Körülírt sokszög

A körülírt sokszög , más néven érintő sokszög  , egy konvex sokszög , amely beírt kört tartalmaz . Ez egy olyan kör, amelyhez képest a körülírt sokszög minden oldala érintő . Egy körülírt sokszög kettős sokszöge olyan sokszög, amelynek minden csúcsán áthalad egy körülírt kör.

Minden háromszög körül van írva valamilyen körre, csakúgy, mint minden szabályos sokszög tetszőleges számú oldallal. A körülírt sokszögek jól tanulmányozott csoportja a körülírt négyszögek, amelyek rombuszokat és deltoidokat tartalmaznak .

Leírások

Egy konvex sokszögnek akkor és csak akkor van beírt köre, ha szögeinek minden belső szögfelezője egyidejű (egy pontban metszi), és ez a közös metszéspont a beírt kör középpontja [1] .

Egy n egymást követő oldallal körülírt sokszög akkor és csak akkor létezik, ha az egyenletrendszer

pozitív valós számokban van megoldása [2] . Ha létezik ilyen megoldás, akkor a sokszög érintőhosszai (a csúcstól az oldal érintőpontjáig terjedő hosszok).

Egyediség és nem egyediség

Ha az oldalak száma n páratlan, akkor a fenti kritériumot kielégítő oldalhosszak bármely adott halmazához csak egy körülírt sokszög létezik. De ha n páros, akkor végtelen sok van belőlük [3] . Például egy négyszög esetében, amikor minden oldal egyenlő, akkor tetszőleges hegyesszögű rombuszunk lesz, és ezeket a rombuszokat egy kör körül írjuk le .

Beírt kör sugara

Ha a körülírt sokszög oldalainak hossza , akkor a beírt kör sugara [4] .

ahol K  a sokszög területe és s  a fél kerülete . (Mivel minden háromszögnek van beírt köre, ez a képlet minden háromszögre vonatkozik.)

Egyéb tulajdonságok

• Egy páratlan számú oldallal körülírt sokszög esetén minden oldal akkor és csak akkor egyenlő, ha a szögek egyenlőek (a sokszög szabályos). Egy páros számú oldallal körülírt sokszög minden oldala akkor és csak akkor egyenlő, ha a váltakozó szögek egyenlőek.
• A páros oldalszámú körülírt sokszögben a páratlan oldalak hosszának összege megegyezik a páros oldalak hosszának összegével [2] .
• A körülírt sokszög területe nagyobb, mint bármely más, azonos kerületű és belső szögekkel rendelkező sokszög ugyanabban a sorozatban [5] [6] .
• Bármely körülírt sokszög baricentruma , határpontjainak baricentruma és a beírt kör középpontja kollineáris , a sokszög baricentruma pedig a másik két jelzett középpont között van, és kétszer olyan messze van a beírt kör középpontjától, mint a határ baricentrumából származik [7] .

A körülírt háromszög

Minden háromszögnek van beírt köre. A háromszöget a vizsgált háromszög érintőleges háromszögének nevezzük , ha a kör érintő háromszögének minden érintője egyben a vizsgált háromszög csúcsa is.

Leírt négyszög

A beírt hatszög

• Az ABCDEF körülírt hatszögben az AD , BE és CF főátlók egyidejűek Brianchon tétele szerint .

Jegyzetek

1. ↑ Byer, Lazebnik, Smeltzer, 2010 , p. 77.
2. ↑ 1 2 Djukić, Janković, Matić, Petrović, 2006 , p. 561.
3. ↑ Hess, 2014 , p. 389.
4. ↑ Alsina, Nelsen, 2011 , p. 125.
5. ↑ Apostol, Mnatsakanian, 2004 , p. 862.
6. ↑ Apostol, 2005 , p. 946.
7. ↑ Apostol, Mnatsakanian, 2004 , p. 858-9.

Irodalom

• Albrecht Hess. Tangenciális négyszögek középpontjait tartalmazó körön  // Forum Geometricorum. - 2014. - T. 14 . – S. 389–396 .
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. A matematika ikonjai. Húsz kulcsképből álló felfedezés. - Mathematical Association of America, 2011. - V. 45. - (Dolciani Mathematical Expositions).
• Michael De Villiers. Egyenlőszögű ciklikus és egyenlő oldalú körülírt sokszögek // Matematikai Közlöny . - 2011. - március ( 95. szám ).
• Owen Byer, Felix Lazebnik, Deirdre Smeltzer. Módszerek az euklideszi geometriához. - Amerikai Matematikai Szövetség, 2010. - ISBN 9780883857632 .
• Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović. Az IMO Compendium. A nemzetközi matematikai olimpiákhoz javasolt feladatok gyűjteménye: 1959-2009. - Springer, 2006. - ISBN 978-1-4419-9853-8 .
• Tom M. Apostol, Mamikon A. Mnatsakanian. Körök körülíró ábrák  // American Mathematical Monthly. - 2004. - december ( 111. kötet ). – S. 853–863 . - doi : 10.2307/4145094 .
• Tom Apostol. =erratum // American Mathematical Monthly. - 2005. - December ( 112. évf. , 10. szám ). - doi : 10.1080/00029890.2005.11920274 .