Kovariáns származéka

A kovariáns derivált a sokaságok tenzormezőire vonatkozó derivált fogalmának általánosítása . A kovariáns derivált fogalma szorosan összefügg az affin kapcsolat fogalmával .

A tenzormező kovariáns deriváltját az érintővektor irányában szokták jelölni . $T$ ${{\mathbf v}}$ $\nabla _{{{\mathbf v}}}T$

Motiváció

A kovariáns derivált fogalma lehetővé teszi, hogy definiáljuk a tenzormezők differenciálódását valamely sokaság érintővektora irányában. Az irányított deriválthoz hasonlóan a kovariáns derivált is a következőket veszi fel argumentumként: (1) egy bizonyos ponton definiált vektort és (2) egy szomszédságban definiált vektormezőt . Az eredmény egy vektor , amely szintén a -ban van definiálva . A fő különbség az irányított deriválthoz képest, hogy nem függhet a koordinátarendszer megválasztásától . ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} ))$ $\mathbf {u}$ $P$ $\mathbf{v}$ $P$ $\nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }\left(P\right)$ $P$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} ))$

Bármely vektor ábrázolható számok halmazaként, ami a bázis megválasztásától függ . Egy vektor mint geometriai objektum nem változik a bázis változásával, míg koordinátaábrázolásának komponensei a bázistranszformációtól függő kovariáns transzformáció szerint változnak. A kovariáns deriváltnak ugyanannak a kovariáns transzformációnak kell engedelmeskednie.

Az euklideszi tér esetében a vektormező deriváltját gyakran két közeli pontban meghatározott két vektor közötti különbség határaként határozzák meg. Ebben az esetben az egyik vektor párhuzamos fordítással a másik vektor elejére mozgatható, majd kivonható. Így a kovariáns derivált legegyszerűbb példája a komponensenkénti differenciálás ortonormális koordinátarendszerben .

Általános esetben figyelembe kell venni a bázisvektorok változását a párhuzamos fordítás során . Példa: egy kétdimenziós euklideszi tér polárkoordinátáival írt kovariáns deriváltja további kifejezéseket tartalmaz, amelyek magának a koordinátarendszernek a „forgását” írják le a párhuzamos fordítás során. Más esetekben a kovariáns derivált képlet tartalmazhat olyan kifejezéseket, amelyek megfelelnek a tömörítésnek, nyújtásnak, torziónak, átlapolásnak és egyéb olyan transzformációknak, amelyeknek egy tetszőleges görbe vonalú koordinátarendszer ki van téve.

Példaként vegyünk egy , az euklideszi síkon meghatározott görbét. Poláris koordinátákban egy görbe poláris szögben és sugárban fejezhető ki . Egy tetszőleges időpillanatban a sugárvektor egy párban ábrázolható , ahol és a poláris koordináta-rendszert érintő egységvektorok, amelyek alapot képeznek a vektor radiális és érintőleges komponensekre bontására. A paraméter megváltoztatásakor egy új bázis keletkezik, ami nem más, mint a forgatásnak alávetett régi bázis. Ezt a transzformációt az alapvektorok, más néven Christoffel-szimbólumok kovariáns deriváltjaként fejezzük ki . $\gamma (t)$ $\gamma (t)=(r(t),\theta (t))$ $t$ $({\mathbf {e} }_{r},{\mathbf {e} }_{\theta })$ ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{r))$ ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{\theta ))$ $t$

A görbe vonalú térben, amely például a Föld felszíne, nincs egyértelmű párhuzamos fordítás definiálva . Ehelyett egy vektor párhuzamos transzlációját határozzuk meg egyik pontból a másikba, ami a pálya megválasztásától függ. Valójában képzeljünk el egy vektort , amely egy pontban van meghatározva (amely az egyenlítőn fekszik), és az északi pólus felé irányul. Párhuzamos fordítással először az Egyenlítő mentén mozgatjuk a vektort irányváltoztatás nélkül, majd az egyik meridián mentén az északi pólusig emeljük, a másik meridián mentén pedig visszaengedjük az egyenlítőig. Nyilvánvaló, hogy egy vektor ilyen elmozdulása egy zárt pályán egy gömbön megváltoztatja a tájolását. Hasonló jelenséget a földgömb felszínének görbülete okoz, és az euklideszi térben nem figyelhető meg. A sokaságon akkor keletkezik, amikor egy vektor bármely (akár végtelenül kicsi) zárt körvonal mentén mozog, amely legalább két különböző irányú mozgást tartalmaz. Ebben az esetben egy vektor végtelen kicsi növekményének határa a sokaság görbületének mértéke. ${\displaystyle {\mathbf {e} ))$ $K$ ${\displaystyle {\mathbf {e} ))$

Jegyzetek

A kovariáns derivált definíciója nem használja a metrika fogalmát. Sőt, a térmetrika bármely megválasztásához létezik egy egyedi torziómentes kovariáns származék, amelyet Levi-Civita kapcsolatnak neveznek . A feltételből határozzuk meg: a metrikus tenzor kovariáns deriváltja egyenlő nullával.

