Hipergeometrikus eloszlás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2018. március 28-án áttekintett verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Hipergeometrikus eloszlás
Valószínűségi függvény
Kijelölés	${\mathrm {HG}}(D,N,n)$
Lehetőségek	$N\in 0,1,2,3...$ $D\in 0,1,...,N$ $n\in 0,1,...,N$
Hordozó	$k\in 0,1,...,n$
Valószínűségi függvény	${{{D \choose k}{{ND} \choose {nk}}} \over {N \choose n}}$
Várható érték	$nD \over N$
Divat	$\left\lfloor {\frac {(D+1)(n+1)}{N+2}}\right\rfloor$
Diszperzió	$n(D/N)(1-D/N)(Nn) \over (N-1)$
Aszimmetria együttható	${\frac {(N-2D)(N-1)^{\frac {1}{2))(N-2n)}{[nD(ND)(Nn)]^{\frac {1 }{2}}(N-2)}}$
Kurtosis együttható	$\left[{\frac {N^{2}(N-1)}{n(N-2)(N-3)(Nn)))\right]\times$ $\times \left[{\frac {N(N+1)-6N(Nn)}{D(ND)}}+{\frac {3n(Nn)(N+6)}{N^{ 2}}}-6\jobbra]$
Pillanatok generáló függvénye	${\frac {ND \choose n}{N \choose n}}\,_{2}F_{1}(-n,-D;ND-n+1;e^{t})$
jellemző funkció	${\frac {ND \choose n}{N \choose n}}\,_{2}F_{1}(-n,-D;ND-n+1;e^{it})$

A hipergeometrikus eloszlás a valószínűségszámításban modellezi a jó minták számát anélkül, hogy egy véges sokaságból visszatérnénk.

Példa

	megnyúlt	nem feszített	Teljes
hibával	k	D − k	D
nincs hiba	n−k	N + k - n - D	É-D
Teljes	n	N − n	N

Tipikus példát mutat be a fenti táblázat: N darab termék szállítása történt, amelyek közül D hibás. A hipergeometrikus eloszlás azt a valószínűséget írja le, hogy egy szállítmányból vett n különböző tételből álló mintában pontosan k tétel hibás.

Általánosságban elmondható, hogy ha egy X valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlást követ N , D és n paraméterekkel , akkor annak valószínűségét, hogy pontosan k sikert érünk el, a következő képlet adja meg:

f(k;N,D,n)={{{D \choose k}{{ND} \choose {nk))} \over {N \choose n))

Ez a valószínűség akkor pozitív, ha k max{ 0, D + n − N } és min{ n , D } között van.

A fenti képlet a következőképpen értelmezhető: lehetséges kijelölések (csere nélkül). Vannak módok k hibás objektum kiválasztására, és módok arra, hogy a minta többi részét hibamentes objektumokkal töltsék fel. $N \choose n$ $D\choose k$ ${ND} \choose {nk}$

Abban az esetben, ha a populáció mérete nagy a minta méretéhez képest (azaz N sokkal nagyobb, mint n ), a hipergeometrikus eloszlást jól közelíti egy binomiális eloszlás , amelynek paraméterei n (próbák száma) és p = D / N ( egy teszt sikerének valószínűsége).

Definíció

Legyen véges, elemekből álló gyűjtemény. Tegyük fel, hogy (hibás) közülük megvan a számunkra szükséges tulajdonság. A többiek nem rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal. Az elemek egy csoportja véletlenszerűen kerül kiválasztásra a teljes sokaságból . Legyen egy valószínűségi változó , amely egyenlő a kívánt tulajdonsággal rendelkező kiválasztott elemek számával. Ekkor a valószínűségi függvény alakja: $N$ $D$ $ND$ $n$ $Y$ $Y$

p_{Y}(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\frac {C_{D}^{k}\,C_{ND}^{nk)){C_{N }^{n}}}

ahol a binomiális együtthatót jelöli . Azt írjuk: . $C_{n}^{k}\equiv {\frac {n!}{k!\,(nk)!))$ $Y\sim \mathrm {HG} (D,N,n)$

Pillanatok

\mathbb {E} [Y]={\frac {nD}{N))

{\displaystyle \mathrm {D} [Y]={n(D/N)(1-D/N)(Nn) \over (N-1)))

Alkalmazási példa

A hipergeometrikus eloszlás klasszikus alkalmazása a csere nélküli mintavétel. Vegyünk egy urnát kétféle golyóval: fekete és fehér. Határozzuk meg a fehér golyó rajzolását sikerként, a fekete golyót pedig kudarcként. Ha N az összes golyó száma az urnában, és D a fehér golyók száma, akkor N − D a fekete golyók száma.
Most tegyük fel, hogy egy urnában 5 fehér és 45 fekete golyó van. Az urna mellett állva becsukod a szemed és húzol 10 golyót ( n ). Mennyi a p (k=4) valószínűsége annak, hogy 4 fehér golyót (és így 6 fekete golyót) rajzolunk?

