Pitagorasz tétel

Pitagorasz tétel

Valaki után elnevezve	Pythagoras
Törvényt vagy tételt leíró képlet	$c^{2}=a^{2}+b^{2}$
Megnevezés a képletben	$c$ , és $a$ $b$
Az elem vagy utasítás leírja	derékszögű háromszög
Leírva a linkben	geogebra.org/m/ZF… ( angol)
Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon

A Pitagorasz-tétel az euklideszi geometria egyik alaptétele, amely egy derékszögű háromszög oldalai közötti kapcsolatot állapítja meg : a lábak hosszának négyzetösszege megegyezik a hipotenusz hosszának négyzetével .

Az arány ilyen vagy olyan formában állítólag ismert volt a különböző ősi civilizációk számára már jóval korszakunk előtt; az első geometriai bizonyítékot Pythagorasnak tulajdonítják . Az állítás 47. állításként jelenik meg az Euklidész elemei című könyvében .

Geometriai tényként is kifejezhető, hogy a hipotenuszon épített négyzet területe megegyezik a lábakra épített négyzetek területeinek összegével. fordított állítás is igaz : derékszögű háromszög az a háromszög, amelyben két oldal hosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével.

Ennek a tételnek számos általánosítása van - tetszőleges háromszögekre , nagyobb méretű terekben lévő ábrákra. A nem euklideszi geometriákban a tétel nem érvényes .

Történelem

Moritz Cantor matematikatörténész szerint az ókori Egyiptomban I. Amenemhet király idejében ( Kr. e. 23. század körül ) ismertek egy derékszögű háromszöget, amelynek oldalai 3, 4, 5 - a harpedonapták használták - " kötélfeszítők" [1] . Egy ősi babiloni szövegben, amely Hammurapi idejére nyúlik vissza ( Kr. e. XX. század ), megadja a hipotenúza hozzávetőleges számítását [2] . Van der Waerden szerint nagyon valószínű, hogy ez az arány általánosságban már a Kr.e. 18. század körül ismert volt Babilonban. e.

Az ókori kínai könyvben " Zsou bi suan jing ", amely az ie 5-3. századra datált. azaz egy 3-as, 4-es és 5-ös oldalú háromszög adott, ráadásul a kép a [3] tétel arányának grafikus igazolásaként is értelmezhető . A „ Mathematics in Nine Books ” (Kr. e. X-II. század) kínai problémagyűjteményben külön könyvet szentelnek a tétel alkalmazásának.

Általánosan elfogadott, hogy az összefüggés bizonyítékát az ókori görög filozófus , Püthagorasz (Kr. e. 570-490) adta. Proklosztól (i.sz. 412-485) van bizonyíték arra , hogy Pythagoras algebrai módszerekkel kereste Pythagoras hármasait [4] , de Pythagoras halála után öt évszázadon keresztül nem esik szó közvetlenül a szerzőség bizonyítékáról. Amikor azonban Plutarkhosz és Cicero a Pitagorasz-tételről írnak, a tartalomból az következik, hogy Pitagorasz szerzősége jól ismert és kétségtelen [5] [6] . Van egy Diogenész Laertész által közölt legenda , amely szerint Pythagoras állítólag egy óriási lakomával ünnepelte tételének felfedezését, száz bikát mészárolva le örömében [7] .

Körülbelül Kr.e. 400. azaz Proklosz szerint Platón módszert adott a Pitagorasz-hármasok megtalálására, az algebra és a geometria kombinálására. Kr.e. 300 körül. e. Eukleidész "Elemeiben" megjelent a Pitagorasz-tétel legrégebbi axiomatikus bizonyítéka [8] .

Formulációk

A fő megfogalmazás algebrai műveleteket tartalmaz - egy derékszögű háromszögben, melynek szárainak hossza egyenlő és , a hipotenusz hossza pedig , az összefüggés $a$ $b$ $c$

a^{2}+b^{2}=c^{2}.

Egyenértékű geometriai megfogalmazás is lehetséges, az ábraterület fogalmához folyamodva : egy derékszögű háromszögben a hipotenuzusra épített négyzet területe megegyezik a lábakra épített négyzetek területeinek összegével. Ebben a formában a tétel az Euklidész elemeiben van megfogalmazva.

Az inverz Pitagorasz-tétel egy olyan háromszög derékszögűségére vonatkozó állítás, amelynek oldalhosszai az aránnyal függenek össze . Ennek következtében bármely pozitív számok hármasára , és , Úgy, hogy , Létezik egy derékszögű háromszög lábakkal és és hipotenusz . $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a$ $b$ $c$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a$ $b$ $c$

Bizonyíték

A Pitagorasz-tételnek [9] legalább 400 bizonyítását rögzítették a tudományos irodalomban , amit egyrészt a geometria alapvető értékével, másrészt az eredmény elemi jellegével magyaráznak. A bizonyítások fő irányai: háromszögelemek arányainak algebrai használata (például a népszerű hasonlósági módszer ), területmódszer , léteznek különféle egzotikus bizonyítások is (például differenciálegyenletek segítségével).

Hasonló háromszögeken keresztül

Az algebrai megfogalmazás egyik legnépszerűbb bizonyítása az oktatási irodalomban a háromszög-hasonlósági technikát alkalmazó bizonyítás , amely szinte közvetlenül az axiómákból származik, és nem tartalmazza az ábra területének fogalmát . [10] Ebben egy olyan háromszögnél , amelynek a csúcsa derékszögű, és amelynek oldalai a csúcsokkal ellentétesek , a magasságot megrajzolják , és ( a két szög egyenlőségének hasonlósági kritériuma szerint) hasonlósági viszonyok keletkeznek: és , amelyből a kapcsolatok közvetlenül következnek $\háromszög ABC$ $C$ $ABC$ $ABC$ $CH$ $\triangle ABC\sim \triangle ACH$ $\triangle ABC\sim \triangle CBH$

{\frac {a}{c}}={\frac {|HB|}{a}},\quad {\frac {b}{c}}={\frac {|AH|}{b }}.

Az arányok szélső tagjainak szorzásakor az egyenlőségeket levezetjük

a^{2}=c\cdot |HB|,\quad b^{2}=c\cdot |AH|,

komponensenkénti hozzáadása a kívánt eredményt adja:

a^{2}+b^{2}=c\cdot {\big (}|HB|+|AH|{\big )}=c^{2}\quad \Leftrightarrow \quad a^{ 2}+b^{2}=c^{2}.

Bizonyítások területmódszerrel

A bizonyítékok nagy része magában foglalja a terület fogalmát. Sokuk látszólagos egyszerűsége ellenére az ilyen bizonyítások az ábrák területének tulajdonságait használják fel, amelyek bizonyítása bonyolultabb, mint magának a Pitagorasz-tételnek a bizonyítása.

Egyenértékűség bizonyítása

Az ekvikomplementációs bizonyítás négy másolatot használ egy derékszögű háromszögből, lábakkal és hipotenusszal , amelyek úgy vannak elrendezve, hogy egy négyzetet alkossanak oldalaival és egy belső négyszöget, amelynek oldalai hosszúak . Ebben a konfigurációban a belső négyszög négyzet , mivel a derékszögű két hegyesszög összege 90°, az egyenes szöge pedig 180°. A külső négyzet területe egyenlő , egy területű belső négyzetből és négy derékszögű háromszögből áll, amelyek mindegyikének területe , ennek eredményeként az algebrai transzformáció során fennálló összefüggésből következik a tétel állítása . $a,b$ $c$ $a+b$ $c$ ${\megjelenítési stílus (a+b)^{2}}$ $c^{2}$ ${\frac {ab}{2))$ $(a+b)^{2}=4\cdot {\frac {ab}{2}}+c^{2}$

Euklidész bizonyítása

Euklidesz klasszikus bizonyítása azt a célt szolgálja, hogy megállapítsa a téglalapok közötti területek egyenlőségét a befogó feletti négyzet és a lábak feletti négyzetek derékszögű magasságának felmetszésével. [tizenegy]

A bizonyításhoz használt konstrukció a következő: egy derékszögű háromszögnél , amelynek derékszöge , négyzetek a lábak felett és és egy négyzet az hipotenuzus fölött , egy magasságot szerkesztünk , és egy sugarat, amely azt folytatja , elosztva a négyzetet a hipotenuzus felett. két téglalapba és . A bizonyítás célja a téglalap és a láb feletti négyzet területeinek egyenlőségének megállapítása ; a második téglalap, amely a befogó feletti négyzet, és a másik láb feletti téglalap területeinek egyenlősége hasonló módon történik. $\háromszög ABC$ $C$ $ACED$ $BCFG$ $ABIK$ $CH$ $s$ $AHJK$ $BHJI$ $AHJK$ $AC$

