Kifejezhetőség gyökökben

A gyökökben való kifejezhetőség azt jelenti, hogy egy számot vagy függvényt a legegyszerűbb számokkal vagy függvényekkel fejezhetünk ki egy egész fok gyökének kivonásával és számtani műveletekkel – összeadás , kivonás , szorzás , osztás .

Számokhoz

Elsődleges definíciók

Szabványos definíció

Egy mezőelemről azt mondjuk , hogy radikálisan kifejezhető egy mező részmezője felett , ha létezik olyan algebrai kifejezés , amely csak a mező azon elemeit tartalmazza számként, amelyek értéke egyenlő . Ha a gyökér a mezőben egy többértékű függvény , akkor elegendőnek tekinthető, ha a szám egyenlő az algebrai kifejezés legalább egy lehetséges értékével . $a$ $F$ $G$ $F$ $G$ $a$ $F$ $a$

Más szóval, a gyökökben kifejezhető számok halmaza az összes racionális kifejezés értékkészletéből , a racionális kifejezések értékéből a gyökök részösszegeiből és a racionális kifejezések értékéből a beágyazott gyökök részösszegeiből áll. kifejezéseket.

Definíció a matematika formális nyelvére való hivatkozás nélkül

Legyen a mező részmezeje . Tekintsünk egy véges beágyazott mezők láncát úgy, hogy és [nb 1] bármely -tól -ig , ahol egy olyan szám a mezőből , amely valamely természetes számhoz tartozik . Egy számról azt mondjuk , hogy radikálisan kifejezhető a mező egy részmezeje felett , ha néhány esetén vannak olyan gyűjtemények, amelyekhez [ 1] . $G$ $F$ ${\displaystyle G_{0}\subset G_{1}\subset \dots \subset G_{s))$ $G_{0}=G$ $G_{i}=G_{i-1}(\alpha _{i})$ $én$ $egy$ $s$ $\alpha_i$ $F$ $n_{i}$ $\alpha _{i}^{n_{i))$ $G_{i-1}$ $a\in F$ $G$ $F$ $s$ $\alpha_i$ $n_{i}$ $a\in G_{s}$

Egyéb meghatározások

Egy valós számról akkor beszélünk, ha kifejezhető valós gyökökben , ha kifejezhető a valós számok mezőjében lévő racionális számok részmezeje feletti gyökökben . Ebben az esetben az értéket felvevő algebrai kifejezés páros fokának gyökeit csak nem negatív számokból vehetjük fel, vagyis a szóban forgó kifejezés bármely részkifejezésének értékének nulla képzeletbeli rész kell . $x$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $x$
Egy komplex számot (amely valós is lehet ) akkor mondunk kifejezhetőnek komplex gyökökben , ha kifejezhető a komplex számok mezőjének racionális számok részmezeje feletti gyökökben . A valós gyökökben kifejezhető szám mindig kifejezhető komplex gyökökben. A komplex számok elsődleges előfordulása egy értéket felvevő algebrai kifejezésben csak akkor fordulhat elő, ha negatív számokból páros fokos gyökot vonunk ki . A komplex számokban lévő th gyök kétértelműségének kezelésének egyszerűsítésére különféle módszereket alkalmaznak annak jelzésére, hogy melyik gyökre van szükség egy adott szám megszerzéséhez: például az egység komplex gyökeit , amelyek fontos állandók, kifejezetten az óramutató járásával ellentétes sorrendben számozzák. a standard komplex síkon magától az egységtől kezdve. $z$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {C}$ $z$ $n$
A mező egy elemét fokgyökökben kifejezhetőnek mondjuk a mező egy részmezeje felett, ha valamely algebrai kifejezés -ból származó számokkal , amelyek értéke egyenlő a lehetséges gyökökből , csak fokgyököket tartalmaz . Különösen, ha egy számot négyzetgyökben kifejezhetőnek nevezünk , és ha köb gyökben fejezzük ki . Kombinációk is lehetségesek: például a és számok négyzet- és köb gyökben fejezhetők ki a racionális számok mezője felett . A definíció, amely nem lépi túl a szabványos formális nyelv hatókörét, a következő formában jelenik meg: egy mezőelemet akkor mondunk kifejezhetőnek egy mező részmező feletti gyökökben , ha kifejezhető egy mező feletti gyökökben, és minden részt vesz a mező felett. a gyök kifejezhetőség definíciója a fentiekre egyenlő [ 1] . $a$ $F$ $n$ $G$ $F$ $G$ $a$ $n$ $n=2$ $a$ $n=3$ ${\sqrt {2+{\sqrt[{3}]{2))))$ ${\sqrt {2}}+{\sqrt[{3}]{2}}$ $\mathbb {Q}$ $a$ $F$ $n$ $G$ $F$ $G$ $n_{i}$ $a$ $n$
Valós négyzetgyökben kifejezhető számot valós konstruálhatónak nevezünk [2] .
Legyen mező . _ Ekkor azt a mezőt [nb 2] , ahol és , a mező [3] radikális kiterjesztésének nevezzük . Így a fent felépített mezőláncban minden következő az előző valamilyen radikális kiterjesztése. Ebben az esetben a megadott mezőt a mező másodfokú kiterjesztésének nevezzük , azaz a négyzetgyökökben kifejezett szám az eredeti részmező négyzetes kiterjesztései láncának következő mezőjéhez tartozik [4] . $K$ $K({\sqrt[{n}]{a)))$ $a\in K$ ${\sqrt[{n}]{a}}\notin K$ $K$ ${\displaystyle G_{0}\subset G_{1}\subset \dots \subset G_{s))$ $n=2$ $K$
A gyökökben kifejezhető számot gyökben kifejezhetőnek nevezzük , ha az összes vele egyenlő algebrai kifejezés között a gyökök $n$ minimális száma [5] . $n$

