Értékelés

Az értékelés a mérték fogalmának általánosítása , amelyet általában az euklideszi tér konvex halmazain határoznak meg .

Definíció

Legyen az összes nem üres kompakt konvex halmaz osztálya -ben . A on értékelés olyan függvény , hogy az egyenlőség $K^n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K^n$ $v:K^{n}\to \mathbb {R}$

v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)

mindenre vonatkozik , ${\displaystyle S,T\in K^{n))$ $S\cup T\in K^{n}$

Jegyzetek

Folyamatosnak nevezzük az értékelést, ha a Hausdorff-metrikához képest folyamatos .
Az értékelést mozgásinvariánsnak nevezzük, ha bármely φ mozgásra és bármely mozgásra vonatkozik $S\in K^{n}$ $v(S)=v(\phi (S))$

Példák

Átlagos keresztirányú mérték

$k$ -a test átlagos keresztirányú mértéke a dimenziós síkra való vetületek átlagos -dimenziós területe . $W_{k}(S)$ $S\in K^{n}$ $k$ $S$ $k$

Különösen,

$W_{n}(S)$ - hangerő , $S$
$W_{n-1}(S)$ arányos a felülettel . $S$
$W_{k}(\lambda \cdot S)=|\lambda |^{k}\cdot W_{k}(S)$

Dirac értékelése

Egy pont Dirac-értékelését a következőképpen határozzuk meg ${\displaystyle \delta _{x))$ $x$

\delta _{x}(U)={\begin{cases}0&{\text{if}}~x\notin U\\1&{\text{if}}~x\in U\end{ esetek}}

Tulajdonságok

Hadwiger tétele : Bármely folyamatos értékelés, amely mozgás közben invariáns, ábrázolható keresztmértékek lineáris kombinációjaként.
Az egész politópokra vonatkozó bármely olyan érték, amely invariáns az egész számok eltolódása alatt, és az Earhart-polinom együtthatóinak lineáris kombinációjaként van kifejezve . [egy] $\mathrm {SL} (n,\mathbb {Z} )$

Irodalom

Semyon Alesker Bevezetés a konvex halmazokon végzett értékelések elméletébe Előadások videófelvételei, Nyári Matematikai Iskola "Algebra és Geometria" 2014. július 25-31. Jaroszlavl

Jegyzetek

↑ Betke, Ulrich; Kneser, Martin (1985) Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen, J. Reine Angew. Math. 358, 202-208.