Fenntartható elosztás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2015. december 5-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

A stabil eloszlás a valószínűségelméletben olyan eloszlás, amely független valószínűségi változók összegeinek eloszlásának határértékeként kapható meg .

Definíció

Az eloszlásfüggvényt akkor nevezzük stabilnak, ha bármely valós számhoz vannak olyan számok , amelyekre az egyenlőség létrejön: , ahol * a konvolúciós művelet . Ha egy stabil eloszlás jellemző függvénye, akkor bármelyikhez vannak olyan számok , amelyek . [egy] $F(x)$ $a_{1}>0,a_{2}>0,b_{1},b_{2}$ $a>0,b$ $F(a_{1}x+b_{1})*F(a_{2}x+b_{2})=F(ax+b)$ $\phi (t)$ $a_{1}>0,a_{2}>0$ $a>0,b$ $\phi ({\frac {t}{a_{1}}})\phi ({\frac {t}{a_{2}}})=\phi ({\frac {t}{a} }){e}^{-itb}$

Jegyzetek

Ha egy stabil eloszlásfüggvény , akkor , olyan, hogy $F_{X}$ $\forall n\in \mathbb {N} ,\;\exists a_{n}>0,b_{n}\in \mathbb {R}$

F_{X}\left({\frac {x-b_{n}}{a_{n}}}\right)=\underbrace {F_{X}(x)*\cdots *F_{X} (x)} _{n},\quad \forall x\in \mathbb {R}

ahol konvolúciót jelöl . $*$

Ha egy stabil eloszlás karakterisztikus függvénye , akkor , úgy, hogy $\phi _{X}$ $\forall n\in \mathbb {N} ,\;\exists a_{n},b_{n}\in \mathbb {R}$

{\displaystyle \phi _{X}^{n}(t)=\phi _{X}(a_{n}t)\,e^{ib_{n}t))

Stabil disztribúciók tulajdonságai

Legyenek független azonos eloszlású valószínűségi változók és , ahol néhány normalizáló és központosító állandó. Ha a valószínűségi változók eloszlásfüggvénye , akkor csak a stabil eloszlások lehetnek korlátozó eloszlások at esetén . Ennek az ellenkezője igaz: bármely stabil eloszlás esetén létezik egy valószínűségi változók sorozata , amely a -hoz konvergál . [egy] ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n))$ $\eta _{n}={\frac {1}{\beta _{n))}\sum _{k=1}^{n}\xi _{k}-\alpha _{n}$ ${\displaystyle \beta _{n}>0,\alpha _{n))$ $F_{n}(x)$ $\eta _{n}$ $F_{n}(x)$ $n\to\infty$ $F(x)$ $\eta _{n}={\frac {1}{\beta _{n))}\sum _{k=1}^{n}\xi _{k}-\alpha _{n}$ $F_{n}(x)$ $F(x)$ $n\to\infty$

(Levy-Khinchin reprezentáció) Egy stabil eloszlású valószínűségi változó karakterisztikus függvényének logaritmusa a következőképpen alakul:

\ln \phi (t)={\begin{cases}it\beta -d|t|^{\alpha }\left(1+i\theta {\frac {t}{|t|}} G(t,\alpha )\jobbra),&t\not =0,\\0,&t=0.\end{cases}}

hol és $0<\alpha \leq 2,\;\beta \in \mathbb {R} ,\;d\geq 0,\;|\theta |\leq 1,$

G(t,\alpha )={\begin{cases}\mathrm {tg} {\frac {\pi }{2}}\alpha ,&\alpha \not =1,\\{\frac { 2}{\pi }}\ln |t|,&\alpha =1.\end{cases}}

Lásd még

Végtelenül osztható eloszlás .

Jegyzetek

↑ 1 2 Korolyuk, 1985 , p. 141.

Irodalom

Korolyuk V.S. , Portenko N.I. , Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika kézikönyve. - M. : Nauka, 1985. - 640 p.

Valószínűségi eloszlások
Diszkrét	Bernoulli Binomiális Geometriai hipergeometrikus Logaritmikus Negatív binomiális Poisson Diszkrét egyenruha Multinomiális
Abszolút folyamatos	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenciális Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormális Normál (Gauss) Logisztikai Nakagami Pareto Pearson félkör alakú folyamatos egyenruha Rizs Rayleigh Diák Tracey – Vidoma Halász Khi-négyzet Exponenciális Variancia-gamma Többváltozós normál kapcsolószó