +a_{ij}^{(1)}\lambda +a_{ij}^{(0)}.

A mátrixokon végzett szokásos műveletek használatával bármely λ-mátrix a következőképpen ábrázolható:

A\left(\lambda \right)=A_{l}\lambda ^{l}+A_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_ {0}.

Ha a mátrix determinánsa nem nulla, akkor a λ-mátrixot regulárisnak nevezzük. ${\displaystyle \ A_{l))$

Példa egy szabálytalan λ-mátrixra:

A\left(\lambda \right)={\begin{bmatrix}\lambda ^{4}+\lambda ^{2}+\lambda -1&\lambda ^{3}+\lambda ^{2} +\lambda +2\\2\lambda ^{3}-\lambda &2\lambda ^{2}+2\lambda \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix} }\lambda ^{4}+{\begin{bmatrix}0&1\\2&0\end{bmatrix}}\lambda ^{3}+{\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}}\lambda ^ {2}+{\begin{bmatrix}1&1\\-1&2\end{bmatrix}}\lambda +{\begin{bmatrix}-1&2\\0&0\end{bmatrix}}.

λ-mátrixok algebrája

Összeadás és szorzás

Az azonos rendű λ-mátrixok a szokásos módon összeadhatók és szorozhatók egymás között, és az eredmény egy másik λ-mátrix.

Legyen és rendek λ-mátrixai és rendre, és , akkor $A\left(\lambda\right)$ $B\left(\lambda\right)$ $\l$ $\m$ $\k=max(l,m)$

A\left(\lambda \right)=A_{k}\lambda ^{k}+A_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_ {0}

;

B\left(\lambda \right)=B_{k}\lambda ^{k}+B_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +B_{1}\lambda +B_ {0}

ahol legalább az egyik mátrix nem nulla, ott van ${\displaystyle \ A_{k},B_{k))$

A\left(\lambda \right)+B\left(\lambda \right)=(A_{k}+B_{k})\lambda ^{k}+(A_{k-1}+B_ {k-1})\lambda ^{k-1}+\cdots +(A_{1}+B_{1})\lambda +(A_{0}+B_{0})

;

A\left(\lambda \right)B\left(\lambda \right)=A_{k}B_{k}\lambda ^{2k}+(A_{k}B_{k-1}+A_ {k-1}B_{k})\lambda ^{2k-1}+\cdots +(A_{1}B_{0}+A_{0}B_{1})\lambda +(A_{0}B_ {0})

;

osztály

Tegyük fel, hogy ez egy szabályos λ-mátrix, és vannak olyan λ-mátrixok , amelyek fokozata kisebb vagy annál kisebb , $\ B(\lambda )$ $\ Q(\lambda ),R(\lambda )$ $\ R(\lambda )\equiv 0$ $\ R(\lambda )$ $\ B(\lambda )$

\ A(\lambda )=Q(\lambda )B(\lambda )+R(\lambda )

Ebben az esetben jobb hányadosnak nevezzük , ha elosztjuk , és - a jobb maradék . Hasonlóképpen, és a bal hányados és a bal maradék , ha elosztjuk az if -vel $\ Q(\lambda )$ $\ A(\lambda )$ $\ B(\lambda )$ $\ R(\lambda )$ ${\hat {Q}}(\lambda )$ ${\hat {R}}(\lambda )$ $\ A(\lambda )$ $\ B(\lambda )$

A(\lambda )=B(\lambda ){\hat {Q}}(\lambda )+{\hat {R}}(\lambda )

és vagy fokozat kisebb, mint fok . ${\hat {R}}(\lambda )\equiv 0$ ${\hat {R}}(\lambda )$ $\ B(\lambda )$

Ha a jobb (bal) maradék 0, akkor jobb (bal) osztónak nevezzük , ha osztjuk -val . $\ Q(\lambda )$ $({\hat {Q}}(\lambda ))$ $\ A(\lambda )$ $\ B(\lambda )$

Ha szabályos, akkor a jobb oldali (bal) hányados és a jobb (bal) maradék, ha osztva -val , létezik és egyedi. $\ B(\lambda )$ $\ A(\lambda )$ $\ B(\lambda )$

λ-mátrixok mátrix argumentumokkal

A mátrixszorzás nem kommutativitása miatt, ellentétben a közönséges polinom tulajdonságaival, egy λ-mátrixra nem lehet olyan egyenlőséget írni, mint

a_{l}\lambda ^{l}+a_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=\lambda ^{l} a_{l}+\lambda ^{l-1}a_{l-1}+\cdots +\lambda a_{1}+a_{0}

így definiáljuk a λ-mátrix megfelelő értékét a mátrixban , mint $\ A(B)$ $\ A(\lambda )$ $\ B$

{\displaystyle A\left(B\right)=A_{l}B^{l}+A_{l-1}B^{l-1}+\cdots +A_{1}B+A_{0))

, ha ;

A\left(\lambda \right)=A_{l}\lambda ^{l}+A_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_ {0}

és balra értéke" a következőképpen: ${\kalap {A}}(B)$

{\hat {A}}\left(B\right)=B^{l}A_{l}+B^{l-1}A_{l-1}+\cdots +BA_{1}+ A_{0}

és általában . $A(B)\neq {\hat {A}}(B)$

Bezout-tétel λ-mátrixokra

A λ-mátrixoknál van egy Bezout-tételhez hasonló tulajdonság a polinomokra: a jobb és bal maradék a λ-mátrix elosztása után , ahol - az azonosságmátrix és . $\ A(\lambda )$ $\ \lambda EB$ $\ E$ $\ A(B)$ ${\kalap {A}}(B)$

A tulajdonság faktorizálással igazolt:

\ \lambda ^{j}EB^{j}=(\lambda ^{j-1}E+\lambda ^{j-2}B+\cdots +\lambda B^{j-2}+B^ {j-1})(\lambdaEB)

ha ennek az egyenlőségnek mindkét oldalát megszorozzuk a bal oldallal, és összeadjuk a kapott egyenlőségeket , a jobb oldal így fog kinézni , ahol van valami λ-mátrix. Az egyenlőség bal oldala: ${\displaystyle \ A_{j))$ $\j=1,\cdots ,l$ $\ C(\lambda )(\lambda EB)$ $\ C(\lambda )$

\sum _{j=1}^{l}\lambda ^{j}A_{j}-\sum _{j=1}^{l}A_{j}B^{j}=\sum _{j=0}^{l}\lambda ^{j}A_{j}-\sum _{j=0}^{l}A_{j}B^{j}=A(\lambda )-A (B)

Ilyen módon:

\ A(\lambda )=C(\lambda )(\lambda EB)+A(B)

Az eredmény most a megfelelő maradék egyediségéből következik. A baloldali maradékra vonatkozó állítást úgy kapjuk meg, hogy az eredeti dekompozícióban szereplő tényezőket megfordítjuk, az eredményt megszorozzuk a jobb oldalival és összegezzük. ${\displaystyle \ A_{j))$

Következmény: ahhoz, hogy egy λ-mátrix maradék nélkül jobbra (balra) osztható legyen, szükséges és elegendő, hogy . $\ A(\lambda )$ $\ \lambda EB$ $\ A(B)=0$ $\left({\hat {A}}(B)=0\right)$

Irodalom

Gantmakher F. R. Mátrixelmélet . - 2. kiadás - M . : Nauka , 1966.
Lancaster P. Mátrixelmélet. - M .: Nauka, 1973.

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb