A transzcendentális számok elmélete

A transzcendentális számok elmélete a számelmélet egyik ága , amely transzcendentális számokat vizsgál , vagyis olyan ( valós vagy összetett ) számokat , amelyek nem lehetnek egész együtthatós polinomok gyökei . Például az olyan fontos elemzési állandók , mint az e , transzcendentálisak, de nem azok, mivel a polinomnak van gyöke. $\pi$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ $x^{2}-2.$

Ennek az elméletnek az egyik fő problémája annak kiderítése, hogy egy adott szám transzcendentális-e vagy sem. A transzcendentális számok elméletének módszereit és eredményeit széles körben alkalmazzák a diofantusi egyenletek tanulmányozásában .

Transzcendentális számok

Az algebra alaptétele szerint minden egész együtthatós nullától eltérő polinomnak összetett gyöke van. Más szavakkal, bármely egész együtthatós polinomhoz létezik olyan komplex szám , amelyre a transzcendentális számelmélet túlnyomórészt az inverz kérdést veszi figyelembe: adott komplex szám ; annak meghatározására, hogy van-e olyan egész együtthatójú polinom, hogy Ha bebizonyosodik, hogy nem létezik ilyen polinom, akkor ezáltal a szám transzcendenciája bizonyítást nyer . $P(x)$ $\alpha$ $P(\alpha )=0.$ $\alpha$ $P(x)$ $P(\alpha )=0.$ $\alpha$

Az egész együtthatós polinomok gyökhalmazát algebrai számok halmazának nevezzük . Például minden racionális szám algebrai, mint polinomgyök ; az egész számokból származó tetszőleges fokú gyökök minden lehetséges véges kombinációja szintén az algebrai számokhoz tartozik. Így az összes komplex számot két nem átfedő osztályra osztják - algebrai és transzcendentális. Mint kiderült, bizonyos értelemben sokkal több transzcendentális szám létezik, mint algebrai (lásd alább). ${\displaystyle {m \over n))$ $nx-m;$

Ellentétben az algebrai számok halmazával, amely egy mező , a transzcendentális számok nem alkotnak semmilyen algebrai struktúrát az aritmetikai műveletek tekintetében - a transzcendentális számok összeadása, kivonása, szorzása és osztása lehet transzcendentális szám és algebrai szám is. Van azonban néhány korlátozott mód arra, hogy egy másik transzcendens számból transzcendens számot kapjunk.

Ha t transzcendentális szám, akkor és a transzcendentális szám is. $-t$ $1/t$
Ha a egy algebrai szám, amely nem egyenlő nullával, t pedig transzcendentális, akkor ezek transzcendentálisak. $a\pm t,\ at,\ a/t,\ t/a$
Ha t egy transzcendentális szám és egy természetes szám , akkor a transzcendentális szám is. $n$ $t^{n}$ ${\sqrt[{n}]{t))$

Történelem

Közelítés racionális számokkal: Liouville-től Rothig

A transzcendentális számok fogalma az algebraikkal szemben a XVII. századra nyúlik vissza, amikor Gottfried Leibniz bebizonyította, hogy a szinusz nem algebrai függvény [1] . Ezt a kérdést az 1740-es években Euler [2] vizsgálta részletesebben ; kijelentette [3] , hogy a racionális számok logaritmusának értéke nem algebrai, kivéve azt az esetet, amikor valamely racionális Euler-állítás igaznak bizonyult, de csak a 20. században igazolták. Euler birtokolja magukat a kifejezéseket: algebrai és transzcendentális szám (1775-ös művében) [4] . $\log _{a}{b}$ $a,b$ $b=a^{c}$ $c.$

A transzcendentális számok első konkrét példáit Joseph Liouville jelölte meg az 1840-es években folyamatos törtek segítségével . Később, az 1850-es években megfogalmazta azt a szükséges feltételt , hogy egy szám algebrai legyen; ennek megfelelően, ha ez a feltétel megsérül, akkor a szám nyilvánvalóan transzcendentális [5] . Egy ilyen kritérium segítségével leírta a transzcendentális számok széles osztályát, amelyet " Liouville-számoknak " neveztek. Később megállapították, hogy a Liouville-számok mindenütt sűrű halmazt alkotnak a valós valós tengelyen , amely a kontinuum számosságával és egyben a nulla Lebesgue-mértékkel rendelkezik [6] .

