Erard polinom

A Herard-polinom egy többdimenziós térben egy adott poliéderre egy olyan polinom, amelynek értéke bármely egész pontban egybeesik az adott poliéderen belül található egész pontok (általánosan szólva bármely rács pontjai) számával, szorzóval növelve . $t>0$ $t$

Maga a poliéder térfogata (a homotitási együtthatóval ) megegyezik az Erard-polinom vezető együtthatójával, amely a Pick-tétel többdimenziós általánosításának egy változataként tekinthető . $k=1$

Eugène Herard [ nevéhez fűződik , aki az 1960-as években tanulmányozta őket.

Definíció

Legyen egy poliéder integer csúcsokkal, és legyen homothetyája egész együtthatóval . Jelölje a pontok egész számával . Bebizonyítható, hogy egy szám polinomként van kifejezve -ben ; ezt a polinomot Erard-polinomnak nevezzük . $P$ $t\cdot P$ $t$ $L_{P}(t)$ $t\cdot P$ $L_{P}(t)$ $t$

Példák

${\displaystyle L_{Q}(t)=(t+1)^{d))$ egyetlen egész dimenziós kockához . $d$ $K$

Tulajdonságok

(Erard-McDonald reciprocitás) A belső egész pontok száma egyenlő $t\cdot P$ $(-1)^{d}\cdot L_{P}(-t),$

ahol d a P dimenziója .

Az egész politópokra vonatkozó bármely olyan érték , amely invariáns az egész számok eltolódása alatt, és a Herard-polinom együtthatóinak lineáris kombinációjaként van kifejezve . [egy] $\mathrm {SL} (n,\mathbb {Z} )$

Bármely dimenziós politóp esetén a Herard-polinom három együtthatójának egyszerű értelmezése van $d$ $P$
- az Erard-polinom szabad tagja 1.
- A fő együttható at egyenlő a poliéder térfogatával. $t^{d}$
- Az at együttható a lapok területének és a rács determinánsához viszonyított arányának felével, amelyet az egész pontok és a lap folytatása által kapott metszéspontból kapunk. $t^{d-1}$
Konkrétan - esetén a sokszög Erard-polinomja egyenlő $d=2$ $S\cdot t^{2}+{\tfrac {\Gamma }{2}}\cdot t+1,$

ahol a sokszög területe, és a határán lévő egész pontok száma. Behelyettesítve megkapjuk a Peak képletet .

S

\Gamma

t=1

Jegyzetek

↑ Betke, Ulrich; Kneser, Martin (1985) Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen, J. Reine Angew. Math. 358, 202-208.

Linkek

Weisstein, Eric W. Ehrhart Polynomial (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
G. A. Merzon. Algebra, geometria és egymást követő számok hatványösszegeinek elemzése // „ Matematikai oktatás ” gyűjtemény. Harmadik sorozat. - 2017. - Kiadás. 21. - S. 104-118.