Példák

A szám valós négyzetgyökökben kifejezhető , azaz valós konstruálható . Ugyanakkor kifejezhető bármilyen fokú valós gyökökben is , ahol természetes szám, hiszen . ${\sqrt {3+{\sqrt {8))))$ $2^{n}$ $n$ ${\sqrt {3+{\sqrt {8))))={\sqrt[{2^{n))]({\Big (}3+{\sqrt[{2^{n)) ]{8^{2^{n-1)))){\Big )}^{2^{n-1))))$
A szám első pillantásra úgy tűnik, hogy csak az alak bármely fokú gyököiben fejezhető ki , valójában azonban bármilyen fokú és bármilyen típusú gyökben kifejezhető , hiszen bármelyikre . ${\sqrt {6+{\sqrt {32))))+{\sqrt {6-{\sqrt {32))))$ $2^{n}$ ${\sqrt {6+{\sqrt {32))))+{\sqrt {6-{\sqrt {32))))=4={\sqrt[{n}]{4^{n }}}$ $n$
Nem mindig lehet azonnal meghatározni akkora minimumot , hogy a szóban forgó szám gyökökben kifejezhető legyen , mivel a két gyök négyzetével kifejezhető szám valójában egyenlő , és egy négyzetgyökkel kifejezhető . $n$ $n$ ${\sqrt {17+{\sqrt {288))))$ ${\sqrt {9+2\cdot 3\cdot {\sqrt {8}}+8}}={\sqrt {(3+{\sqrt {8}})^{2}}}=3 +{\sqrt {8}}$
További hasonló példákért tekintse meg a beágyazott gyökök cikket .
A szám kifejezhető a mező részmezeje feletti gyökökben , mivel ebben az algebrai kifejezésben a páros fokozat egyetlen gyöke egy nem negatív számból származik , de nem fejezhető ki valós gyökökben , mivel . Eltérően az előző bekezdésektől, ebben az esetben a vizsgált szám negatív tulajdonságáról a konkrét jelölése alapján beszélhetünk, hiszen ha feltételezzük, hogy valós gyökökben kifejezhető, könnyen kapnánk egy algebrai kifejezést -re , ami nem léteznek e számok túllépése miatt (lásd az Általános tulajdonságok részt ). ${\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {\pi }}}}$ $\mathbb {Q} (\pi )$ $\mathbb {R}$ $\pi$ $\pi \notin \mathbb {Q}$ $\pi$

Magyarázatok

A gyökökben való kifejezhetőség egy valós számra vonatkoztatva, a szakirodalomban egyéb minősítések nélkül, általában összetett gyökökben való kifejezhetőséget jelent .