A és a téglalap területének egyenlőségét háromszögek és háromszögek egybevágóságán keresztül állapítják meg , amelyek mindegyikének területe egyenlő a téglalapok területének felével , illetve a következő tulajdonsággal összefüggésben: a terület a háromszög területének fele egyenlő a téglalap területének felével, ha az ábráknak közös oldaluk van, és a háromszögnek a közös oldalhoz mért magassága a téglalap másik oldala. A háromszögek egybevágósága a két oldal (négyzetek oldalai) és a köztük lévő szög (amely derékszögből és egy -nál lévő szögből áll ) egyenlőségéből következik. $AHJK$ $ACED$ $\triangle ACK$ $\triangle ABD$ $AHJK$ $ACED$ $A$

Így a bizonyítás megállapítja, hogy a téglalapokból és téglalapokból álló hipotenusz feletti négyzet területe megegyezik a lábak feletti négyzetek területének összegével. $AHJK$ $BHJI$

Leonardo da Vinci bizonyítéka

A területek módszeréhez kapcsolódik egy Leonardo da Vincinek tulajdonított bizonyíték is . Franz Lemmermeyer német matematikus szerint ezt a bizonyítást valójában Johann Tobias Mayer találta ki [12] . Legyen egy derékszögű háromszög derékszögű és négyzetek , és adott (lásd az ábrát). Ebben a bizonyításban az utóbbinak kifelé mutató oldalán egy háromszöget szerkesztenek, amely egybevágó , ráadásul tükröződik mind a befogóhoz, mind a hozzá való magassághoz képest (vagyis és ). Az egyenes két egyenlő részre osztja a befogóra épített négyzetet, mivel a és a háromszögek felépítésükben egyenlőek. A bizonyítás megállapítja a négyszögek és a négyszögek egybevágóságát , amelyek mindegyikének területe egyrészt egyenlő a lábakon lévő négyzetek területének felének és az eredeti háromszög területének összegével, a másrészt a hipotenuszon lévő négyzet területének felére, plusz az eredeti háromszög területére. Összességében a lábak feletti négyzetek területének fele egyenlő a hipotenuzus feletti négyzet területének felével, ami megegyezik a Pitagorasz-tétel geometriai megfogalmazásával. $\háromszög ABC$ $C$ $ACED$ $BCFG$ $ABHJ$ $HJ$ $\háromszög ABC$ $JI=BC$ $HI=AC$ $CI$ $\háromszög ABC$ $\triangle JHI$ $CAJI$ $DABG$

Hasonló háromszögek területein keresztül

A következő bizonyítás azon a tényen alapul, hogy a hasonló háromszögek területei a megfelelő oldalak négyzeteihez kapcsolódnak. [13]

Legyen egy derékszögű háromszög, a merőleges a derékszög csúcsából a befogóra esett. A háromszögek hasonlóak , mert van derékszögük és közös szögük . Eszközök $ABC$ $HIRDETÉS$ $ABC$ $DBA$ $B$

{\frac {{\text{area}}~DBA}{{\text{area}}~ABC}}={\frac {AB^{2}}{BC^{2}}}.

Hasonlóképpen azt is megkapjuk

{\frac {{\text{area}}~DAC}({\text{area}}~ABC}}={\frac {AC^{2}}{BC^{2}}}.

Mivel a és a háromszögek együtt alkotnak , a és területeinek összege egyenlő a területével . Innen $DBA$ $DAC$ $\háromszög ABC$ $\triangle DBA$ $\triangle DAC$ $\háromszög ABC$

{\frac {AB^{2}+AC^{2}}{BC^{2}}}=1

vagy $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}.$

Bizonyítás infinitezimális módszerrel

Számos olyan bizonyíték létezik, amely a differenciálegyenletek technikáját alkalmazza . Különösen Hardynak tulajdonítanak egy olyan bizonyítást, amely a lábak és a hipotenúza végtelenül kicsi növekményét használja . Például a láb növelése, amikor a láb állandó , a hypotenus növekedését eredményezi , így $a$ $b$ $c$ $igen$ $b$ $dc$

{\frac {da}{dc}}={\frac {c}{a}}.

A változók szétválasztásának módszerével egy differenciálegyenletet vezetünk le belőlük , melynek integrálása adja a relációt . A kezdeti feltételeket alkalmazva az állandót definiálja , ami a tétel érvényesülését eredményezi. $c\,dc=a\,da$ $c^{2}=a^{2}+\mathrm {const}$ $a=0,\ c=b$ $b^{2}$

A végső képletben a másodfokú függés a háromszög oldalai és a növekmény közötti lineáris arányosságból adódik, míg az összeg a különböző lábak növekményéből származó független hozzájárulásokból adódik.

Változatok és általánosítások

Hasonló geometriai formák három oldalon

A Pitagorasz-tétel fontos geometriai általánosítását Eukleidész adta a Principiában , az oldalakon lévő négyzetek területeitől a tetszőleges hasonló geometriai alakzatok területei felé haladva [14] : a lábakra épített ilyen alakok területeinek összege egyenlő legyen egy hozzájuk hasonló, a hipotenuszra épülő figura területével.

