Kvadratikus irracionalitás

A másodfokú irracionalitás olyan irracionális szám , amely valamilyen racionális együtthatókkal rendelkező másodfokú egyenlet valós gyöke (vagy, ami megegyezik, egy racionális együtthatós 2. fokú polinom valós gyöke [1] ). Források szempontjából a másodfokú irracionalitások alatt általában a jelzett egyenletek összetett gyökeit értjük. $ax^{2}+bx+c=0$ $ABC$ $ax^{2}+bx+c$

Egy szám irracionalitása azt jelenti, hogy nem ábrázolható racionális számként (törtként). Ebből az következik, hogy a polinom a racionális számok terén irreducibilis, azaz nem bomlik fel ebben a mezőben elsőfokú tényezőkre [ 1] . $x$ $ax^{2}+bx+c=0$ $\mathbb {Q} ,$

Algebrai tulajdonságok

A másodfokú egyenlet megoldása a következő képletet adja: $ax^{2}+bx+c=0$

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a)),

ahol ( az egyenlet diszkriminánsa ). A gyök valósága azt jelenti, hogy ezért minden másodfokú irracionalitásnak a következő formája van: $D=b^{2}-4ac$ $D\geqslant 0.$

x=u+v{\sqrt {D)),

ahol racionális számok, és , és a gyökkifejezés nem negatív, és nem egy racionális szám tökéletes négyzete [2] . $u,v,D$ $v\neq 0$ $D$

Példák: . $11-{\sqrt {2));\quad {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

A definícióból következik, hogy a másodfokú irracionalitások másodfokú algebrai számok . Figyeljük meg, hogy a for inverz eleme is másodfokú irracionalitás: $x=u+v{\sqrt {D))$

{1 \over u+v{\sqrt {D}}}={uv{\sqrt {D}} \over u^{2}-v^{2}D}.

A számot konjugáltnak nevezik , mert vannak képletek: $x'=uv{\sqrt {D))$ $x=u+v{\sqrt {D}).$

(x+y)'=x'+y';\quad (xy)'=x'y';\quad \left({\frac {1}{x}}\right)'={\ frac {1}{x'}}.

Kanonikus formátum

Az általánosság elvesztése nélkül az egyenlet a következőképpen egyszerűsíthető. $ax^{2}+bx+c=0$

A vizsgált 2. fokú egyenlet együtthatói egész számokká tehetők , mivel könnyen megszabadulhatunk a törtek nevezőitől, ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk az összes nevező legkisebb közös többszörösével . Ekkor a diszkrimináns is egész számmá válik. $D$
Ha a vezető együttható , akkor szorozzuk meg az egyenletet -vel . $a<0,$ $-egy$
Végül elosztjuk a kapott egyenletet a legnagyobb közös osztóval , a gcd . $ax^{2}+bx+c=0$ $(ABC)$

Ennek eredményeként egy egyenletet kapunk koprime egész együtthatókkal, és a vezető együttható pozitív [3] . Ez az egyenlet egyedileg kapcsolódik egy gyökpárhoz, és az ilyen egyenletek halmaza megszámlálható . Ezért a másodfokú irracionalitások halmaza is megszámolható. $ax^{2}+bx+c=0$

Gyakran célszerű még egy módosítást végrehajtani a gyökkifejezésben : ha a kanonikus felbontásban négyzetek szerepelnek , akkor azokat kivesszük a gyökjelből, így a fennmaradó érték négyzetmentes lesz . $x=u+v{\sqrt {D)),$ $D$ $D$

Másodfokú mezők

Az azonos diszkriminánsú másodfokú irracionálisak összege, különbsége és szorzata vagy azonos formátumú, vagy racionális számok, így együtt alkotnak egy mezőt , amely a racionális számmező ℚ második hatványának normális kiterjesztése . Ezt a mezőt másodfokú mezőnek jelöljük és nevezzük . Bármely ilyen kiterjesztés a leírt módon beszerezhető. A kiterjesztés Galois-csoportja az azonos automorfizmuson kívül egy irracionális szám leképezését tartalmazza a konjugátumába (a fenti értelemben) [4] . $D$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {D)))$ $\mathbb {Q}$

Tegyük fel, hogy a fent leírtak szerint egy négyzet nélküli egész szám. Ezután különböző értékekhez különböző másodfokú mezőket kapunk [5] . $D$ $D$

Egy másodfokú mezőhöz megszerkesztheti egész számokból álló gyűrűjét , vagyis olyan egész együtthatós redukált polinomok gyökkészletét , amelyek vezető együtthatója 1. Egy négyzet nélküli mező nem osztható 4-gyel, ezért két eset van [ 4] attól függően, hogy melyik maradékot adja 4-gyel osztva. $D$ $D$

Ha van alakja, akkor az egész elemek a forma számai , ahol természetes számok. $D$ $4k+1,$ $m+n\cdot {\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ $m,n$
Ha az alakja van, vagy akkor az egész elemei a forma számai , ahol a természetes számok. $D$ $4k+2$ $4k+3,$ $m+n{\sqrt {D))$ $m,n$

Kapcsolat a folyamatos törtekkel

A valós másodfokú irracionalitásokat a Lagrange-tétel (amelyet néha Euler–Lagrange-tételnek is neveznek ) a folytonos törtekhez kapcsolja [6] :

A valós szám akkor és csak akkor másodfokú irracionalitás, ha végtelen periodikus folyamatos törtté bomlik.