Függvényekhez , polinomokhoz és egyenletekhez _

Elsődleges definíciók

Szabványos definíció

Egy mezőben értékeket felvevő és bizonyos számú paramétertől függő függvényről azt mondjuk , hogy a mező egy részmezője feletti gyökökben fejezhető ki, ha létezik olyan algebrai kifejezés , amely csak a mező elemeit és a jelzett paramétereket tartalmazza. számok, amelyek értéke egybeesik ezen paraméterek bármely megengedett értékével [6] . $f$ $F$ $G$ $F$ $G$ $f$

Definíció a matematika formális nyelvére való hivatkozás nélkül

Legyen a mező részmezeje . Tekintsünk egy ilyen véges beágyazott mezők láncolatát , amelynek elemei a függvények (esetleg több pont nélkül, hogy elkerüljük a nullával való osztást) -be , amely az összes feletti racionális függvényből áll , és [nb 3] bármely -tól -ig , ahol olyan folytonos függvény -on , hogy valamilyen természetes esetén a függvény a -hoz tartozik . Egy függvényről azt mondjuk , hogy kifejezhető gyökökben a mező egy részmezeje felett , ha néhány esetén vannak ilyen gyűjtemények, és , hogy . $G$ $F$ ${\displaystyle K_{0}\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{s))$ $F$ $F$ $K_{0}$ $G$ $K_{i}=K_{i-1}(f_{i})$ $én$ $egy$ $s$ $f_{i}$ $F$ $n_{i}$ $f_{i}^{n_{i))$ ${\displaystyle K_{i-1))$ $f\colon F\to F$ $G$ $F$ $s$ $f_{i}$ $n_{i}$ ${\displaystyle f\in K_{s))$

Egyéb meghatározások

Egy többértékű függvényt akkor nevezünk gyök- kifejezhetőnek egy részmező felett, ha az abból kivont összes egyértékű függvény egy részmező feletti gyökökben is kifejezhető . $f$ $G$ $G$
Az egy változóban lévő polinomot bizonyos számú paramétertől függően (egyes együtthatóit meghatározva) gyökökben megoldhatónak nevezzük , ha egy folytonos és esetleg többértékű függvény gyökökkel fejezhető ki , illeszkedve a paraméterértékek halmazához. u200b\u200a megfelelő polinomgyökkészlettel .
Egy algebrai egyenletet akkor nevezünk gyökben megoldhatónak, ha meg tudunk oldani gyökben egy olyan polinomot, amely ebben az egyenletben nullával egyenlő [4] [7] .
A függvényekre és polinomokra a gyökökben való kifejezhetőség és feloldhatóság definíciójára vonatkozó összes korlátozás vonatkozik , a fent jelzett . Például a teljes valós egyenesen definiált függvény négyzetes komplex gyökökben fejezhető ki . $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f(x)={\sqrt {x-{\sqrt {x))))$

Példák

A többértékű függvény kifejezhető gyökökben , mivel mind a hat belőle kivont egyértékű függvény teljesíti a feltételt , ahol egy algebrai kifejezés , amely csak a függvény argumentumaként működő változót és komplex számokat használ. $f(x)\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ $f(x)={\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}$ $g(x)$ $g(x)={\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}$ ${\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}$
A polinom összetett négyzetgyökökben oldható meg , hiszen bármely esetén a gyökét a függvény adja meg . Ez a polinom azonban csak azzal a megkötéssel oldható meg valós gyökökben , hogy a szám a nem pozitív számok halmazához tartozik. $x^{5}+2ax^{3}+a^{2}x$ $a$ $x\mapsto 0,{\sqrt {-a}},-{\sqrt {-a}}$ $a$

Magyarázatok

Az almező megadása nélküli komplex függvény esetében általában azt feltételezik, hogy megegyezik a komplex számok azonos halmazával . $G$ $\mathbb {C}$
Fontos megjegyezni azt a tényt, hogy egy függvény gyököiben és az egyes elemek képének gyököiben való kifejezhetősége használat közben nem ekvivalens: például a második feltételt kielégítő függvény nem lehet folytonos . , míg ez a követelmény kötelező az első feltételnek megfelelőnél. $\mathbb {R}$

Általános tulajdonságok

A gyökökben kifejezhető számok és a gyökökben kifejezhető függvények olyan mezők, amelyek azokat a mezőket tartalmazzák, amelyek felett részmezőként gyökben kifejezhetők.
Minden gyökben kifejezhető komplex szám algebrai , de nem minden algebrai szám fejezhető ki gyökben. Az első állítás a racionális számok algebrai természetéből és abból a tényből következik, hogy az algebrai számok halmaza egy mező (a gyökökben kifejezhető szám definíciójában az átmenet minden lépésében az algebrai számok csak algebrai számokat generálnak ). A második állítás a következő tételből következik , amely egy olyan fokszámegyenlet létezésére vonatkozik, amely egész együtthatókat tartalmaz, és amelynek legalább az egyik gyöke nem fejezhető ki gyökökben. Hasonlóképpen, minden gyökben kifejezhető függvény algebrai , míg nem minden algebrai függvény fejezhető ki gyökben. Vagyis az algebrai számok mezője a gyökökben kifejezhető számok mezőjét tartalmazza, az algebrai függvények pedig a gyökökben kifejezhető függvények mezőjét, de fordítva nem igaz. $G_{i-1}$ $GI}$ $5$
Bármely gyökben kifejezhető függvény magába veszi a gyökben kifejezhető számhalmazokat, algebrai számokat és transzcendentális számokat ugyanazon a mezőn keresztül. Ha egy gyökben kifejezhető többértékű függvény argumentuma teljes egészében e halmazok valamelyikének számából áll, akkor a kép is beleesik. Mindazonáltal csak az utolsó két halmaz mindig teljes egészében önmaguk képe. Gyökökben kifejezhető számot kaphatunk, ha egy gyökben kifejezhető függvényt csak gyökben kifejezhetetlen számokra alkalmazunk, a következőképpen: vegyünk egy olyan fokszámú polinomot egész együtthatókkal, amelynek egyik gyöke sem fejezhető ki gyökben, és amelynek szabad tagja nem egyenlő nullával (az alább leírt Kronecker tétel alapján, mivel egy ilyen polinom alkalmas lehet például [2] ). Ekkor egy ilyen, szabad tag nélküli polinom által adott függvény csak ennek a polinomnak a gyököiben vesz fel egyenlő értéket, amelyek gyökökkel nem fejezhetők ki, míg maga a szabad tag egész szám, és nyilvánvalóan bármilyen gyökben kifejezhető. $5$ $x^{5}-4x+2$

Geometriai és trigonometriai tételek

A geometriai konstrukciók elméletének fő tétele : ha a síkon van egy hosszúságú szegmens, akkor körzővel és vonalzóval akkor és csak akkor készítünk hosszú szegmenst, ha a szám valósan megszerkeszthető (azaz kifejezhető). négyzetes valós gyökökben) [2] [1] [8] [9] . Ez azt jelenti , hogy a kör négyzetre emelésének és a kocka megkettőzésének lehetetlensége iránytűvel és vonalzóval, mivel ennek eredményeként nem megszerkeszthető valós számokat és [1] -et kapunk . $egy$ $x$ $x$ ${\sqrt {\pi ))$ ${\sqrt[ {3}]{2}}$
Általánosabb formában a fent vizsgált tétel így hangzik: adott hosszúságú szegmensekre akkor és csak akkor lehet egy körzővel és egy vonalzóval hosszú szegmenst összeállítani, ha [1] . ${\displaystyle a_{1},a_{1},\dots ,a_{n))$ $a$ $a\in \mathbb {Q} (a_{1},a_{1},\dots ,a_{n})$
Gauss-tétel : Egy szám akkor és csak akkor valós konstruálható , ahol mindegyik páronként különálló Fermat-prím . Ebből a tételből különösen az következik, hogy a szám nem valósan megszerkeszthető, vagyis nem lehet körzővel és vonalzóval megrajzolni a szög harmadrészét , tehát tetszőleges szöget [2] [1] . Hasonlóképpen bebizonyosodik, hogy egy tetszőleges szöget nem lehet tetszőleges számú egyenlő részre felosztani, amely nem kettő hatványa - ha lehetséges lenne egy ilyen felosztás, akkor lehetséges lenne olyan szögeket alkotni , amelyek csak a esetén lehetségesek . ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )))$ ${\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\dots p_{k))$ $p_{i}$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{9}}{\Big )))$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{3}}{\Big )))$ ${\displaystyle {\frac {2\pi }{a^{2))))$ ${\displaystyle a=2^{k))$

Az egyes szögek trigonometrikus függvényeihez tartozó algebrai kifejezések listája a Trigonometrikus állandók című cikkben található . A vizsgált tétel mellékeredménye, hogy a trigonometrikus függvények értékei egy egész számú fokos szögben akkor és csak akkor fejeződnek ki gyökben, ha ez a szám osztható -vel .

3

A Gauss-Wanzel-tétel is közvetlenül következik a fenti Gauss-tételből, és kimondja, hogy egy reguláris -gonakkor és csak akkor állítható elő iránytűvel és egyenes éllel , ahol mindegyikpáronként különálló Fermat-prím , vagyis akkor és csak akkor, ha koszinusz középponti szöge egyenlő, valós [2] [9] [4] konstrukciót készítünk . $n$ ${\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\dots p_{k))$ $p_{i}$ ${\frac {2\pi }{n}}\,(\mathrm {rad} )$
A fenti tények ellenére bármely szög többszörösének koszinuszát kifejezhetjük összetett gyökökben, mivel hol van az egység második gyöke a standard számozásban maga az egység után, és a szám Csebisev segítségével vagy használatával van kifejezve. polinomok . Azonban még azokban az esetekben is, amikor egy adott szög koszinusza csak tetszőleges fokú komplex gyökökben fejezhető ki, de valós négyzetekben nem, a megfelelő kifejezés gyökeinek minimális foka nem feltétlenül egyenlő a következővel: pl . Ez a szám négyzetes és köbös gyökben fejezhető ki (ebben az esetben a lehetséges kilenc közül a helyes érték megszerzéséhez a legnagyobb valós részt tartalmazó kockagyökök értékeit kell venni). $\pi \,(\mathrm {rad} )$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}={\frac {1}{2}}{\Big (}u_{2}+{\) frac {1}{u_{2}}}{\Big )))$ ${\displaystyle u_{2))$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi m}{n}}{\Big )))$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )))$ $\sin {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}{\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big ))))}$ $n$ $\cos {\Big (}{\frac {2\pi }{7}}{\Big )}={\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3 }]{\frac {7+21{\sqrt {-3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {-3}}}{2 }}}\jobb)$

Függvénytételek _

A komplex gyökökben kifejezett függvény Galois-csoportja megoldható [6] . (Ebben az esetben a "függvény Galois-csoportja" egy függvény Riemann-felületének lapjainak permutációinak csoportját jelenti, amelyet a felület elágazási pontjai körüli gyűrűpermutációk generálnak.)
Egy függvény gyökben kifejezett deriváltja is gyökben fejeződik ki, mivel a függvényekre alkalmazott algebrai kifejezésekben megengedett összes aritmetikai művelet deriváltja olyan algebrai kifejezés , amely csak ezen függvények értékeit használja, és a gyökér esetében , mértéke, mint változók:

\left({f\pm g}\right)'=f'\pm g'

\left({fg}\right)'=f'g+fg'

\left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}}

{\sqrt[{n}]{x}}'={\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{n-1))))}

Ennek az ellenkezője azonban nem igaz: például az inverz trigonometrikus függvények deriváltjai a feletti gyökökben fejezhetők ki , míg maguk az inverz trigonometrikus függvények transzcendentális függvények , azaz nem algebraiak (és minden gyökben kifejezhető függvény, mint említettük fenti , algebrai): $\mathbb {Q}$

\arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2)))).

\arccos '(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2)))).

\operatorname {arctg} '(x)={\frac {1}{\ 1+x^{2))}.

\operatorname {arcctg} '(x)=-{\frac {1}{\ 1+x^{2))}.

Polinom tételek

Egy polinom akkor és csak akkor oldható gyökökben, ha a Galois-csoportja általában oldható [10] .
Kronecker-tétel : egy egész együtthatós racionális számokban irreducibilis prímfokú egyenletnek legalább az egyik gyöke csak akkor fejezhető ki gyökben számként, ha közöttük pontosan egy vagy pontosan valós [2] [3] . Ebből, egész együtthatókkal és három valós gyökkel rendelkező irreducibilis fokú polinom megszerkesztésével (egy ilyen polinomra egy példa is szolgálhat ), azonnal levezetjük a következő tétel speciális esetét a racionális számok mezőjére : $n$ $n$ $5$ $x^{5}-4x-2$ $\mathbb {Q}$
Az Abel-Ruffini tétel , amely kimondja, hogy a nem kisebb fokú egyenletekegész együtthatókkal nem oldhatók meg általános formában (vagyis haminden együtthatójuk paraméterezett ) gyökökben. $5$
Mindazonáltal az egyenletek is megoldhatók, amelyekben a fokig terjedő egész együttható van (lásd: Lineáris egyenlet , Másodfokú egyenlet , Köbös egyenlet , Negyedik fokú egyenlet ). Ugyanakkor a lineáris egyenletek megoldhatók gyökök használata nélkül, négyzetek - csak négyzetgyök (és valós gyökök is valós), köb- és negyedfokú - csak valós négyzet és összetett köbös gyökök használatával [2] [5] . Sőt, amint az mindezen egyenletek megoldására szolgáló képletekből kitűnik (a és a hatványokat lásd Cardano képletében és Ferrari képletében ), ezek még a racionális számok területén is megoldhatók . $négy$ $3$ $négy$

Képletek fokegyenletek megoldására , ,

egy

2

3

$ax+b=0\Leftrightarrow x=-{\frac {b}{a}}$ .
$ax^{2}+bx+c=0\Leftrightarrow x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac))}{2a))$
Az egyenlet egyik megoldása a , ahol és (a kockagyökök olyan értékeit kell venni, hogy a szám egyenlő legyen a szorzatukkal). Ezzel a gyökkel rendelkező tényező kivonásával a köbegyenlet egy lineáris és egy másodfokú egyenlet szorzatává alakul, amelyek megoldásait fentebb megadtuk. $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ ${\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt ({\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{ 3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4} }+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}-{\frac {b}{3a}}$ $p={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}$ $q={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}$ $-{\frac {p}{3}}$

A fokegyenlet egyik megoldásának teljes képlete

3

${\sqrt[{3}]{\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}- {\frac {d}{2a}}\right)+{\sqrt {\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^ {2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a ^{2}}}\jobbra)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+ {\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)-{\sqrt {\left(-{\frac {b^{3}}{27a^ {3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\jobbra)^{2}+\bal({\frac {c}{3a }}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\jobbra)^{3}}}}}-{\frac {b}{3a}}$

A teljes formában végzett diploma képletei túl nehézkesek. $négy$

Az egyenletek egy szűkebb osztálya, az úgynevezett reciprok egyenletek , gyökökben megoldható a fokig bezárólag. A páratlan fokú ismétlődő polinomok alakja és egy zárójel és néhány páros fokú ismétlődő egyenlet szorzata , és ez így néz ki: fok . A fenti Abel-Ruffini tétel szerint egy ilyen egyenlet gyökben oldható meg -ig , ezért a reciprok egyenlet gyökökben a [11] fokig megoldható . $9$ $2n+1$ $\sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))$ $(x+\lambda )$ $\sum _{k=0}^{n}(a_{nk}(x^{n+k}+x^{nk}\lambda ^{k}))$ $x\neq 0\Leftrightarrow \lambda ,a_{0}\neq 0$ ${\displaystyle x^{n}\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\) lambda }{x}}{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )))$ ${\displaystyle {\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )))$ $n$ $n=4$ $2\cdot 4+1=9$
Könnyű indukcióval is ellenőrizni, hogy az olyan alakú polinomok , ahol legfeljebb fokszámú polinomok, általános alakban oldhatók-e meg gyökökben . Az alak speciális esetét , ahol egy fokszámú polinom, bikvadratikus egyenletnek nevezzük , és az alakba írva négy gyöke van, amely egyenlő . $n$ $P_{1}(P_{2}(\dots P_{n}(x)\dots ))$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots P_{n))$ $négy$ $P(x^{2})$ $P$ $2$ $ax^{4}+bx^{2}+c$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac))}{2a))))$
Legyen egy irreducibilis polinom a mező felett , és legyen a dekompozíciós mezője . Egy polinom akkor és csak akkor oldható meg négyzetgyökökben (vagyis egy mező feletti lineáris tér dimenziója egyenlő valamilyen természetes ) [1] . $f(x)$ $K$ $L$ $f(x)$ $\dim _{K}L=2^{n}$ $L$ $K$ $2^{n}$ $n$

A kifejezés eredete

A „ gyökök ” alatt az összes szóban forgó kifejezésben egy egész fokozat matematikai gyökereit értjük – ez a szó a latin „radix” szóból származik , amelynek többek között ugyanaz a jelentése. Mivel az algebrai kifejezésekben is megengedett összeadási és szorzási műveletek inverzeikkel együtt formálisan a hatványozás előtt vannak definiálva, és így a gyök is, ezért a gyök, mint a "szélsőséges" megengedett művelet, szerepel az ingatlan.

Lábjegyzetek

↑ Itt a bejegyzés az elemet tartalmazó minimális mezőkiterjesztést jelöli , vagyis az összes elemet tartalmazó kiterjesztés metszéspontját . $G_{i-1}(\alpha _{i})$ $G_{i-1}$ $\alpha_i$ $G_{i-1}$
↑ Itt a bejegyzés az elemet tartalmazó minimális mezőkiterjesztést jelöli , vagyis az összes elemet tartalmazó kiterjesztés metszéspontját . $K({\sqrt[{n}]{a)))$ $K$ ${\sqrt[{n}]{a))$ $K$
↑ Itt a bejegyzés az elemet tartalmazó minimális mezőkiterjesztést jelöli , vagyis az összes elemet tartalmazó kiterjesztés metszéspontját . $K_{i-1}(f_{i})$ ${\displaystyle K_{i-1))$ $f_{i}$ ${\displaystyle K_{i-1))$

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 5 6 7 E. Bunina "Elválasztható polinomok. Galois-csoport. Kifejezhetőség gyökökben. Megoldhatatlan szerkesztési problémák." . Letöltve: 2020. május 5. Az eredetiből archiválva : 2018. szeptember 22. (határozatlan)
↑ 1 2 3 4 5 6 7 A. Skopenkov "Még néhány bizonyíték a könyvből: egyenletek megoldhatósága és megoldhatatlansága gyökökben" . Letöltve: 2020. május 5. Az eredetiből archiválva : 2021. január 20. (határozatlan)
↑ 1 2 V.Tikhomirov "Ábel és nagy tétele" (Kvant folyóirat, 2003, január) . Letöltve: 2020. május 5. Az eredetiből archiválva : 2022. január 20. (határozatlan)
↑ 1 2 3 Kulikov L.Ya. "Algebra és számelmélet. Tankönyv pedagógiai intézetek számára"
↑ 1 2 "Egyenletek megoldása egy radikális használatával" (Városok Tornája nyári konferenciája) . Letöltve: 2020. május 5. Az eredetiből archiválva : 2022. január 20. (határozatlan)
↑ 1 2 Alekseev V.B. "Ábel-tétel a problémákban és megoldásokban" . Letöltve: 2020. május 5. Az eredetiből archiválva : 2020. augusztus 6.. (határozatlan)
↑ Egyenletek megoldása gyökökben (Interaktív információs és tanácsadó környezet) . Letöltve: 2020. május 5. Az eredetiből archiválva : 2016. augusztus 10. (határozatlan)
↑ A. Adler "A geometriai konstrukciók elmélete" (elérhetetlen link) . Letöltve: 2020. május 5. Az eredetiből archiválva : 2020. május 27. (határozatlan)
↑ 1 2 M. Balandin "Bevezetés az iránytűvel és vonalzóval ellátott konstrukciókba"
↑ Előadás a Közgazdasági Felsőoktatásban . Letöltve: 2020. május 17. Az eredetiből archiválva : 2017. március 29. (határozatlan)
↑ S.N. Olechnik, M.K. Potapov, P.I. Pasichenko. "Algebra és az elemzés kezdetei. Egyenletek és egyenlőtlenségek"

Kifejezhetőség gyökökben

Számokhoz

Elsődleges definíciók

Egyéb meghatározások

Példák

Magyarázatok

Függvényekhez , polinomokhoz és egyenletekhez _

Elsődleges definíciók

Egyéb meghatározások

Példák

Magyarázatok

Általános tulajdonságok

Geometriai és trigonometriai tételek

Függvénytételek _

Polinom tételek

A kifejezés eredete

Lábjegyzetek

Jegyzetek

Irodalom