Ennek az általánosításnak az a fő gondolata, hogy egy ilyen geometriai alakzat területe arányos bármely lineáris méretének négyzetével, és különösen bármely oldal hosszának négyzetével. Ezért hasonló, , és területű, hosszúságú és és hipotenuszú lábakra épülő ábrákra a következő összefüggés áll fenn : $A$ $B$ $C$ $a$ $b$ $c$

{\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}\,\ Jobbra \,A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}C

Mivel a Pitagorasz-tétel szerint akkor . $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $A+B=C$

Ezen túlmenően, ha a Pitagorasz-tétel alkalmazása nélkül is be lehet bizonyítani, hogy egy derékszögű háromszög oldalain három hasonló geometriai alakzat területére teljesül az összefüggés , akkor Euklidész általánosításának bizonyításának fordítottját felhasználva, levezetheti a Pitagorasz-tétel bizonyítását. Például, ha a hipotenuzuson a kezdő háromszöggel egybevágó derékszögű háromszöget készítünk területtel , és a lábakon - két hasonló derékszögű háromszöget, amelyek területei és , akkor kiderül, hogy a lábakon lévő háromszögek egy Ha a kezdeti háromszöget elosztjuk a magasságával, azaz két kisebb háromszög terület összege egyenlő a harmadik területtel, így és hasonló alakokra alkalmazva az arányt, levezetjük a Pitagorasz-tételt. $A+B=C$ $C$ $A$ $B$ $A+B=C$

Koszinusz tétel

A Pitagorasz-tétel az általánosabb koszinusztétel speciális esete, amely egy tetszőleges háromszög oldalainak hosszát viszonyítja [15] :

{\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2))

hol van az oldalak közötti szög és . Ha a szög 90°, akkor , és a képlet a szokásos Pitagorasz-tételre egyszerűsödik. $\theta$ $a$ $b$ $\cos \theta =0$

Önkényes háromszög

Van a Pitagorasz-tétel általánosítása tetszőleges háromszögre, amely kizárólag az oldalak hosszának arányán működik. Úgy tartják, hogy először Thabit ibn Qurra szabiai csillagász állapította meg [16] . Ebben egy tetszőleges oldalakkal rendelkező háromszögbe olyan egyenlő szárú háromszög van beírva, amelynek az oldalára van egy alap , egy csúcsa egybeesik az eredeti háromszög csúcsával, szemben az oldallal , és az alaphoz szögek egyenlőek a háromszöggel ellentétes szöggel. oldalán . Ennek eredményeként két háromszög keletkezik, hasonlóan az eredetihez: az első oldalakkal , a beírt egyenlő szárú háromszög oldalsó oldala a tőle legtávolabbi, és - az oldal részei ; a második oldalról szimmetrikus rá - az oldal megfelelő része . Ennek eredményeként az összefüggés [17] [18] $ABC$ $c$ $c$ $\theta$ $c$ $a$ $r$ $c$ $b$ $s$ $c$

a^{2}+b^{2}=c(r+s),

-nél a Pitagorasz-tételig fajulva . Az arány a kialakult háromszögek hasonlóságának következménye: $\theta =\pi /2$

{\frac {c}{a}}={\frac {a}{r}},\quad {\frac {c}{b}}={\frac {b}{s}}\quad \Rightarrow \quad cr+cs=a^{2}+b^{2}.

Pappus területtétele

Szintén figyelembe vehető a Pappus területtétel , amely lehetővé teszi, hogy egy tetszőleges háromszög és a két oldalán tetszőleges paralelogrammák a harmadik oldalon paralelogrammát alkossanak úgy, hogy annak területe egyenlő két adott paralelogramma területének összegével. a Pitagorasz-tétel [19] általánosításaként : abban az esetben, ha az eredeti háromszög derékszögű, és a négyzetek paralelogrammák vannak a lábakon, akkor a hipotenuszra épített négyzet kielégíti a Pappus terület feltételeit. tétel.

Többdimenziós általánosítások

A háromdimenziós euklideszi tér Pitagorasz-tételének általánosítása a de Gua-tétel : ha egy tetraéder egyik csúcsához három derékszög konvergál , akkor az ezzel a csúcsponttal szemközti lap területének négyzete egyenlő az a másik három lap területének négyzetei. Ez a következtetés „ n - dimenziós Pitagorasz-tételként” is általánosítható nagyobb dimenziójú euklideszi terekre [20] – egy merőleges dimenziós szimplex lapjaira merőleges lapokkal és a velük szemben lévő területtel az összefüggés teljesül. : $n$ $S_{1},\dots ,S_{n}$ $S_{0}$

{\displaystyle S_{0}^{2}=\sum _{i=1}^{n}S_{i}^{2))

Egy másik többdimenziós általánosítás egy téglalap alakú doboz átlójának hosszának négyzetének megtalálásának problémájából adódik : ennek kiszámításához kétszer kell alkalmazni a Pitagorasz-tételt, ennek eredményeként ez lesz a hosszúságok négyzeteinek összege. a doboz három szomszédos oldaláról. Általánosságban elmondható, hogy egy átlós- dimenziós téglatest hossza szomszédos oldalakkal és hosszúságokkal : $n$ $a_{1},\pontok ,a_{n}$

{\displaystyle d^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2))

A háromdimenziós esethez hasonlóan az eredmény a Pitagorasz-tétel egymás utáni alkalmazásának következménye a merőleges síkban lévő derékszögű háromszögekre.

A Pitagorasz-tétel végtelen dimenziós térre vonatkozó általánosítása a Parseval-egyenlőség [21] .

Nem euklideszi geometria

A Pitagorasz-tétel az euklideszi geometria axiómáiból származik, és nem érvényes a nem euklideszi geometriára [22] – a Pitagorasz -tétel teljesülése ekvivalens Euklidész párhuzamossági posztulátumával [23] [24] .

A nem euklideszi geometriában a derékszögű háromszög oldalai közötti kapcsolat szükségszerűen a Pitagorasz-tételtől eltérő formában lesz. Például a gömbgeometriában egy derékszögű háromszög mindhárom oldalának, amelyek az egységgömb oktánsát határolódtak , hossza , ami ellentmond a Pitagorasz-tételnek. $\pi/2$

A Pitagorasz-tétel ugyanakkor érvényes a hiperbolikus és elliptikus geometriában, ha a háromszög téglalap alakú követelményét felváltjuk azzal a feltétellel, hogy a háromszög két szögének összege egyenlő legyen a harmadikkal [25] .

Gömbgeometria

Minden olyan derékszögű háromszögnél, amely egy sugarú gömbön van (például ha a háromszög szöge derékszögű háromszög), amelynek oldalai vannak, az oldalak aránya a következő formájú : [26] $R$ $\gamma$ $ABC$

\cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\cdot \cos {\frac {b}{R}}.

Ez az egyenlőség levezethető a gömb-koszinusz tétel speciális eseteként , amely minden gömbháromszögre érvényes:

\cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\cdot \cos {\frac {b}{R}}+\sin {\frac {a }{R}}\cdot \sin {\frac {b}{R}}\cdot \cos \gamma .

A Taylor -sort a koszinuszfüggvényben ( ) alkalmazva kimutatható, hogy ha a sugár a végtelenbe , az argumentumok pedig nullára hajlanak , akkor a derékszögű háromszög oldalai közötti gömbarány megközelíti a Pitagorasz-tételt. $\cos x\approx 1-{\dfrac {x^{2}}{2}}$ $R$ ${\dfrac {a}{R))$ ${\dfrac {b}{R))$ ${\dfrac {c}{R))$

Lobacsevszkij geometriája

Lobacsevszkij geometriájában a derékszöggel ellentétes oldalú derékszögű háromszögnél az oldalak aránya a következő lesz [ 27 ] : $ABC$ $c$

\operatorname {ch} c=\operatorname {ch} a\cdot \operatorname {ch} b

hol van a hiperbolikus koszinusz [28] . Ez a képlet a hiperbolikus koszinusz tétel speciális esete, amely minden háromszögre érvényes [29] : $\operátornév {ch}$

\operátornév {ch} c=\operátornév {ch} a\cdot \operátornév {ch} b-\operátornév {sh} a\cdot \operátornév {sh} b\cdot \cos \gamma

ahol az a szög, amelynek csúcsa az oldallal ellentétes . $\gamma$ $c$

A hiperbolikus koszinusz ( ) Taylor-sorával kimutatható, hogy ha a hiperbolikus háromszög csökken (vagyis amikor , és nullára hajlik), akkor a derékszögű háromszög hiperbolikus relációi megközelítik a klasszikus Pitagorasz-tétel összefüggését. $\operatorname {ch} x\approx 1+{\dfrac {x^{2}}{2}}$ $a$ $b$ $c$

Alkalmazás

Távolság kétdimenziós téglalap alakú rendszerekben

A Pitagorasz-tétel legfontosabb alkalmazása egy téglalap alakú koordinátarendszer két pontja közötti távolság meghatározása : a és koordinátákkal rendelkező pontok távolsága egyenlő $s$ $(a,b)$ ${\megjelenítési stílus (c,d)}$

s={\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2))}.

