Gelfond-Schneider tétel

A Gelfond–Schneider- tétel egy számelméleti tétel, amely a számok nagy osztályának transzcendenciáját állapítja meg , és ezáltal (megerősítően) megoldja Hilbert hetedik feladatát . Ezt 1934-ben egymástól függetlenül bebizonyította Alexander Gelfond szovjet matematikus [1] és Theodor Schneider német matematikus [2] .

Megfogalmazás

Ha - algebrai számok , és nem nulla és nem egy, hanem irracionális , akkor bármely érték transzcendentális szám . $a,b$ $a$ $b$ $a^{b}$

A logaritmusok egyenértékű megfogalmazásai (a logaritmus alapját tetszőlegesen választják ki) [3] :

Ha - algebrai számok , amelyek nem egyenlők nullával vagy eggyel, akkor - racionális vagy transzcendentális számok . $a,b$ $\log(b)/\log(a)$

Ha lineárisan függetlenek a racionális számok terén , akkor lineárisan függetlenek az algebrai számok terén is . $\log(a),\log(b)$

Az utolsó megfogalmazás általánosítását lásd a Transzcendentális számok elmélete című cikkben .

Az értékek nemcsak valós , hanem komplex számok is lehetnek ; mivel a komplex fokozat többértékű, ezért a megfogalmazásban különösen hangsúlyos: tetszőleges érték . $a,b$
Ha eltávolítjuk az algebrai számok követelményét, akkor a tétel hibás lesz. Példa: $a,b$

{\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2} }\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2.

A példából a tételt figyelembe véve az is nyilvánvaló, hogy transzcendentális szám.

{{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}

A tétel magában foglalja néhány fontos matematikai állandó túllépését .

A fentebb már említett Gelfond-Schneider állandó és négyzetgyöke : $2^{{{\sqrt {2))))$ ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}.$
Gelfond állandó , és $e^{\pi }=\left(e^{i\pi }\right)^{-i}=(-1)^{-i}=23.14069263\ldots$ $i^{i}=\left(e^{i\pi /2}\right)^{i}=e^{-\pi /2}=0,207879576\ldots .$

↑ Gelfond A. O. Sur le septième problème de Hilbert // Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR. VII sorozat. Matematikai és Természettudományi Tanszék. - M. , 1934. - Szám. 4 . - S. 623-634 . Az eredetiből archiválva : 2018. augusztus 9.
↑ Schneider, Theodor . Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen, Teil 1,2, Journal für Reine und Angewandte Mathematik, 172. kötet, 1934, pp. 65-69, 70-74.
↑ Feldman .

Gelfond A. O. Transzcendentális és algebrai számok. - M. : GITTL, 1952. - 224 p.
Transzcendentális szám // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben) . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1985. - T. 5.
Feldman N.I. Hilbert hetedik problémája. - M. : Moszkvai Állami Egyetem Kiadója, 1982. - 312 p.
Baker, Alan. Transzcendentális számelmélet. - Cambridge University Press , 1975. - ISBN 0-521-20461-5 .
Lang, Serge. Bevezetés a transzcendentális számokba. - Addison-Wesley, 1966. - ISBN 0-521-20461-5 .

Zsukov A. Algebrai és transzcendentális számok . Letöltve: 2017. augusztus 9. (határozatlan)
Feldman N. Algebrai és transzcendentális számok . Letöltve: 2017. augusztus 9. (határozatlan)
A Gelfond–Schneider tétel bizonyítása
Hyun Seok Lee. A transzcendencia elméletről kevés előzményekkel, új eredményekkel és nyitott problémákkal . Letöltve: 2017. augusztus 9. (határozatlan)
Waldschmidt, Michel (2001). Gel'fond-Schneider módszer // Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer , ISBN 978-1-55608-010-4 .
Weisstein, Eric W. Gelfond-Schneider tétel (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyen .