Nyolcadik ábra (csomóelmélet)

Nyolc

Jelölés
Conway	[22]
Alexander-Briggs	4 1
Dowker	4, 6, 8, 2
Polinomok
Sándor	$-t+3-t^{{-1}}$
Jones	$q^{2}-q+1-q^{{-1}}+q^{{-2}}$
Conway	${\displaystyle 1-z^{2))$
Invariánsok
Arfa invariáns	egy
A fonat hossza	négy
A szálak száma	3
A hidak száma	2
Filmek száma	2
A kereszteződések száma	négy
Nemzetség	egy
Hiperbolikus térfogat	2,02988
Szegmensek száma	7
Oldja ki a számot	egy
Tulajdonságok
Egyszerű , hiperbolikus , váltakozó , teljesen amfikirális , rétegzett , csavart
Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon

A csomóelméletben a nyolcas szám ( négyszeres csomó vagy Listing csomó ) az egyetlen csomó, amelynek négy metszéspontja van. Ez a lehető legkisebb számú kereszteződés, kivéve a triviális csomót és a hártyát . A nyolcas szám egy egyszerű csomó . Először Listing vette figyelembe 1847 -ben .

A név eredete

A név a hazai nyolccsomós alakból származik, amely egy kötélen van, amelynek végei össze vannak kötve.

Leírás

A nyolcas csomó egyszerű parametrikus ábrázolását olyan pontok halmazával ( x , y , z ) adjuk meg, amelyekre

{\begin{aligned}x&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\cos {(3t)}\\y&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\ sin {(3t)}\\z&=\sin {(4t)}\end{igazított}}

ahol t egy valós változó.

A nyolcas ábra egy egyszerű , váltakozó , racionális csomópont, amelynek megfelelő értéke 5/2. Ez is egy akirális csomópont . A nyolcas szám egy réteges csomó. Ez a csomópont egy másik, kevésbé egyszerű (de érdekesebb) ábrázolásából következik:

A csomó egy homogén [1] zárt fonat (nevezetesen egy 3 szálból álló fonat zárása σ 1 σ 2 −1 σ 1 σ 2 −1 ), és John Stallings tétele azt mutatja, hogy minden homogén fonat szálas .
A csomó egy (0,0,0,0) pontban lévő link, egy F : R 4 → R 2 valós polinom leképezés izolált kritikus pontja , így ( John Milnor tétele szerint ) a Milnor térkép F egy csomag. Bernard Perron megtalálta az első ilyen F függvényt ehhez a csomóponthoz, nevezetesen:

F(x,y,z,t)=G(x,y,z^{2}-t^{2},2zt),

ahol

{\begin{aligned}G(x,y,z,t)=\ &(z(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})+x(6x ^{2}-2y^{2}-2z^{2}-2t^{2}),\\&\ tx{\sqrt {2}}+y(6x^{2}-2y^{2} -2z^{2}-2t^{2})).\end{igazított}}

Tulajdonságok

A nyolcas csomó történelmileg fontos szerepet játszott (és továbbra is játszik) a 3 sokaság elméletében . Valamikor az 1970-es évek közepén William Thurston kimutatta, hogy a nyolcas ábra egy hiperbolikus csomó , kiegészítve két tökéletes hiperbolikus tetraéderre bontva (Robert Riley és Troels Jørgensen, egymástól függetlenül dolgozva korábban kimutatták, hogy a nyolcas szám hiperbolikus egy másikban. érzék). Ez az akkoriban új konstrukció számos erőteljes eredményhez és módszerhez vezetett. Például meg tudta mutatni, hogy Dehnnek tíz kivételével a nyolcas csomón végzett műtétei nem Hacken felbonthatatlan 3- szerelvényeket adnak , amelyek nem engednek be Seifert-fibrációt . Ez volt az első ilyen eredmény. Sok mást úgy fedeztek fel, hogy Thurston konstrukcióját más csomókra és láncszemekre általánosították.

Cho Chun és Robert Meyerhoff munkája szerint a nyolcas szám is egy hiperbolikus csomó, a lehető legkisebb térfogatú 2,029 88…. Ebből a szempontból a nyolcas szám a legegyszerűbb hiperbolikus csomónak tekinthető. A G-8 komplement a Gieseking elosztó dupla borítása , amely a legkisebb térfogatú a nem kompakt hiperbolikus 3-elosztók között.

