Teljes többszörös

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. december 21-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A teljes többszörös olyan pozitív egész szám , amely osztható az egyes prímosztóinak négyzetével .

Egyenértékű definíció: olyan szám, amely , ahol és pozitív egész számok ( természetes számok ) ábrázolhatók. ${\displaystyle a^{2}b^{3))$ $a$ $b$

A teljes többszöröseket Erdős Pál és Székeres György , a Solomon Golomb által adott név szisztematikusan tanulmányozza .

1 és 1000 közötti teljes többszörösek listája [1] :

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 25, 25, 21 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 648, 675, 676, 80, 86,48 , 968, 972, 1000.

Két definíció egyenértékűsége

Ha , akkor a dekompozíció bármely prímszáma kétszer, a belépő elem pedig legalább háromszor jelenik meg; hogy a dekompozíció bármely prímszáma legalább a négyzetben szerepeljen . ${\displaystyle m=a^{2}b^{3))$ $a$ $b$ $m$

Másrészt legyen egy teljes többszörös szám, dekompozícióval $m$

m=\prod p_{i}^{\alpha _{i))

ahol mindegyik . Meghatározzuk , hogy egyenlő hárommal, ha páratlan, és nullával ellenkező esetben, és definiáljuk . Ekkor minden érték nem negatív páros egész szám, és minden érték nulla vagy három, tehát: $\alpha _{i}\geq 2$ ${\displaystyle \gamma _{i))$ $\alpha_i$ ${\displaystyle \beta _{i}=\alpha _{i}-\gamma _{i))$ $\beta _{i}$ ${\displaystyle \gamma _{i))$

m=(\prod p_{i}^{\beta _{i)))(\prod p_{i}^{\gamma _{i)))=(\prod p_{i}^{\ béta _{i}/2})^{2}(\prod p_{i}^{\gamma _{i}/3})^{3}

négyzet és kocka szorzataként adja meg a kívánt ábrázolást . $m$

Más szóval, egy adott bővítésnél a számokat a bővítésben szereplő páratlan hatványú prímtényezők szorzataként vehetjük fel (ha nincs, akkor 1). Mivel egy teljes többszörös, ezért minden páratlan fokozatú faktorizációban szereplő prímtényezőnek legalább 3 a foka, tehát egész szám. Most minden prímtényezőnek páros foka van, így a tökéletes négyzet is, jelöljük így ; és kiderül . Például: $m$ $b$ $m$ ${\displaystyle m/b^{3))$ ${\displaystyle m/b^{3))$ ${\displaystyle m/b^{3))$ $a^2$ ${\displaystyle m=a^{2}b^{3))$

{\displaystyle m=21600=2^{5}\times 3^{3}\times 5^{2))

b=2\times 3=6

a={\sqrt {\frac {m}{b^{3))))={\sqrt {2^{2}\times 5^{2))}=10

m=a^{2}b^{3}=10^{2}\times 6^{3}

Matematikai tulajdonságok

A teljes többszörösek reciprokainak összege konvergál:

\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)))\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\ zeta (6)))={\frac {315}{2\pi ^{4))}\zeta (3)

ahol az minden prímszámot megkerül , a Riemann-zéta-függvény és az Apéry-konstans (Golomb, 1970). $p$ $\zeta (s)$ $\zeta (3)$

Legyen jelölje a teljes többszörös számok számát az intervallumban . Ezután arányos a négyzetgyökével . Pontosabban: $k(x)$ $[1,x]$ $k(x)$ $x$

cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)= 2,173\cdots

[2] .

A két legkisebb egymást követő teljes többszörös a 8 és a 9. Mivel a Pell-egyenletnek végtelen számú megoldása van, az egymást követő teljes többszörösek párja is végtelen számú [2] ; Általánosságban elmondható, hogy egymás utáni teljes többszöröseket találhatunk, ha a Pell-egyenlethez hasonló megoldást találunk bármely kockára . Az így kapott pár teljes többszörösének azonban négyzetnek kell lennie. Meleg szerint Erdős azt kérdezte, hogy van-e végtelenül sok olyan teljes többszörös számpár, amely hasonló a -hoz , amelyben a párban lévő számok egyike sem négyzet. Jaroszlav Vroblevszkij megmutatta, hogy éppen ellenkezőleg, végtelenül sok ilyen pár van, ami azt mutatja, hogy végtelenül sok megoldása van. $x^{2}-8y^{2}=1$ $x^{2}-ny^{2}=\pm 1$ $n$ $(23^{3},2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 13^{2})$ $3^{3}c^{2}+1=7^{3}d^{2}$

Az Erdős-Mollin-Walsh sejtés szerint nincs három egymást követő teljes többszörös szám.

Teljes többszörösek összegei és különbségei

Bármely páratlan szám ábrázolható két egymást követő négyzet különbségeként:

(k+1)^{2}=k^{2}+2k+1\Jobbra (k+1)^{2}-k^{2}=2k+1

Ugyanígy bármely szám, amely négy többszöröse, ábrázolható két, kettővel eltérő szám különbségeként: . Kettővel, de néggyel nem osztható szám azonban nem ábrázolható négyzetkülönbségként, vagyis felmerül a kérdés: mely páros számok, amelyek nem oszthatók 4-gyel, ábrázolhatók két teljes többszörös szám különbségeként. $(k+2)^{2}-k^{2}=4k+4$

Golomb számos ilyen ábrázolást adott:

2 = 3 3 - 5 2 10 = 13 3 - 3 7 18 \u003d 19 2 - 7 3 \u003d 3 2 (3 3 - 5 2 ).