A derivált tulajdonságai azt jelentik, hogy egy pont tetszőlegesen kis környezetétől ugyanúgy függ, mint például egy skaláris függvény deriváltja egy görbe mentén egy adott pontban , ennek a pontnak egy végtelenül kicsi szomszédságától függ. $\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ $P$ $P$

A pont szomszédságában található információ felhasználható a vektor párhuzamos transzlációjának meghatározására. Hasonlóképpen, a görbület , a torzió és a geodetikus fogalmak csak a kovariáns derivált fogalmával és annak általánosításaival, például az útösszeköttetéssel vezethetők be . $P$

Formális definíció

Skaláris függvények

Skalárfüggvény esetén a kovariáns deriváltja megegyezik a függvény közönséges deriváltjával a vektormező iránya tekintetében . $f$ ${\nabla }_{{{\mathbf {v}}}}f$ $\mathbf{v}$

Vektor mezők

A vektormező irányú kovariáns deriváltja a vektormező irányában , amelyet jelöl , a következő tulajdonságokkal határozható meg bármely vektorra , vektormezőre és skalárfüggvényre és : $\nabla$ ${{\mathbf u}}$ ${{\mathbf v}}$ $\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ $\mathbf{v}$ $\mathbf {u}$ $\mathbf {w}$ $f$ $g$

$\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ lineáris képest , azaz ${{\mathbf v}}$ $\nabla _{{f{{\mathbf v}}+g{{\mathbf w}}}}{{\mathbf u}}=f\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u }} ))+g\nabla _{{{\mathbf w}}}{{\mathbf u}}$
$\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ additív -hoz képest , azaz ${{\mathbf u}}$ $\nabla _{{{\mathbf v}}}({{\mathbf u}}+{{\mathbf w}})=\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}+ \nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf w}}$
$\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ betartja a termékszabályt , azaz ahol fentebb meghatároztuk. $\nabla _{{{\mathbf v}}}f{{\mathbf u}}=f\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}+{{\mathbf u}}\ nabla _{{{\mathbf v}}}f$ $\nabla _{{{\mathbf v}}}f$

Megjegyzés

Vegye figyelembe, hogy egy pont csak a pont értékétől és a közelében lévő értékektől függ . Konkrétan a kovariáns derivált operátor nem tenzor (annak ellenére, hogy értéke minden tenzormezőn tenzor). $\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ $p$ $\mathbf{v}$ $p$ $\mathbf {u}$

Kovektor mezők

Adott egy kovektormező (azaz egyszer kovariáns tenzorok, más néven 1-formák ) , a kovariáns deriváltja a következő azonossággal definiálható, amely minden vektormezőre teljesül : $\alpha$ $\nabla _{{{\mathbf v}}}\alpha$ $\mathbf {u}$

\nabla _{{{\mathbf v))}(\alpha ({{\mathbf u))))=(\nabla _{{{\mathbf v))}\alpha )({{\mathbf u)) )+\alpha (\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}).

A vektormező mentén lévő kovektormező kovariáns deriváltja is kovektormező. $\mathbf{v}$

Lehetőség van egy kovektormező kovariáns deriváltjának önálló definiálására is, amely nem kapcsolódik a vektormezők deriváltjához. Ekkor általános esetben a skalárok deriváltjai eredetüktől függenek, és az adott kovariáns deriválthoz tartozó affin kapcsolat nemmetrikus jellegéről beszélünk . A fenti definícióval a nemmetrikusság egyenlő nullával.

Tenzormezők

Miután a kovariáns deriváltot definiáltuk vektor- és kovektormezőkre, könnyen általánosítható tetszőleges tenzormezőkre a Leibniz-szabály segítségével ( és tetszőleges tenzorok): $\varphi$ ${\psi}$

\nabla _{{{\mathbf v))}(\varphi \otimes \psi )=(\nabla _{{{\mathbf v))}\varphi )\otimes \psi +\varphi \otimes (\nabla _ {{{\mathbf v}}}\psi ),

Ha és ugyanabból a tenzorkötegből származó tenzormezők, hozzáadhatók: $\varphi$ $\psi$

\nabla _{{{\mathbf v))}(\varphi +\psi )=\nabla _{({\mathbf v))}\varphi +\nabla _{{{\mathbf v))}\psi .

