Ércszám

Az ércszám egy természetes szám, amelynek osztóinak harmonikus átlaga egész szám . Oistin Ore vezette be 1948 -ban . Az első néhány ércszám:

1. , 6. , 28. , 140. , 270., 496., 672., 1638., 2970., 6200., 8128., 8190., 18600., 18620., … [1] .

Például a 6-os ércnek 1, 2, 3 és 6 osztója van. Harmonikus átlaguk egész szám:

{\frac {4}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}} }}=2.

A 140-es szám osztói 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 és 140. Harmonikus középértékük:

{\frac {12}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{ 5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{20}}+{\ frac {1}{28}}+{\frac {1}{35}}+{\frac {1}{70}}+{\frac {1}{140}}}}=5.

Az 5 egy egész szám, ami azt jelenti, hogy a 140 egy érc szám.

Ércszámok és tökéletes számok

Bármely egész szám esetén a harmonikus átlag és osztóinak számtani átlagának szorzata megegyezik magával a számmal , ami közvetlenül következik a definíciókból. Tehát akkor és csak akkor van egy Ore-szám az osztók harmonikus átlagával, ha az osztók számtani átlaga a hányadosa . $M$ $M$ $M$ $k$ $M$ $k$

Ore megmutatta, hogy minden tökéletes szám ércszám. Mivel egy tökéletes szám osztóinak összege pontosan , ezért az osztók átlaga , ahol a szám osztóinak száma . Bármely szám esetén a szám akkor és csak akkor páratlan, ha tökéletes négyzet , ellenkező esetben a szám minden osztója társítható egy másik osztóval - . De tökéletes szám nem lehet tökéletes négyzet, ez a páros tökéletes számok jól ismert tulajdonságaiból következik, és a páratlan tökéletes számoknak (ha léteznek) olyan tényezővel kell rendelkezniük , ahol , ahol . Így tökéletes szám esetén az osztók száma páros, az osztók átlaga pedig a szorzata . Tehát egy érc szám. $M$ $2M$ $M(2/\tau (M))$ $\tau (M)$ $M$ $M$ $\tau (M)$ $M$ $d$ $M$ $m/d$ $q^{\alpha }$ $\alpha \equiv 1{\pmod 4}$ $M$ $\tau (M)$ $M$ $2/\tau (M)$ $M$

Ore sejtette, hogy 1-en kívül nincsenek páratlan Ore-számok. Ha a sejtés helyes, akkor nincsenek páratlan tökéletes számok .

Határok és számítógépes keresés

Kimutatták, hogy minden 1-nél nagyobb páratlan ércszám prímtényezőjének 10 7 -nél nagyobbnak kell lennie , és minden ilyen számnak legalább három különálló prímtényezővel kell rendelkeznie. Ezenkívül megállapították, hogy nincsenek 10 24 -nél kisebb páratlan ércszámok .

Megkísérelték számítógép segítségével megszerezni az összes kis ércszám listáját, ennek eredményeként minden 2 × 10 9 -ig terjedő ércszámot és minden olyan számot találtak, amelyek harmonikus átlaga nem haladja meg a 300-at.

Jegyzetek

↑ OEIS szekvencia A001599 _

Irodalom

Bogomolnij, Sándor. Egy adott egész szám osztóinak átlagaira vonatkozó azonosság . Letöltve: 2006. szeptember 10. (határozatlan)

Cohen, Graeme L. Számok, amelyek pozitív osztóinak kicsi integrál harmonikus középértéke van // Számítási matematika . - 1997. - T. 66 . – S. 883–891 . - doi : 10.1090/S0025-5718-97-00819-3 .

Graeme L. Cohen, Ronald M. Sorli. A páratlan harmonikus számok meghaladják a 10 -et 24 // Számítási matematika. - 2010. - T. 79 , sz. 272 . - S. 2451 . — ISSN 0025-5718 . - doi : 10.1090/S0025-5718-10-02337-9 . Elektronikusan közzétéve: 2010. április 9.

Menj, Takeshi. (Ore's) Harmonikus számok . Letöltve: 2006. szeptember 10. (határozatlan)

Richard K Guy. Megoldatlan számelméleti problémák. — 3. - Springer-Verlag , 2004. - ISBN 978-0-387-20860-2 .

Joseph B. Muskat. A páratlan tökéletes számok osztóiról // Számítási matematika. - American Mathematical Society, 1966. - V. 20 , no. 93 . – S. 141–144 . - doi : 10.2307/2004277 . — .

Øystein Ore. Egy szám osztóinak átlagairól // American Mathematical Monthly . - Mathematical Association of America, 1948. - V. 55 . – S. 615–619 . - doi : 10.2307/2305616 . — .

Weisstein, Eric W. Harmonikus osztószám (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .

Számok oszthatósági jellemzők szerint
Általános információ	Egész számok faktorizálása Oszthatóság egységes osztó Osztófüggvény prímszám Az aritmetika alaptétele Számtani szám
Faktorizációs formák	prímszám Összetett szám Semiprime téglalap alakú szám Szfenikus szám Négyzet nélküli szám Teljes többszörös Tökéletes diploma Achilles-szám sima szám Normál szám durva szám szokatlan szám
Korlátozott osztókkal	tökéletes szám Kissé elégtelen számok Kissé redundáns számok Többszörösen tökéletes szám Féltökéletes számok hipertökéletes szám szuper tökéletes szám egységes prím féltökéletes szám pararitmiás szám Erdős-Nicolas szám
Számok sok osztóval	Túlzott számok Primitív többletszámok Erősen redundáns számok Szuper redundáns számok Rendkívül felesleges számok szuperkompozit szám Nagyon szuperkompozit szám furcsa szám
Alikvot szekvenciákkal kapcsolatos	szent szám baráti számok nyilvános számok Kvázi baráti számok
Egyéb	Nincs elég szám haver számok szublimált számok Ércszámok szerény szám Egyenlő számjegyek extravagáns szám