Négyzet piramisszám

A négyzet alakú piramisszám (amelyet gyakran egyszerűen piramisszámnak neveznek ) egy térbeli figuratív szám , amely egy négyzetalapú piramist ábrázol . A négyzet alakú piramisszámok a koordinátatengelyekkel párhuzamos oldalú négyzetek számát is kifejezik egy N  × N pontból álló rácsban . 

Sorozat kezdete:

1 , 5 , 14 , 30 , 55 , 91 , 140 , 204 , 285 , 385 , 506 , 650 , 819 , 1015 , 1240 , 1496 , 1785 , 2109 .

Képlet

A sorrendben a th négyzet alakú piramisszám általános képlete a következő:

Ez a Faulhaber-formula speciális esete, amelyet indukcióval könnyű bizonyítani . Először Fibonacci (XIII. század) "Az Abakusz könyvében " adott meg egyenértékű képletet.

A modern matematikában a göndör számok formalizálása Hérard-polinomok segítségével történik . A P politóp Herard-polinomja L ( P , t ) egy olyan polinom , amely megszámolja a P politóp egy példányában található egész pontok számát , amelyet úgy növelünk , hogy az összes koordinátáját megszorozzuk t számmal . Annak a piramisnak az Erard-polinomját, amelynek alapja egy egész koordinátákkal rendelkező 1-es oldal négyzete, és amelynek csúcsa 1-es magasságban van az alap felett, az [1] képlettel számítjuk ki :

( t  + 1) ( t  + 2) (2 t  + 3)/6 =  P t  + 1 .

Függvény generálása

A négyzetes piramisszámok generáló függvénye :

Kapcsolat más göndör számokkal

A négyzet alakú piramisszámok binomiális együtthatók összegeként is kifejezhetők :

Az ebben a kifejezésben megjelenő binomiális együtthatók tetraéderszámok . Ez a képlet a piramis négyzetszámait két szám összegeként fejezi ki, ahogy bármely négyzetszám két egymást követő háromszög szám összege . Ebben az összegben a két tetraéder szám közül az egyik megszámolja a halmozott piramis azon golyóinak számát, amelyek a piramis négyzetes alapjának átlója felett vagy annak egyik oldalán helyezkednek el; a második pedig az átló másik oldalán található. A négyzet alakú piramisszámok a tetraéderszámokhoz is kapcsolódnak a következőképpen [2] :

Két egymást követő piramis négyzetszám összege egy oktaéder szám .

A négyzetes piramisszámok megtalálásának problémáját, amelyek egyben négyzetszámok is, ágyúgolyó-halmozási problémaként ismerik, és Lucas (1875) [3] fogalmazta meg .

Jegyzetek

  1. ↑ Beck, M.; DeLoera, JA; Develin, M. & Pfeifle, J. (2005), Ehrhart-polinomok együtthatói és gyökei, egész pontok poliéderekben – geometria, számelmélet, algebra, optimalizálás , vol. 374, Contemp. Math., Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., p. 15-36 
  2. ↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 75.
  3. ↑ Edouard Lucas. 1180. kérdés // Nouv. Ann. Math. - 1875. - Kiadás. 14. - S. 336.

Irodalom

Linkek