Először egy olyan sejtés született, hogy a 6-os szám nem ábrázolható ebben a formában, és Golomb azt javasolta, hogy végtelenül sok olyan egész szám van, amelyet nem lehet két teljes többszörös szám különbségeként ábrázolni. Narkiwicz azonban felfedezte, hogy a 6-os szám ábrázolásának végtelen sokféle módja van, mint pl

6 = 5 4 7 3 − 463 2 ,

és McDaniel [3] kimutatta, hogy bármely számnak végtelen számú ilyen reprezentációja van.

Erdős úgy sejtette, hogy bármely elég nagy egész szám legfeljebb három teljes többszörös összege. A sejtést Roger Heath-Brown [4] igazolta .

Általánosítás

$k$ -teljes számok - olyan számok, amelyek felbontásában a prímszámok legalább fokszámmal fordulnak elő . $k$

${\displaystyle (2^{k+1}-1)^{k))$ , , -teljes többszörösei az aritmetikai progresszióban . ${\displaystyle 2^{k}(2^{k+1}-1)^{k))$ $(2^{k+1}-1)^{k+1}$ $k$

Ezen túlmenően, ha a számtani progresszióban -teljes többszörösei a különbséggel , akkor: ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{s))$ $k$ $d$

(a_{1}+d)^{k},a_{2}(a_{s}+d)^{k},\dots ,a_{s}(a_{s}+d)^{ k},a_{s}(a_{s}+d)^{k+1}

-teljes számok az aritmetikai sorozatban . $k$

A teljes többszörös számokhoz a következőket kínáljuk: $k$

a^{k}(a^{l}+\pontok +1)^{k}+a^{k+1}(a^{l}+\pontok +1)+\pontok +a^ {k+l}(a^{l}+\pontok +1)=a^{k}(a^{l}+\pontok +1)^{k+1}

Ez az egyenlőség végtelen sok hosszhalmazt ad – olyan számok teljes többszöröseit, amelyek összegei is – teljes többszörösei. Nitaj [5] megmutatta, hogy az egyenletnek végtelen sok megoldása van a 3-as másodlagos teljes számok között . Cohn [6] egy végtelen megoldáscsaládot alkotott az egyenletre a 3-teljes többszörösek között: a hármas $l+1$ $k$ $k$ $x+y=z$ $x+y=z$

X=9712247684771506604963490444281

Y=32295800804958334401937923416351

Z=27474621855216870941749052236511

egyenlet megoldása . Egy közös osztó hozzáadásával és eltávolításával egy másik megoldás is konstruálható . ${\displaystyle 32X^{3}+49Y^{3}=81Z^{3))$ $X'=X(49Y^{3}+81Z^{3}),Y'=-Y(32X^{3}+81Z^{3}),Z'=Z(32X^{3} -49Y^{3})$

Jegyzetek

↑ OEIS sorozat A001694 _
↑ Golomb 12 , 1970 .
↑ McDaniel, 1982 .
↑ Heath-Brown, 1988 .
↑ Nitaj, 1995 .
↑ Cohn, 1998 .

Irodalom

Cohn, JHE Erdős sejtése 3 erős számokról // Math. Összeg. - 1998. - T. 67 , sz. 221 . - S. 439-440 . - doi : 10.1090/S0025-5718-98-00881-3 .
Erdős Pal, Szekeres György. Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem // Acta Litt. sci. Szeged. - 1934. - 7. sz . - S. 95-102 .
Solomon W. Golomb. Erőteljes számok // American Mathematical Monthly . - 1970. - T. 77 , 8. sz . - S. 848-852 . - doi : 10.2307/2317020 . — .
Richard K Guy. B16. szakasz // Megoldatlan problémák a számelméletben, 3. kiadás. - Springer-Verlag, 2004. - ISBN 0-387-20860-7 .
Roger Heath Brown. Terner másodfokú alakok és három négyzetes szám összege. - Boston: Birkhäuser, 1988. - S. 137-163. — (Seminaire de Théorie des Nombres, Párizs, 1986-7).
Roger Heath Brown. Három négyzetes szám összege. — Colloq. Math. szoc. Bolyai János, sz. 51, 1990. - S. 163-171. — (Számelmélet, I (Budapest, 1987)).
Wayne L. McDaniel. Minden egész szám ábrázolása erős számok különbségeként // Fibonacci Quarterly . - 1982. - 20. sz . - S. 85-87 .
Abderrahman Nitaj. Erdős sejtéséről 3 erős számokról // Bull. London Math. szoc. . - 1995. - V. 4 , 27. sz . - S. 317-318 . - doi : 10.1112/blms/27.4.317 .

Linkek

Weisstein , Eric W. Erőteljes szám a Wolfram MathWorldnél .
Az abc sejtés

Számok oszthatósági jellemzők szerint
Általános információ	Egész számok faktorizálása Oszthatóság egységes osztó Osztófüggvény prímszám Az aritmetika alaptétele Számtani szám
Faktorizációs formák	prímszám Összetett szám Semiprime téglalap alakú szám Szfenikus szám Négyzet nélküli szám Teljes többszörös Tökéletes diploma Achilles-szám sima szám Normál szám durva szám szokatlan szám
Korlátozott osztókkal	tökéletes szám Kissé elégtelen számok Kissé redundáns számok Többszörösen tökéletes szám Féltökéletes számok hipertökéletes szám szuper tökéletes szám egységes prím féltökéletes szám pararitmiás szám Erdős-Nicolas szám
Számok sok osztóval	Túlzott számok Primitív többletszámok Erősen redundáns számok Szuper redundáns számok Rendkívül felesleges számok szuperkompozit szám Nagyon szuperkompozit szám furcsa szám
Alikvot szekvenciákkal kapcsolatos	szent szám baráti számok nyilvános számok Kvázi baráti számok
Egyéb	Nincs elég szám haver számok szublimált számok Ércszámok szerény szám Egyenlő számjegyek extravagáns szám