A Liouville-kritérium lényegében azt jelenti, hogy az algebrai számokat nem lehet jól közelíteni (közelíteni) racionális számokkal (lásd Liouville algebrai számközelítési tételét ). Így, ha egy számot jól közelítenek a racionális számok, akkor transzcendentálisnak kell lennie. Liouville „ jól közelített ” fogalmának pontos jelentése a következő: ha egy fokszám algebrai szám , és ε bármely pozitív szám, akkor az egyenlőtlenség $\alpha$ $d\geqslant 2$

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{d+\varepsilon }}}

csak véges számú racionális megoldása lehet, így a transzcendencia bizonyításához meg kell győződni arról, hogy a jelzett egyenlőtlenségnek tetszőleges és végtelen sok megoldása létezik [7] . $p/q.$ $d$ $\varepsilon >0$

A 20. században Axel Thue [8] , Karl Siegel [9] és Klaus Roth [10] munkái lehetővé tették a Liouville-féle egyenlőtlenség ellenőrzésének valamelyest leegyszerűsítését azáltal, hogy a kifejezést először az Ez eredményre cserélték (1955). , amelyet Thue-Siegel-Roth tételként ismertek , ahogy azt hitték, már nem lehetett javítani, mivel bebizonyosodott, hogy a 2-vel való helyettesítés téves állítást ad. Serge Leng azonban javasolta a Roth-féle verzió javítását; különösen azt javasolta, hogy lecserélhetnénk a kisebb kifejezést . $d+\varepsilon$ $d/2+\varepsilon +1,$ $2+\varepsilon .$ $2+\varepsilon$ ${\displaystyle q^{2+\varepsilon ))$ ${\displaystyle q^{2}\ln(q)^{1+\varepsilon ))$

A Thue-Siegel-Roth tétel gyakorlatilag befejezte a Liouville által megkezdett munkát, lehetővé tette a matematikusok számára, hogy bizonyítsák sok szám – például a Champernaun-állandó – transzcendenciáját . Ez a technika azonban nem elég erős az összes transzcendentális szám észleléséhez; különösen nem vonatkozik a számokra és [11] . $e$ $\pi$

Segédfunkciók: Hermite-től Bakerig

Az ilyen számok elemzésére, mint a XIX. században, más módszereket is kidolgoztak. Ismeretes, hogy ez a két konstans az Euler-azonosság alapján kapcsolódik egymáshoz . Az úgynevezett segédfüggvények , amelyeknek sok nulla van a vizsgált pontokon, kényelmes eszközzé váltak az elemzéshez . Itt a sok nulla szó szerint jelenthet nagyszámú nullát, vagy csak egy nullát, de nagy multiplicitással, vagy akár sok nullát, amelyek mindegyike nagy multiplicitással. $e$ $\pi ,$

Charles Hermite 1873-ban a transzcendencia bizonyítására segédfüggvényeket használt, amelyek az egyes természetes számokhoz közelítették a függvényt [12] . Az 1880-as években Hermite eredményeit Ferdinand von Lindemann [13] használta annak bizonyítására, hogy ha nem nulla algebrai szám, akkor transzcendentális. Ez különösen azt jelenti, hogy a szám transzcendens, mivel algebrai szám (egyenlő -1). Ez a felfedezés lezárja az ókor olyan jól ismert problémáját, mint a " körnégyzetesítés ". A számok másik osztálya, amelynek transzcendenciája Lindemann tételéből következik, az algebrai számok logaritmusa [6] . $e,$ $e^{kx}$ $k$ $\alpha$ $e^{\alpha }$ $\pi$ ${\displaystyle e^{i\pi ))$

A témát Karl Weierstrass fejlesztette tovább , aki 1885 -ben publikálta a Lindemann–Weierstrass-tételt [14] . Jelentősen kibővítette a számok osztályát bizonyított transzcendenciával, beleértve a szinusz és koszinusz függvények értékeit az argumentumok szinte minden algebrai értékére [4] .

1900-ban David Hilbert a Második Nemzetközi Matematikus Kongresszuson készített híres jelentésében felsorolta a legfontosabb matematikai problémákat . Ezek közül a hetedikben, az egyik legnehezebbben (saját értékelése szerint) felvetődött a kérdés az olyan alakú számok transzcendenciájáról, ahol az algebrai számok nem nullák és nem egyek, hanem irracionálisan . Az 1930-as években Alexander Gelfond [15] és Theodor Schneider [16] bebizonyította, hogy minden ilyen szám valóban transzcendentális ( Gelfond–Schneider tétel ). A szerzők a bizonyításhoz egy implicit segédfüggvényt használtak, amelynek meglétét a Siegel-lemma garantálja . A Gelfond–Schneider tétel olyan számok transzcendenciáját jelenti, mint a , és a Gelfond-állandó [6] . $a^{b},$ $a,b$ $a$ $b$ $e^{\pi }$ $2^{{{\sqrt {2))))$

A következő fontos eredmény ezen a területen az 1960-as években született, amikor Alan Baker a Gelfond által a logaritmusok feletti lineáris formákkal kapcsolatban felvetett problémával foglalkozott. Korábban Gelfondnak sikerült találnia egy nem triviális alsó korlátot a kifejezésre:

|\beta _{1}\log \alpha _{1}+\beta _{2}\log \alpha _{2}|\,

ahol mind a négy ismeretlen mennyiség algebrai, és nem egyenlő nullával vagy eggyel, hanem irracionális . Gelfondnak nem sikerült hasonló alsó határt találnia három vagy több logaritmus összegére. A Baker-tétel bizonyítása tartalmazta az ilyen korlátok megtalálását és a Gauss-osztályok számának problémájának megoldását . Ez a munka elnyerte Baker 1970-ben a Fields-díjat a diofantusi egyenletek megoldásában való felhasználásáért . ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2))$ ${\displaystyle \beta _{1},\beta _{2))$

Baker tételéből következik, hogy ha az algebrai számok nem egyenlőek nullával vagy eggyel, és olyan algebrai számok, amelyek lineárisan függetlenek a racionális számok mezőjétől , akkor a szám transzcendentális [17] . ${\displaystyle \alpha _{1}\dots \alpha _{n))$ ${\displaystyle \beta _{1}\dots \beta _{n))$ ${\displaystyle 1,\beta _{1}\dots \beta _{n))$ $\alpha _{1}^{\beta _{1}}\alpha _{2}^{\beta _{2}}\cdots \alpha _{n}^{\beta _{n}}$

Egyéb módszerek: Kantor és Silber

1874-ben Georg Cantor halmazelméletét kidolgozva bebizonyította , hogy az algebrai számok egy az egyhez megfeleltethetők a természetes számok halmazával . Vagyis az algebrai számok halmaza megszámlálható , és ekkor a transzcendentális számok halmazának nemcsak végtelennek kell lennie, hanem több mint megszámlálhatónak ( folytonos ) is [18] . Később, 1891-ben Cantor az egyszerűbb és ismertebb diagonális módszert [19] használta ennek bizonyítására . Vannak olyan vélemények, hogy ezek a Cantor-eredmények alkalmatlanok konkrét transzcendentális számok megalkotására [20] , de valójában mindkét fenti dokumentumban található bizonyítások adnak módszereket transzcendentális számok megalkotására [21] . Cantor halmazelméletet használt a transzcendentális számok halmaza teljességének bizonyítására.

A transzcendentális számok elméletének problémamegoldásában az egyik legújabb irányzat a modellelmélet alkalmazása volt . A probléma a mező transzcendenciájának meghatározása

K=\mathbb {Q} (x_{1},\ldots ,x_{n},e^{x_{1)),\ldots ,e^{x_{n)))

olyan komplex számokra , amelyek lineárisan függetlenek a racionális számok mezejétől. Stephen Schanuel azt javasolta , hogy a válasz legalább n , de erre még nincs bizonyíték. 2004-ben azonban Boris Zilber publikált egy tanulmányt, amely modellelméleti módszerekkel olyan struktúrát hoz létre, amely nagyon hasonlít a komplex számokhoz, az összeadás, szorzás és hatványozás műveleteivel. Ráadásul ebben az absztrakt struktúrában Chenyul sejtése igaz [22] . Sajnos még nem biztos, hogy ez a szerkezet valóban megegyezik a megnevezett műveletekkel rendelkező komplex számokkal. $x_{1},\ldots ,x_{n},$

Megközelítések

Fentebb már említettük, hogy az algebrai számok halmaza csak megszámlálható , következésképpen "majdnem minden" szám transzcendentális. A szám transzcendenciája tehát tipikus eset; azonban általában nem könnyű bebizonyítani, hogy egy adott szám transzcendentális. Emiatt a transzcendenciaelmélet gyakran inkább kvantitatív megközelítést részesít előnyben: adott α komplex szám; a kérdés az, hogy mennyire áll közel az algebrai számokhoz? Például, ha kimutatható, hogy egy polinom fokszámának vagy együtthatóinak növekedése nem teheti α-t gyökévé, akkor ennek a számnak transzcendentálisnak kell lennie.

Az ötlet megvalósításához megtalálja az űrlap alsó szegélyét:

|P(\alpha )|>F(A,d),

ahol a jobb oldal valamilyen pozitív függvény a polinom együtthatóinak valamely mértékétől és fokától függően . Az eset megfelel a diofantin közelítések klasszikus problémájának , vagyis a kifejezés alsó határának megtalálásának: $A$ $d;$ $d=1$

|ax+b|

A transzcendenciaelmélet és a diofantin közelítés módszereiben sok a közös: mindkettő a segédfüggvények fogalmát használja.

Általánosítások

A transzcendencia definíciója általánosítható. A számok halmazát algebrailag függetlennek mondjuk egy mező felett , ha nincs olyan együtthatójú nullától eltérő polinom , hogy a racionális számok mezőjére és egy számhalmazra ez a definíció egybeesik a transzcendencia fent megadott definíciójával . Kidolgozták a transzcendentális p-adikus számok elméletét is [6] . ${\displaystyle \alpha _{1}\dots \alpha _{n))$ $K$ $P(x_{1}\dots x_{n})$ $K$ $P(\alpha _{1}\dots \alpha _{n})=0.$ $\alpha$ $\alpha$

Nyitott kérdések

A fent említett Gelfond–Schneider-tétel a transzcendentális számok nagy osztályát nyitotta meg, de ez az osztály csak megszámlálható, és sok fontos konstans esetében még mindig nem tudni, hogy transzcendentálisak-e. Még azt sem mindig tudni, hogy irracionálisak-e. Ezek közül például a és e különböző kombinációi , az Aperi -állandó , az Euler-Mascheroni-állandó [23] . $\pi$

Az elmélet jelenlegi fejlődése túlnyomórészt a kitevőhöz kapcsolódó számokra vonatkozik . Ez azt jelenti, hogy teljesen új módszerekre van szükség. A transzcendenciaelmélet fő problémája annak bizonyítása, hogy egy adott transzcendentális számhalmaz algebrailag független , ami erősebb állítás, mint az, hogy egy halmazban lévő egyes számok transzcendentálisak. Tudjuk, hogy és e transzcendensek, de ez nem jelenti azt, hogy e számok más kombinációi transzcendensek (kivéve a Gelfond állandót , amely, mint már tudjuk, transzcendens). Chenyul sejtése megoldja a problémát, de ez is csak a kitevőhöz kapcsolódó számokra vonatkozik. $\pi$ $\pi +e$ $e^{\pi },$ $\pi +e,$

