Induktív dimenzió

Az induktív dimenzió egy topologikus tér dimenziójának egyfajta meghatározása , amely azon a megfigyelésen alapul, hogy az euklideszi térben lévő gömbök dimenziója eggyel kisebb.

Az induktív dimenzió meghatározására két lehetőség van, az úgynevezett nagy és kis induktív dimenziók; hely esetén általában és ill. Az alkalmazásokban előforduló legtöbb topológiai térben mindkét dimenzió megegyezik, és megegyezik a Lebesgue dimenzióval is . $x$ $\mathrm {Ind} \,X$ $\mathrm {ind} \,X$

Definíció

Definíció szerint egy üres halmaz dimenzióját egyenlőnek tekintjük ; vagyis $-egy$

\mathrm {ind} \,\varnothing =\mathrm {Ind} \,\varnothing =-1

$\mathrm {ind} \,X$ — a topológiai tér kis induktív dimenziója az a legkisebb szám , amelynél bármely ponthoz és bármely nyitott környezetéhez létezik olyan nyitott halmaz , amely , azaz a határ kis induktív dimenziója nem haladja meg és $x$ $n$ $x\X-ben$ $U$ $W$ $\mathrm {ind} \,\partial W\leq n-1$ $W$ $n-1$

x\in W\subset {\bar {W}}\subset U,

ahol zárást jelöl . ${\bar {W}}$ $W$

$\mathrm {Ind} \,X$ - egy nagy induktív dimenziót hasonló módon definiálunk: a legkisebb számként , hogy bármely zárt halmazhoz és bármely nyitott környezetéhez van egy nyitott halmaz , amely és $n$ $K\X részhalmaz$ $U$ $W$ $\mathrm {Ind} \,\partial W\leq n-1$

K\subset W\subset {\bar {W}}\subset U.

Jegyzetek

A Lebesgue-dimenzió egy másik módja a topológiai tér dimenziójának meghatározásának; a "topológiai dimenzió" kifejezést általában kifejezetten a Lebesgue-dimenzióra használják, a tér esetében pedig általában a jelöléssel . $x$ $\dim X$

Tulajdonságok

$\dim X=0$ ha, és csak akkor ha $\operatorname {Ind} X=0.$
(Urysohn tétel) megszámlálható bázisú normál térre , az egyenlőség $x$ $\dim X=\operátornév {Ind} X=\operátornév {ind} X.$

Más szavakkal, elválasztható és metrizálható terek esetén mindkét induktív dimenzió egybeesik a Lebesgue dimenzióval .

Mérhető terekre a következő érvényes ( Miroslav Katetov ) $x$ $\dim X=\operátornév {Ind} X\geq \operátornév {ind} X.$
Ha a tér kompakt és Hausdorff akkor ( P. S. Aleksandrov ) $x$ $\operátornév {Ind} X\geq \operátornév {ind} X\geq \dim X.$
- Mindkét egyenlőtlenség szigorú lehet (V. V. Filippov)

Egy szeparálható metrikus tér akkor és csak akkor elégíti ki az egyenlőtlenséget , ha a tér minden zárt alterére minden folytonos térkép folytonos kiterjesztést tesz lehetővé . $x$ $\operatorname {Ind} X\leq n$ $A$ $x$ ${\displaystyle f:A\to \mathbb {S} ^{n))$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {S} ^{n))$

Irodalom

Alexandrov P. S., Pasynkov B. A. Bevezetés a dimenzióelméletbe. Moszkva: Nauka, 1973
Crilly, Tony, 2005, "Paul Urysohn és Karl Menger: tanulmányok a dimenzióelméletről" in Grattan-Guinness, I., szerk., Landmark Writings in Western Mathematics . Elsevier : 844-55.
R. Engelking, Dimenzióelmélet. Véges és végtelen , Heldermann Verlag (1995), ISBN 3-88538-010-2 .

ISBNegy3-88538-010-2

VV Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory , megjelenik: Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 17. kötet, General Topology I , (1993) AV Arkhangel'skii és LS Pontryagin (szerk.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-548-18 4 .

ISBNegy3-540-18178-4

VV Filippov, A bicompacta termékének induktív dimenziójáról , szovjet. Math. Dokl. 13 (1972), 1. sz., 250-254.
A. R. Pears, Dimension theory of general spaces , Cambridge University Press (1975).

fraktálok
Jellemzők	fraktál dimenzió Hausdorff dimenzió Lebesgue dimenzió rekurzió önhasonlóság
A legegyszerűbb fraktálok	Fern Barnsley Kántor készlet sárkánygörbe Koch-görbe Szivacs Menger Sierpinski szőnyeg Sierpinski háromszög Térkitöltő görbe
furcsa vonzerő	Multifraktál
L-rendszer	Térkitöltő görbe
Bifurkációs fraktálok	Julia meg Ljapunov-fraktál Mandelbrot készlet Newton medencéi
Véletlenszerű fraktálok	Brown-mozgás barna fa fraktál felület Perkolációs elmélet
Emberek	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alekszandr Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Václav Sierpinski
Kapcsolódó témák	Milyen hosszú Nagy-Britannia partja? » Tengerparti paradoxon

A tér mérete
Terek méret szerint	Nulla dimenziós egydimenziós 2D 3D négydimenziós ötdimenziós Hatdimenziós Hétdimenziós nyolcas Kilencdimenziós n-dimenziós Negatív dimenzió
Politópok és figurák	Simplex hiperkocka tesserakt Hipertéglalap (ortotop) Félhiperkocka Keresztpolitóp hiperszféra
A terek típusai	véges dimenziós tér Euklideszi tér affin tér projektív tér Ingyenes modul Elosztó Egy algebrai változó mérete téridő
Egyéb dimenziós fogalmak	Krull dimenzió Lebesgue dimenzió Induktív dimenzió Törtdimenzió ( Minkowski - dimenzió , Hausdorff - dimenzió ) fraktál dimenzió A szabadság fokai
Matematika