A feladatot az alábbi táblázat írja le:

	megnyúlt	nem feszített	Teljes
fehér golyókat	4 ( k )	1 = 5 - 4 ( D - k )	5 (D)
fekete golyókat	6 = 10 - 4 ( n - k )	39 = 50 + 4 - 10 - 5 ( N + k - n - D )	45 ( É-D )
Teljes	10 ( n )	40 ( n-n )	50 ( N )

A Pr ( k = x ) valószínűsége annak, hogy pontosan x fehér golyót húznak (= a sikerek száma), a következő képlettel számítható ki:

\Pr(k=x)=f(k;N,D,n)={{{D \choose k}{{ND} \choose {nk}}} \over {N \choose n}} .

Innen a példánkban ( x = 4) a következőket kapjuk:

\Pr(k=4)=f(4;50,5,10)={{{5 \choose 4}{{45} \choose {6}}} \over {50 \choose 10}} =0,003964583\pontok .

Így annak a valószínűsége, hogy pontosan 4 fehér golyót rajzolunk, meglehetősen kicsi (kb. 0,004). Ez azt jelenti, hogy a kísérlet elvégzésekor (10 golyó kihúzása az urnából 50 golyóval csere nélkül) 1000 alkalommal, a fenti eredményt 4 alkalommal várjuk.

Ami az 5 fehér golyó húzásának valószínűségét illeti, intuitív módon egyértelmű, hogy ez kisebb lesz, mint 4 fehér golyó húzásának valószínűsége. Számítsuk ki ezt a valószínűséget.

	megnyúlt	nem feszített	Teljes
fehér golyókat	5 ( k )	0 = 5 - 5 ( D - k )	5 (D)
fekete golyókat	5 = 10 - 5 ( n - k )	40 = 50 + 5 - 10 - 5 ( N + k - n - D )	45 ( É-D )
Teljes	10 ( n )	40 ( n-n )	50 ( N )

Így megkapjuk a valószínűséget:

\Pr(k=5)=f(5;50,5,10)={{{5 \choose 5}{{45} \choose {5}}} \over {50 \choose 10}} =0,0001189375\pontok ,

Ahogy az várható volt, 5 fehér golyó húzásának valószínűsége kisebb, mint 4 fehér golyó húzásának valószínűsége.

Következtetés:
Az eredeti kérdés a következőképpen bővíthető: Ha egy urnából 10 golyót húzunk (amely 5 fehér és 45 fekete golyót tartalmaz), mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább 4 fehér golyót húzunk? A kérdés megválaszolásához ki kell számítani a p(k>=4) eloszlásfüggvényt . Mivel a hipergeometrikus eloszlás diszkrét valószínűségi eloszlás, az eloszlásfüggvény könnyen kiszámítható a megfelelő valószínűségek összegeként.

Példánkban elegendő Pr ( k = 4) és Pr ( k = 5) összeadása:

Pr ( k ≥ 4) = 0,003964583 + 0,0001189375 = 0,004083520

Szimmetria

f(k;N,D,n)={{{D \choose k}{{ND} \choose {nk}}} \over {N \choose n}}=f(nk;N,ND ,n)

Ez a szimmetria intuitív, ha átszínezi a fehér golyókat feketére és fordítva, így a fehér és fekete golyók egyszerűen szerepet cserélnek.

f(k;N,D,n)=f(k;N,n,D)

Ez a szimmetria intuitív, ha golyók rajzolása helyett megjelöli azokat a golyókat, amelyeket rajzolni szeretne. Mindkét kifejezés azt a valószínűséget adja meg, hogy pontosan k golyó fekete és rajzolva van megjelölve.

Kapcsolat más disztribúciókkal

Megjavítjuk és a végtelenbe megyünk . Ezután konvergál a binomiális eloszláshoz . $n$ $D$ $N$ ${\mathrm {HG}}(D,N,n)$ $\mathrm {Bi} (n,D/N)$
Ha a valószínűségi változók és binomiális eloszlásúak , akkor a valószínűségi változó feltételes eloszlása a feltétel alatt hipergeometrikus . $x$ $Y$ ${\mathrm {Bi}}(D,p)$ ${\mathrm {Bi}}(ND,p)$ $x$ $X+Y=n$ ${\mathrm {HG}}(D,N,n)$

Valószínűségi eloszlások
Diszkrét	Bernoulli Binomiális Geometriai hipergeometrikus Logaritmikus Negatív binomiális Poisson Diszkrét egyenruha Multinomiális
Abszolút folyamatos	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenciális Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormális Normál (Gauss) Logisztikai Nakagami Pareto Pearson félkör alakú folyamatos egyenruha Rizs Rayleigh Diák Tracey – Vidoma Halász Khi-négyzet Exponenciális Variancia-gamma Többváltozós normál kapcsolószó