Határozatlan integrál

Egy függvény határozatlan integrálja egy adott függvény összes antideriváltjának halmaza [1] . $f(x)$

Ha a függvény definiált és folytonos az intervallumon , és annak antideriváltja, azaz -re , akkor $f(x)$ $(a,b)$ $F(x)$ $F'(x)=f(x)$ $a<x<b$

\int f(x)dx=F(x)+C,

a<x<b

ahol C tetszőleges állandó .

A határozatlan integrál főbb tulajdonságait az alábbiakban mutatjuk be.

d\left(\int f(x)dx\right)=f(x)dx

\int d(F(x))=F(x)+C

\int a\cdot f(x)dx=a\cdot \int f(x)dx,a\neq 0

\int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx

Ha , akkor és , ahol egy tetszőleges függvény, amelynek folytonos deriváltja van

\int f(x)dx=F(x)+C

\int f(u)du=F(u)+C

u=\varphi (x)

Összegzés a differenciáljel alatt

A differenciáljel alá történő összegzéskor a következő tulajdonságokat kell használni:

du=d(u+C)

du={1 \over a}d(au)

f'(u)\cdot du=d(f(u))

Az integráció alapvető módszerei

1. Új érv bevezetésének módja. Ha egy

\int g(x)dx=G(x)+C,

akkor

\int g(u)du=G(u)+C,

ahol egy folyamatosan differenciálható függvény. $u=\varphi (x)$

2. Dekompozíciós módszer. Ha egy

g(x)=g_{1}(x)+g_{2}(x),

akkor

\int g(x)dx=\int g_{1}(x)dx+\int g_{2}(x)dx.

3. Helyettesítési módszer. Ha folyamatos, akkor beállítás $g(x)$

x=\varphi (t),

ahol folytonos a származékával együtt , megkapjuk $\varphi (t)$ $\varphi '(t)$

\int g(x)dx=\int g(\varphi (t))\varphi '(t)dt.

4. Alkatrészenkénti integrálás módja . Ha és van néhány differenciálható függvénye , akkor $u$ $v$ $x$

\int udv=uv-\int vdu.

Az alapvető határozatlan integrálok táblázata

\int 0\cdot dx=C;

\int 1\cdot dx=x+C;

\int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C

(n\neq -1);

\int {\frac {1}{x}}dx=\ln \mid x\mid +C;

\int e^{x}dx=e^{x}+C;

\int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C,

(a>0,a\neq 1);

\int \cos x\,dx=\sin x+C;

\int \sin x\,dx=-\cos x+C;

\int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\mathrm {tg} \,x+C;

\int {\frac {dx}{\sin ^{2}x}}=-\mathrm {ctg} \,x+C;

\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2))))=\arcsin x+C_{1}=-\arccos x+C_{2}\quad (C_{2 }={\frac {\pi }{2}}+C_{1});

\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\mathrm {arctg} \,x+C;

\int \mathrm {ch} \,xdx=\mathrm {sh} \,x+C;

\int \mathrm {sh} \,xdx=\mathrm {ch} \,x+C;

A bal oldalon minden egyenlőségben van egy tetszőleges (de határozott) antiderivatív függvény a megfelelő integrandushoz, a jobb oldalon - egy specifikus antiderivatív, amelyhez hozzáadunk egy állandót úgy , hogy a függvények közötti egyenlőség teljesüljön. $C$

A primitív függvények ezekben a képletekben definiáltak és folytonosak azokon az intervallumokon, amelyeken a megfelelő integrandusok definiáltak és folytonosak. Ez a minta nem véletlen: ahogy fentebb megjegyeztük, minden intervallumon folytonos függvénynek van egy folyamatos antideriváltája.

Lásd még

antiderivatív
Határozott integrál
Az elemzés fő tétele
Integrált jel
Integrálszámítás
Numerikus integráció
Integrációs módszerek
Az elemi függvények integráljainak listája
Integrálok táblázata

Jegyzetek

↑ Nagy Orosz Enciklopédia : [35 kötetben] / ch. szerk. Yu. S. Osipov . - M . : Nagy orosz enciklopédia, 2004-2017.

Irodalom

Nikolsky SM 9. fejezet. Riemann határozott integrál // Matematikai analízis tanfolyama. - 1990. - T. 1.
Iljin V. A., Poznyak, E. G. 6. fejezet: Határozatlan integrál // A matematikai elemzés alapjai. - 1998. - V. 1. - (Felsőfokú matematika és matematikai fizika tantárgy).

Demidovich B.P. Tanszék 3. Határozatlan integrál // Matematikai elemzési feladatok és gyakorlatok gyűjteménye. - 1990. - (Felsőfokú matematika és matematikai fizika tantárgy).

Linkek

Weisstein, Eric W. Integral (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Wolfram Integrator – integrálok online számítása a Mathematica segítségével
Online Integrals Calculator archiválva : 2010. január 6. a Wayback Machine -nél
Online integrált számológép részletes, lépésről lépésre orosz nyelvű megoldással Archiválva : 2014. április 29. a Wayback Machine -nél
Integral - cikk a Great Soviet Encyclopedia- ból .

Szótárak és enciklopédiák	Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	NKC : ph123268

Integrálszámítás

Fő

A Riemann-integrál általánosításai

Integrált
transzformációk

Numerikus
integráció

mértékelmélet

Kapcsolódó témák

Integrálok listái