Jegyzetek

↑ Bourbaki N. A matematika történetének elemei, Springer (1994).
↑ Gelfond, 1952 , p. nyolc.
↑ Euler, L. Introductio in analysin infinitorum (neopr.) . – Lausanne, 1748.
↑ 1 2 Zsukov A. .
↑ J. Liouville . Sur les classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique ni même réductible à des irrationelles algébriques, Comptes Rendus Acad.
↑ 1 2 3 4 Mathematical Encyclopedia, 1985 , p. 426-427.
↑ Gelfond, 1952 , p. 9.
↑ Thue, A. Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen (neopr.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1909. - T. 135 . - S. 284-305 . - doi : 10.1515/crll.1909.135.284 .
↑ Siegel, CL Approximation algebraischer Zahlen (angol) // Mathematische Zeitschrift : folyóirat. - 1921. - 1. évf. 10 , sz. 3-4 . - P. 172-213 . - doi : 10.1007/BF01211608 .
↑ Roth, KF Rational approximations to algebraic numbers (angol) // Mathematika : Journal. - 1955. - 1. évf. 2 , sz. 1 . - P. 1-20 . - doi : 10.1112/S0025579300000644 .
↑ Mahler, K. A π (határozatlan) közelítéséről // Proc. Akad. Wetensch. Ser. A. - 1953. - T. 56 . - S. 30-42 .
↑ Hermite, C. Sur la fonction exponentielle (neopr.) // CR Acad. sci. Párizs . - 1873. - T. 77 .
↑ Lindemann, F. Ueber die Zahl π (határozatlan) // Mathematische Annalen . - 1882. - T. 20 , 2. sz . - S. 213-225 . - doi : 10.1007/BF01446522 .
↑ Weierstrass, K. Zu Hrn. Lindemann Abhandlung: 'Über die Ludolph'sche Zahl' (német) // Sitzungber. Konigl. Preuss. Akad. Wissensch. zu Berlin : bolt. - 1885. - Bd. 2 oldal=1067-1086 .
↑ Archivált másolat (a hivatkozás nem elérhető) . Letöltve: 2017. augusztus 9. Az eredetiből archiválva : 2011. október 17. (határozatlan) Archivált másolat (nem elérhető link) . Letöltve: 2017. augusztus 9. Az eredetiből archiválva : 2011. október 17. (határozatlan) .
↑ Schneider, T. Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendend von Potenzen (német) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : magazin. - 1935. - Bd. 172 . - S. 65-69 . - doi : 10.1515/crll.1935.172.65 .
↑ Baker A. Lineáris formák algebrai számok logaritmusában.
↑ Cantor, G. Ueber eine Eigenschaft des Ingebriffes aller reelen algebraischen Zahlen (német) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : magazin. - 1874. - Bd. 77 . - S. 258-262 . - doi : 10.1515/crll.1874.77.258 .
↑ Cantor, G. Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre (német) // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung: magazin. - 1891. - Bd. 1 . - S. 75-78 . Archiválva : 2021. május 7.
↑ Kac, M.; Stanislaw, U. Matematika és logika (meghatározatlan) . - Fredering A. Praeger, 1968. - 13. o.
↑ Gray, R. Georg Cantor és a transzcendentális számok // Amer . Math. Havi : folyóirat. - 1994. - 1. évf. 101 , sz. 9 . - P. 819-832 . — . Az eredetiből archiválva : 2022. január 21.
↑ Zilber, B. Pszeudoexponenciálás karakterisztikus nulla karakterisztikus nulla algebrai zárt mezőire // Annals of Pure and Applied Logic: Journal. - 2005. - 20. évf. 132. sz . 1 . - 67-95 . o . - doi : 10.1016/j.apal.2004.07.001 .
↑ Hyun Seok, Lee .

Irodalom

Gelfond A. O. Transzcendentális és algebrai számok. - M. : GITTL, 1952. - 224 p.
Transzcendentális szám // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben) . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1985. - T. 5.
Feldman N.I. Hilbert hetedik problémája. - M. : Moszkvai Állami Egyetem Kiadója, 1982. - 312 p.
Khinchin A. Ya. Folytatás törtek . — M .: GIFML, 1960.
Baker, Alan. Transzcendentális számelmélet. - Cambridge University Press , 1975. - ISBN 0-521-20461-5 .
Baker, Alan; Wüstholz, Gisbert. Logaritmikus formák és diofantin geometria, új matematikai monográfiák 9 . - Cambridge University Press , 2007. - ISBN 978-0-521-88268-2 .
Lang, Serge. Bevezetés a transzcendentális számokba. - Addison-Wesley, 1966. - ISBN 0-521-20461-5 .

Linkek

Zsukov A. Algebrai és transzcendentális számok . Letöltve: 2017. augusztus 9. (határozatlan)
Feldman N. Algebrai és transzcendentális számok . Letöltve: 2017. augusztus 9. (határozatlan)
Filaseta Michael. A transzcendentális számok kezdete . (Angol)
Hyun Seok Lee. A transzcendencia elméletről kevés előzményekkel, új eredményekkel és nyitott problémákkal . Letöltve: 2017. augusztus 9. (határozatlan)