Komplex számok esetén a Pitagorasz-tétel természetes képletet ad egy komplex szám modulusának meghatározására - mivel ez egyenlő a sugárvektor hosszával a komplex síkon a pontig : $z=x+yi$ $(x, y)$

|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

A komplex számok közötti távolságot a Pitagorasz-tétel [30] formájában is ábrázoljuk : $z_{1}=x_{1}+y_{1}i$ $z_{2}=x_{2}+y_{2}i$

|z_{1}-z_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2} }}.

A távolság két pont között a Lobacsevszkij-síkban

$ds^{2}=dx^{2}+\operátornév {ch} ^{2}\left({\frac {y}{R}}\right)dy^{2}$ .

Itt R a Lobacsevszkij-sík görbületi sugara , ch a hiperbolikus koszinusz .

Euklideszi metrika

Euklideszi metrika - távolságfüggvény euklideszi terekben , amelyet a Pitagorasz-tétel határozza meg , közvetlen alkalmazása kétdimenziós esetben, és szekvenciális a többdimenziós esetben; a -dimenziós tér pontjaira és a köztük lévő távolságra a következőképpen kerül meghatározásra: $n$ $p=(p_{1},\dots ,p_{n})$ $q=(q_{1},\dots ,q_{n})$ $d(p,q)$

d(p,q)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(p_{i}-q_{i})^{2))))

Számelmélet

A Pitagorasz-hármas három természetes szám halmaza , amelyek egy derékszögű háromszög oldalainak hosszai lehetnek, azaz olyan természetes számok, amelyek kielégítik a diofantinuszi egyenletet . A Pitagorasz-hármasok fontos szerepet játszanak a számelméletben , a hatékony megtalálásuk problémája sokféle alkotást szült az ókortól napjainkig. A Fermat-féle utolsó tétel megfogalmazása hasonló ahhoz a problémához, hogy 2-nél nagyobb fok esetén Pitagorasz-hármasokat találjunk. $(x,\;y,\;z)$ $x^{2}+y^{2}=z^{2}$

Az egyetlen Pitagorasz-hármas, amely három egymást követő számból áll, a 3, 4 és 5: [31] . $3^{2}+4^{2}=5^{2}$

A populáris kultúrában

A tétel bizonyításának egyik képe az orosz iskolai folklórban elterjedt „Pitagorasz nadrág minden oldalról egyenlő” kifejezéshez kapcsolódik, amely az 1915 -ös Ivanov Pavel című komikus operának köszönhetően szerzett különös hírnevet [32] [ 33] .

Jegyzetek

↑ Kantor a Berlini Múzeum 6619. számú papiruszára hivatkozik
↑ Történelem téma: Pythagoras tétele a babiloni matematikában . Letöltve: 2009. június 1. Az eredetiből archiválva : 2011. június 6.. (határozatlan)
↑ Tudomány, műszaki és katonai gondolkodás, egészségügy és oktatás // Kína spirituális kultúrája: enciklopédia 5 kötetben / Titarenko M. L. - M . : Az Orosz Tudományos Akadémia keleti irodalma, 2009. - V. 5. - P. 939-941. — 1055 p. — ISBN 9785020184299 . Archiválva : 2016. március 4. a Wayback Machine -nál
↑ Euclid, 1956 , p. 351.
↑ Heath, 1921 , I. kötet, p. 144.
↑ Kurt Von Fritz . The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum (angol) // The Annals of Mathematics, Second Series : Journal. - Annals of Mathematics, 1945. - április ( 46. köt. , 2. sz.). - P. 242-264 . — . : "Ez a képlet személyesen Püthagorasz tollához tartozik... de bátran tekinthetjük, hogy a pitagorasz matematika legősibb korszakához tartozik."
↑ Georg Hegel. Filozófiatörténeti előadások . — Liter, 2016-09-08. - S. 282. - 1762 p. — ISBN 9785457981690 .
↑ Asger Aaboe. Epizódok a matematika korai történetéből (angol) . - Mathematical Association of America , 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131 . Archiválva : 2016. augusztus 9. a Wayback Machine -nél . - "...csak Eukleidésznél találjuk meg az általános tételek logikai sorozatát megfelelő bizonyítással."
↑ Elisha Scott Loomis. Pythagorean Proposition
↑ Lásd például a Kiszeljov szerinti geometriát. Archiválva : 2021. március 1., a Wayback Machine , 196. §.
↑ Lásd például a Kiszeljov szerinti geometriát. Archiválva : 2021. március 1. a Wayback Machine -nél , 259. §.
↑ Franz Lemmermeyer. Leonardo da Vinci A Pitagorasz-tétel bizonyítása (angol) . The College Mathematics Journal 47(5):361 (2016. november). Letöltve: 2021. október 22. Az eredetiből archiválva : 2022. június 7.
↑ Lásd például a Kiszeljov szerinti geometriát. Archiválva : 2021. március 1., a Wayback Machine , 263. §.
↑ Euklidész elemei : VI. könyv, VI 31. tétel: "A derékszögű háromszögekben a derékszöget bezáró oldalon lévő ábra megegyezik a derékszöget tartalmazó oldalakon lévő hasonló és hasonlóan leírt ábrákkal".
↑ Lawrence S. Leff. Idézett munka . - Barron's Educational Series, 2005. - P. 326. - ISBN 0764128922 .
↑ Howard Whitley Eves. § 4.8: …a Pitagorasz-tétel általánosítása // Nagy pillanatok a matematikában (1650 előtt ) . - Mathematical Association of America, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108 . Archiválva : 2016. augusztus 9. a Wayback Machine -nél
↑ Aydin Sayili . Thâbit ibn Qurra általánosítása a Pitagorasz-tételről (angol) // Isis : folyóirat. - 1960. - március ( 51. évf. , 1. sz.). - P. 35-37 . - doi : 10.1086/348837 . — .
↑ Judith D. Sally, Paul Sally. 2.10(II) gyakorlat // Idézett munka . - 2007. - S. 62. - ISBN 0821844032 . Archiválva : 2016. augusztus 9. a Wayback Machine -nél
↑ George Jennings. 1.32. ábra: Az általánosított Pitagorasz-tétel // Modern geometria alkalmazásokkal: 150 ábrával . — 3. — Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X .
↑ Rajendra Bhatia. mátrix elemzés . — Springer , 1997. - S. 21. - ISBN 0387948465 .
↑ Shilov G. E. Matematikai elemzés. Különleges tanfolyam. - M .: Fizmatlit, 1961. - C. 194
↑ Stephen W. Hawking. Idézett munka . - 2005. - S. 4. - ISBN 0762419229 . Archiválva : 2016. augusztus 17. a Wayback Machine -nál
↑ Eric W. Weisstein. CRC tömör matematikai enciklopédiája . — 2. - 2003. - S. 2147. - ISBN 1584883472 . Archiválva : 2016. augusztus 17. a Wayback Machine -nél . - "A párhuzamos posztulátum egyenértékű az Egyenlőség posztulátummal , Playfair-axiómával , Proklosz-axiómával , a Háromszög-posztulátummal és a Pitagorasz-tétellel ."
↑ Alexander R. Pruss. A megfelelő indok elve : újraértékelés . - Cambridge University Press , 2006. - P. 11. - ISBN 052185959X . Archiválva : 2016. augusztus 9. a Wayback Machine -nél . – Belefoglalhatnánk… a párhuzamos posztulátumot, és levezethetnénk a Pitagorasz-tételt. Vagy ehelyett elkészíthetjük a Pitagorasz-tételt a többi axióma közé, és levezethetjük a párhuzamos posztulátumot.
↑ Victor Pambuccian . Maria Teresa Calapso hiperbolikus Pitagorasz-tétele (angol) // The Mathematical Intelligencer : Journal. - 2010. - december ( 32. köt. ). — 2. o . - doi : 10.1007/s00283-010-9169-0 .
↑ Barrett O'Neill. 4. gyakorlat // Elemi differenciálgeometria . — 2. - Akadémiai Kiadó , 2006. - P. 441. - ISBN 0120887355 .
↑ Saul Stahl. 8.3. Tétel // A Poincaré-féle félsík: kapu a modern geometriához (angol) . — Jones & Bartlett tanulás, 1993. - P. 122. - ISBN 086720298X .
↑ Mikisha A. M., Orlov V. B. Magyarázó matematikai szótár. Alapfogalmak. - M. Orosz nyelv, 1989
↑ Jane Gilman. Hiperbolikus háromszögek // A PSL kétgenerátoros diszkrét alcsoportjai (2, R ) . - American Mathematical Society Bookstore, 1995. - ISBN 0821803611 .
↑ Alfred Gray , Elsa Abbena, Simon Salamon. Görbék és felületek modern differenciálgeometriája a Mathematicával . — 3. - CRC Press , 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487 .
↑ Siegel E. Ez az egyetlen egyenlet, 10² + 11² + 12² = 13² + 14², Pythagorast egy teljesen új szintre emeli . Forbes (2020. március 6.). Letöltve: 2020. április 28. Az eredetiből archiválva : 2020. április 4.
↑ Legendás Opera: Szöveg és zene . LiveJournal (2016. augusztus 4.). Letöltve: 2020. január 9. Az eredetiből archiválva : 2020. június 9. (határozatlan)
↑ Modern idézetek szótára. Liter, március 20. 2019. 9. o .