A nyolcas számcsomó és a csipkecsomó (−2,3,7) két hiperbolikus csomó, amelyekre több mint hat speciális műtét ismert , a Dehn-műtétek, amelyek nem hiperbolikus 3-sokaságokhoz vezetnek. Nekik 10, illetve 7 van. Lackenby és Meyerhof tétele, amelynek bizonyítása a geometriázási tételen és a számítógépes számításokon alapul , kimondja, hogy 10 a szinguláris műtétek maximális száma bármely hiperbolikus csomó esetén. Azt azonban még nem sikerült megállapítani, hogy a nyolc az egyetlen csomópont, amelynél elérjük a 10-es határt. Egy jól ismert sejtés szerint az alsó határ (a két említett csomópont kivételével) a 6.

A nyolcas szám szingularitást képez az euklideszi tértényezőben a P213 hatására . Ezenkívül a nyolcas ábra az egyetlen csomópont, amely szingularitást képez az euklideszi tértényezőben a krisztallográfiai csoportok felett.

Invariánsok

A nyolcas Alexander-polinom az

\Delta (t)=-t+3-t^{{-1}},\

a Conway-polinom az

\nabla (z)=1-z^{2},\

[2]

a Jones-polinom pedig az

V(q)=q^{2}-q+1-q^{{-1}}+q^{{-2}}.\

A Jones-polinomhoz viszonyított és a szimmetria a nyolcas ábra achiralitását tükrözi. $q$ $q^{{-1}}$

Jegyzetek

↑ Egy fonat akkor nevezzük homogénnek, ha bármely generátor mindig pozitív vagy mindig negatív. $\sigma_i$
↑ 4_1 Archiválva : 2006. február 9. a Wayback Machine Knot Atlasban

Irodalom

Ian Agol. A kivételes Dehn-kitöltés határai // Geometria és topológia . - 2000. - T. 4 . – S. 431–449 . MR : 1799796
Chun Cao, Robert Meyerhoff. A minimális térfogatú, orientálható kúpos hiperbolikus 3-sokaságok // Inventiones Mathematicae . - 2001. - T. 146 , szám. 3 . MR : 1869847
Marc Lackenby. Word hiperbolikus Dehn-sebészet // Inventiones Mathematicae . - 2000. - T. 140 , sz. 2 . – S. 243–282 . MR : 1756996
A kivételes Dehn-műtétek maximális száma. - arXiv : 0808.1176 .
Robion Kirby. Problémák az alacsony dimenziós topológiában. (lásd az 1.77-es problémát, Cameron Gordon miatt , a kivételes lejtőkért)
William Thurston. A három sokaság geometriája és topológiája. — A Princetoni Egyetem előadási jegyzetei (1978–1981).

Linkek

4_1 Archiválva : 2006. február 9. a Wayback Machine Knot Atlas -ban
Weisstein , Eric W. Nyolc csomó a Wolfram MathWorldnél .

Csomók és kapcsolatok elmélete
Hiperbolikus	Nyolc (4 1 ) Három fél fordulat (5 2 ) Hajózás (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Percos pár (10 161 ) Csipke (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Borrome gyűrűk (63 2) L10a140
műhold	Összetett ( bébi ) egyenes Csomók összege
tórikus	Triviális (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Hétlevelű (7 1 ) Leválasztva (02 1) Hopf (22 1) Salamon (42 1)
Invariánsok	váltakozó Arfa invariáns Hidak száma ( 2-híd ) Brunni link Kiralitás ( visszafordítható ) Filmek száma A kereszteződések száma Vasziljev invariáns Hiperbolikus térfogat Khovanov homológiája Nemzetség Csomópont csoport Fogaskerékcsoport Áttétel Polinomok ( Alexander Kauffman tartó HOMFLY Jones Kaufman ) Csipke eljegyzés Egyszerű csomó ( lista ) Szegmensek száma A háromszínű színezések száma A feloldás száma és feladata
Jelölések és műveletek	Alexander–Briggs jelölés Conway jelölés Docker jelölés Mutáció Reidemeister mozgalom Skene arány
Egyéb	Sándor tétele Berge csomó fonat elmélet Conway gömb Csomópont befejezése Dupla tórusz csomó Réteges csomó Szalag Vágott Csomók összege Tate hipotézisei Csavart Vad Twist szám Seifert felület