Példa:

{\sqrt {3}}=1,732\ldots =[1;1,2,1,2,1,2,\lpontok ]

Az a folyamatos tört, amelynek periódusa az első hivatkozástól kezdődik, tisztán periodikusnak nevezzük . Evarist Galois 1828-ban bebizonyította, hogy a másodfokú irracionalitás folyamatos törtrésze akkor és csak akkor pusztán periodikus , és a konjugált irracionalitás az intervallumban található . Azt is bebizonyította, hogy tisztán periodikus dekompozíció esetén a konjugált másodfokú irracionalitás ugyanazokkal a linkekkel rendelkezik, de fordított sorrendben [7] . $x$ $x>1$ $x'$ $(-1;0)$

Általánosítás

A másodfokú irracionalitás a " th-edik fokú irracionalitás" speciális esete, amely a mezőben irreducibilis , egész együtthatókkal rendelkező th-edik fokú polinom gyöke . A racionális számokat akkor kapjuk, ha az esetnek a másodfokú irracionalitások felelnek meg $n$ $\mathbb {Q}$ $n$ $n=1,$ $n=2.$

Egyes források a másodfokú irracionalitások közé sorolják a másodfokú egyenletek összetett gyökereit is (például Gauss-egészek vagy Eisenstein-számok ).

G. F. Voronoi „Az algebrai egész számokról a 3. fokú egyenlet gyökétől függően” című munkájában (1894) kiterjesztette az elméletet (a törteket is beleértve) a köbös irracionalitásokra.

Történelem

Kirénei Theodore és tanítványa , athéni Theaetetus (Kr. e. 4. század) elsőként bizonyították be, hogy ha egy szám nem tökéletes négyzet , akkor nem racionális szám, vagyis nem fejezhető ki pontosan törtként. Ez a bizonyíték az " Euklidész lemmájára " támaszkodott . Eukleidész Principiájának tizedik könyvét szentelte ezeknek a kérdéseknek ; a korabeli forrásokhoz hasonlóan az aritmetika alaptételét használta . $N$ ${\sqrt {N}}$

Jegyzetek

↑ 1 2 Másodfokú irracionalitás // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben). - M .: Szovjet Enciklopédia , 1979. - T. 2. - S. 776.
↑ Galochkin A. I. Kvadratikus irracionalitás // Matematikai enciklopédia (5 kötetben). - M .: Szovjet Enciklopédia , 1979. - T. 2. - S. 776.
↑ Nesterenko Yu. V., 2008 , p. 207.
↑ 1 2 Ireland K., Rosen M. Klasszikus bevezetés a modern számelméletbe. - M . : Mir, 1987. - S. 230-232. — 428 p.
↑ Bukhshtab A.A., 2015 , p. 149-150.
↑ Nesterenko Yu. V., 2008 , p. 208-209.
↑ Davenport G. Magasabb aritmetika . - M . : Nauka, 1965. - S. 100 .

Irodalom

Bukhshtab A. A. Másodfokú irracionalitások és periodikus folyamatos törtek // Számelmélet. - 4. kiadás - M. : Lan, 2015. - 384 p. - ISBN 978-5-8114-0847-4 .
Neszterenko Yu. V. Számelmélet: tankönyv diákoknak. magasabb tankönyv létesítmények. - M . : "Akadémia" Kiadói Központ, 2008. - 272 p. - ISBN 978-5-7695-4646-4 .
Khinchin A. Ya. Folytatás törtek . — M .: GIFML, 1960.

Linkek

Weisstein, Eric W. Quadratic Surd (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Folytatva Törtszámítógép másodfokú irracionális értékekhez Archiválva : 2020. február 18. a Wayback Machine -nél
Annak bizonyítéka, hogy e nem másodfokú irracionális

Algebrai számok
Fajták	Algebrai egész számok Csebisev csomópontok Konstruktív számok Eisenstein egésze Gauss-egészek Kummer gyűrű Perron számok Piso-Vijayaraghavan számok Kvadratikus irracionalitás ℚ Gyökerek az egységből Salem számok
Különleges	Conway állandó 3 √ 2 φ δS_ _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2