Határozott integrál

A határozott integrál a matematikai elemzés egyik alapfogalma , az integrálok egyik fajtája . Határozott integrál egy olyan szám, amely megegyezik egy speciális alakú összegek határértékével ( integrál összegek ) . A geometriailag meghatározott integrál a „ görbe vonalú trapéz ” területét fejezi ki, amelyet a függvény grafikonja határol . [1] A funkcionális analízis szempontjából határozott integrál egy olyan additív monoton függvény , amely párok halmazán van definiálva, amelynek első komponense egy integrálható függvény , ill . funkcionális , a második pedig a funkció hozzárendelési halmazában lévő terület (funkcionális) [2] .

Definíció

Legyen a függvény definiálva a szakaszon . Bontsuk részekre több tetszőleges ponttal: . Ezután azt mondjuk, hogy a szegmens particionálva lett , majd mindegyik -tól -ig kiválasztunk egy tetszőleges pontot . $f(x)$ $[a;b]$ $[a;b]$ $a=x_{{0}}<x_{{1}}<x_{{2}}<\ldots <x_{{n}}=b$ $R$ $[a;b].$ $én$ $0$ $n-1$ $\xi _{{i}}\in [x_{{i}};x_{{i+1}}]$

Egy függvény meghatározott integrálja egy szegmensenaz integrálösszegek határa, mivel a partíció rangja nullára hajlik, ha a partíciótólés, azaz $f(x)$ $[a;b]$ $\lambda _{{R}}\rightarrow 0$ $R$ $\xi _{{i}}$

\int \limits _{{a}}^{{b}}f(x)dx=\lim \limits _{{\Delta x\rightarrow 0}}\sum \limits _{{i=0}}^ {{n-1}}f(\xi _{{i}})\Delta x_{{i}}

Ha a megadott határérték létezik, akkor a függvényt Riemann -on integrálhatónak mondjuk . $f(x)$ $[a;b]$

Jelölés

$a$ - alsó határ.
$b$ - felső határ.
$f(x)$ az integrandus.
${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i))$ a részszakasz hossza.
$\lambda _{{R}}=\up {\Delta x_{i}}$ a partíció rangja, a részszakaszok hosszának maximuma.

Geometriai érzék

Egy nem-negatív függvény határozott integrálja numerikusan egyenlő az ábra x tengely, egyenes vonalak és a függvénygráf által határolt területével . [egy] $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ $x=a$ $x=b$ $f(x)$

Tulajdonságok

Ha a és integrálhatóak egy függvény intervallumára, akkor lineáris kombinációjuk is integrálható egy függvényre, és $f$ $g$ $[a,b]$ $\alpha f+\beta g$ $[a,b]$ $\int \limits _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)dx=\alpha \int \limits _{a}^{b}f(x)dx+\beta \ int \limits _{a}^{b}g(x)dx.$
Ha egy függvény integrálható egy intervallumra , akkor $f$ $[a,b]$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)dx.$
Ha egy függvény integrálható egy pont szomszédságában , akkor van [3] $f$ $a$ $\int \limits _{a}^{a}f(x)dx=0.$
Ha egy függvény Riemann által integrálható -on , akkor korlátos . $f(x)$ $[a;b]$

Számítási példák

Az alábbiakban példákat mutatunk be határozott integrálok Newton-Leibniz képlet segítségével történő kiszámítására .

$\int \limits _{8}^{9}x^{2}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}{\Big |}_{8}^{9 }={\frac {729}{3}}-{\frac {512}{3}}={\frac {217}{3}}=72{,}(3)\körülbelül 72{,}3$
$\int \limits _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}=\ln x{\Big |}_{1}^{b}=\ln b$
$\int \limits _{1}^{4}{\frac {2dx}{x}}=2\ln x{\Big |}_{1}^{4}\approx 2{,}8$

Jegyzetek

↑ 1 2 Határozott integrál // Nagy Szovjet Enciklopédia : [30 kötetben] / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M . : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.
↑ Nagy Orosz Enciklopédia : [35 kötetben] / ch. szerk. Yu. S. Osipov . - M . : Nagy orosz enciklopédia, 2004-2017.
↑ Zorich V. A. Matematikai elemzés. I. rész Szerk. 10., rev. . — M. : MTsNMO, 2019. — S. 321-323. — 564 p. - ISBN 978-5-4439-4029-8 , 978-5-4439-4030-4. Archiválva : 2021. május 16. a Wayback Machine -nél

Szótárak és enciklopédiák	Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	NKC : ph126953

Integrálszámítás

Fő

A Riemann-integrál általánosításai

Integrált
transzformációk

Numerikus
integráció

mértékelmélet

Kapcsolódó témák

Integrálok listái