Irodalom

Van der Waerden B. L. Az ébredés tudománya. Az ókori Egyiptom, Babilon és Görögország matematikája. - M., 1959.
Glazer G.I. A matematika története az iskolában. - M., 1982.
Yelensky Sh. Pitagorasz nyomában. — M.: Detgiz , 1961. — 486 p. : ill., térképek.
Claudy Alsina. A számok szektája. Pitagorasz tétel. - M. : De Agostini, 2014. - 152 p. — (A matematika világa: 45 kötetben, 5. kötet). - ISBN 978-5-9774-0633-8 .
Litzman V. A Pitagorasz-tétel. - M., 1960.
- A Pythagorean-tételről szóló oldal nagyszámú bizonyítással, az anyagot V. Litzman könyvéből vettük, nagyszámú rajzot külön grafikus fájlként mutatunk be.
Skopets Z. A. Geometriai miniatúrák. - M., 1990
Eukleidész. Az elemek (3 köt.) / Fordította: Johan Ludvig Heiberg Thomas L. Heath bevezetőjével és kommentárjával. - Reprint of 1908. - Dover, 1956. - Vol. 1 (I. és II. könyv). — ISBN 0-486-60088-2 .
Heath S. A History of Greek Mathematics (2 köt.). – A Dover Publications, Inc. kiadása. (1981). - Clarendon Press, Oxford, 1921. - ISBN 0-486-24073-8 .

Linkek

A Pitagorasz-tétel története
Glazer G. , az Orosz Oktatási Akadémia akadémikusa, Moszkva. A Pitagorasz-tételről és annak bizonyításáról
Klip a Pitagorasz-tételnek szentelt " Mathematical Etudes " sorozatból ( számítógépre , iPhone -ra , iPadre )
A Pitagorasz-tétel és a Pitagorasz-hármasok. Archivált : 2016. március 3., a Wayback Machine Egy fejezet D. V. Anosov „A matematika és valami belőle” című könyvéből
A Pitagorasz-tétel a WolframMathWorld-ben
Cut-The-Knot, szakasz a Pitagorasz-tételről, mintegy 70 bizonyíték és kiterjedt kiegészítő információ (eng.)

Szótárak és enciklopédiák

Bibliográfiai katalógusokban
BNE : XX4809534 BNF : 11946942j GND : 4176546-1 J9U : 987007551078005171 LCCN : sh85109374 NDL : 00934581

Háromszög
A háromszögek típusai	Négyszögletes Egyenlő szárú Egyenlő oldalú Egyenlőszárú téglalap alakú
Csodálatos vonalak egy háromszögben	Középső Magasság Felezővonal Középmerőleges középső vonal Beírt és körülírt körök Simson egyenes Euler vonal Simediana Cheviana
A háromszög figyelemre méltó pontjai	Orthocenter Centroid Incenter Brocard pont Vecten pont Pont Gergonne Lemoine pont Miquel pont Nagel pont Napóleon rámutat Torricelli pontjai Kilenc pontos kör középpontja Spieker Center Háromszögközpontok enciklopédiája
Alaptételek	háromszög egyenlőtlenség A háromszögek hasonlóságának jelei Háromszögek megoldása Háromszög külső szög tétel Szögösszeg háromszög tétele Pitagorasz tétel Koszinusz tétel Szinusztétel A vetítési tétel Heron képlete
További tételek	Van Obel tétele Menelaosz tétele Reuschle (Terkema) tétel Stewart tétele Érintőtétel Kotangens tétel Ceva tétele Mollweide képletek
Általánosítások	gömb alakú háromszög hiperbolikus háromszög Simplex

Trigonometria
Tábornok	Trigonometria áttekintése Sztori Használat Funkciók Fordított Ritkán használt Általánosított trigonometria
Könyvtár	Identitások Pontos állandók táblázatok egységkör
Törvények és tételek	Szinusztétel Pitagorasz tétel Koszinusz tétel Érintőtétel Kotangens tétel Háromszögek megoldása
Matematikai elemzés	Trigonometrikus helyettesítés Integrálok ( inverz függvények ) Származékok