Kifejezés koordinátában

Adjuk meg a tenzor típusú mezőt annak komponensei valamilyen lokális koordinátarendszerben , és a komponensek differenciálható függvények . Ekkor a tenzormező kovariáns deriváltja egy típusú tenzor , amelyet a következő képlet határoz meg: $(p,q)$ ${T^{{i_{1}i_{2}\ldots i_{p))))_{{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}}({\mathbf {x}}) )$ $x^{k}$ $(p,q+1)$

$\nabla _{\ell }{T^{{i_{1}i_{2}\ldots i_{p))))_{{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}}={ \frac {\partial {T^{{i_{1}i_{2}\ldots i_{p))))_{{j_{1}j_{2}\ldots j_{q)))){\partial x^{\ell ))}+\sum _{{k=1}}^{p}{T^{{i_{1}\lpont k\lpont i_{p))))_{{j_{1 }j_{2}\ldots j_{q}}}\Gamma ^{{i_{k}}}{}_{{\ell k}}-\sum _{{m=1}}^{q}{ T^{{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}}}_{{j_{1}\ldots m\ldots j_{q}}}\Gamma ^{{m}}{}_ {{\ell j_{m))}$

hol vannak a Christoffel-szimbólumok , amelyek egy ívelt sokaság összekapcsolhatóságát fejezik ki. $\Gamma ^{{k}}{}_{{ij}}$

Példák bizonyos típusú tenzormezőkre

Egy vektormező kovariáns deriváltja egy további taggal rendelkezik a parciális deriválthoz képest, $V^{m}\$

\nabla _{\ell }V^{m}={\frac {\partial V^{m}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma ^{m}{}_{{k\ ell }}V^{k}.\

A skalármező kovariáns deriváltja megegyezik a parciális deriváltjával, $\varphi\$

\nabla _{i}\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i))}\

egy kovektormező kovariáns deriváltja pedig az $\omega _{m}\$

\nabla _{\ell }\omega _{m}={\frac {\partial \omega _{m)){\partial x^{\ell ))}-\Gamma ^{k}{}_{{ \ell m}}\omega _{k}.\

Torziómentes kapcsolat esetén a Christoffel-szimbólumok szimmetrikusak, és a skalármező kovariáns deriváltjai ingáznak:

\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi =\nabla _{j}\nabla _{i}\varphi \

Általában a tenzorok kovariáns deriváltjai nem ingáznak (lásd görbülettenzor ).

Egy típusú tenzormező kovariáns deriváltja az $(2.0)$ $A^{{ik}}\$

\nabla _{\ell }A^{{ik}}={\frac {\partial A^{{ik}}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma ^{i}{}_ {{m\ell }}A^{{mk}}+\Gamma ^{k}{}_{{m\ell }}A^{{im}},\

vagyis

A^{{ik}}{}_{{;\ell }}=A^{{ik}}{}_{{,\ell }}+A^{{mk}}\Gamma ^{i}{ }_{{m\ell }}+A^{{im}}\Gamma ^{k}{}_{{m\ell }}.\

Egy felső és egy alsó indexű tenzormező esetén a kovariáns derivált a következő

A^{i}{}_{{k;\ell }}=A^{i}{}_{{k,\ell }}+A^{{m}}{}_{k}\Gamma ^ {i}{}_{{m\ell }}-A^{i}{}_{m}\Gamma ^{m}{}_{{k\ell }},\

végül egy kétszeresen kovariáns tenzormezőre, azaz egy típusú mezőre , $(0,2)$

A_{{ik;\ell }}=A_{{ik,\ell }}-A_{{mk}}\Gamma ^{m}{}_{{i\ell }}-A_{{im}}\ Gamma ^{m}{}_{{k\ell }}.\

Lásd még

Irodalom

Rashevsky PK Riemann geometria és tenzoranalízis. - Bármilyen kiadás.

Differenciálszámítás

Fő

privát nézetek

Differenciális operátorok
( különböző koordinátákkal )

Első rendelés	Nabla operátor Gradiens Eltérés Forgórész Helmholtzian
másodrendű	Elliptikus operátor Laplace operátor Laplace vektor operátor D'Alembert operátor Laplace-Beltrami operátor
magasabb rendek	Hipoelliptikus operátor

Kapcsolódó témák