Biquaternion

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 1-jén felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A bikvaterniók a közönséges (valódi) kvaterniók komplexitása (kiterjesztése) .

Definíció

A bikvaterniók " " alakú számhalmazokként írhatók le , ahol w, x, y, z egy vagy másik "speciális komplex szám ". A bevezetés másik módja a Cayley-Dixon eljárás : ezek " " alakú hiperkomplex számok , ahol a, b tetszőleges kvaterniók , I pedig a " képzetes kiterjesztési egység". A bikvaternióknak három különböző típusa ismert, attól függően, hogy ez az ábrázolás milyen típusú „komplex” számokon alapul (más szóval, milyen tulajdonságokkal rendelkezik az „ I ” szám bővíthető szorzása): $w+xi+yj+zk$ $a+Ib$

elliptikus (közönséges) (ha ); $I^{2}=-1$
parabolikus (kettős) (ha ); $I^{2}=0$
hiperbolikus (dupla) (ha ) $I^{2}=+1.$

Előzmények és alkalmazások

Hamilton 1844-ben írt a közönséges biquaterniókról (lásd Proceedings of the Royal Irish Academy 1844 and 1850, 388. o.). E bikvaterniók legjelentősebb támogatói közé tartozik Alexander Macfarlane , Arthur W. Conway , Ludwik Silberstein és Cornelius Lanczos . A bikvaterniós egységkváziszféra a Lorentz-csoport reprezentációját adja , amelyen a speciális relativitáselmélet alapul .

A kettős kvaterniókat William Clifford tanulmányozta . A kettős kvaterniók műszeresen a közönséges kvaterniók nem szabványos elemzését biztosítják . Továbbá, ha nincs megadva, közönséges biquaterniókról beszélünk.

Tulajdonságok

A „biquaterniók algebrája” az algebrák tenzorszorzata ⊗ (a valós számokat átvéve ), ahol a komplex számok egyik vagy másik algebrája, és a közönséges (valós) kvaterniók algebrája . -algebraként a bikvaterniók izomorfok a 2x2 M 2 ( ) komplex mátrixok algebrájával. $\mathbb {C}$ $\mathbb {H}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {H}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$

Mátrix ábrázolás

Három olyan komplex mátrix létezik, amelyeknek egy képzeletbeli egysége van, amelyekre: = Ezen túlmenően, ezeknek a mátrixoknak a négyzete „mínusz az azonosságmátrix ”, és ha ezeknek a mátrixoknak a szorzatát a számok szorzatával hasonlítjuk össze . Azt kapjuk, hogy az ezen mátrixok által generált mátrixcsoport részcsoportja izomorf a kvaterniócsoporttal . Ezért ha egy mátrixhoz bikvaterniót rendelünk , akkor egy adott 2×2 komplex mátrixhoz mindig léteznek ilyen formában komplex mennyiségek. Más szóval, a komplex mátrixok gyűrűje izomorf [1] a (közönséges) biquaterniók gyűrűjével . $h$ ${\begin{pmatrix}h&0\\0&-h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}0&h\\h&0\end{pmatrix}}.$ $ij=k;ji=-k$ ${\begin{pmatrix}u+iv&w+ix\\-w+ix&u-iv\end{pmatrix}}$ $q=u+iv+jw+kx$ $u,v,w,x$

Skalárvektoros ábrázolás

Egy tetszőleges biquaternió egy komplex értékű szám ("skalár") és egy háromdimenziós vektor összege (kötege) [2] : $A$ $\alpha =Sc(A)$ $\mathbf {a} =Vc(A)$

A=\alpha +\mathbf {a} =(\alpha ,\mathbf {a} )

Kétféle skalárvektoros ábrázolás lehetséges, két bikvaternió szorzatának típusától függően. Mindkét ábrázolás egyenértékű. A szabványos ábrázolás esetén a termék és alakja [3] : $A=(\alpha ,\mathbf {a} )$ $B=(\beta ,\mathbf {b} )$

AB=(\alpha \beta -(\mathbf {a} \mathbf {b} ),\alpha \mathbf {b} +\beta \mathbf {a} +[\mathbf {a} \mathbf {b } ])

ahol és a skaláris és vektorszorzatok , ill. $(\mathbf {a} \mathbf {b} )$ $[\mathbf {a} \mathbf {b} ]$

Komplex ábrázolás esetén [4] :

AB=(\alpha \beta +(\mathbf {a} \mathbf {b} ),\alpha \mathbf {b} +\beta \mathbf {a} +i[\mathbf {a} \mathbf { b} ])

Az így definiált szorzat két valódi bikvaternióra általában komplex értékű bikvaterniót ad.

A bikvaternió konjugált az adotthoz : $A=(\alpha ,\mathbf {a} )$

{\overline {A}}=(\alpha ,-\mathbf {a} )

A bikvaternió modulusának négyzete egy komplex szám: $A=(\alpha ,\mathbf {a} )$

|A|^{2}=A{\overline {A}}={\overline {A}}A=\alpha ^{2}-\mathbf {a} ^{2}

Ez utóbbi multiplikatív tulajdonsággal rendelkezik:

|AB|^{2}=|A|^{2}|B|^{2}

A bikvaterniók szorzatára alkalmazott konjugáció és összetett ragozás műveletei megváltoztatják a faktorok sorrendjét:

{\overline {AB}}={\overline {B}}{\overline {A}}

(AB)^{*}=B^{*}A^{*}

Az összes bikvaterniót nullkvaterniókra osztjuk fel - nulla négyzetmodulussal, a többit pedig nem nulla biquaternionokra. Ezen osztályok mindegyike zárva van a szorzás művelete alatt.

Subalgebrák

Ha a (közönséges) bikvaterniókat tekintjük algebraként a valós számok mezején , akkor a halmaz képez alapot , ennek az algebrának nyolc valós térdimenziója van . Ráadásul minden elem négyzete egyenlő . Ez azt jelenti, hogy a valós részalgebra , amelyet , alkot, izomorf a gyűrűvel , amelyet kettős számok alkotnak (amely algebrai szerkezete hasonló az egységhiperbola fölé szerkesztetthez ). Az elemek ugyanazokat a részalgebrákat határozzák meg. $\mathbb {R}$ $\{1,I,i,Ii,j,Ij,k,Ik\}$ $Ii,Ij,Ik$ $+1$ $\lkapcsos zárójel x+y(Ii):x,y\az R\rkapcsos zárójelben$ $Ij,Ik$

Az elemek az bikomplex számokkal izomorf részalgebrát alkotnak . $\lbrace x+yj:x,y\in C\rbrace$

A részalgebra harmadik fajtája, az ún. „ koquaterniók ” keletkezik , mivel a valós lineáris altér bázissal zárt szorzásban (végül is , . A jelzett bázis a négyzet diédercsoportját alkotja, a koquaterniók pedig izomorfak a 2x2 valós mátrixok algebrájával. $Ij,Ik$ ${\displaystyle \{1,i,Ij,Ik\))$ $Ij\cdot Ik=-i$

A kvantummechanika és a spinoralgebra a bikvaterniókat (vagy azok tagadását) úgy kezeli, hogy Pauli-mátrixnak tekinti őket . $Ii,Ij,Ik$ $M(2,C)$

Jegyzetek

↑ Leonard Dickson (1914) Lineáris algebrák , 13. § "A komplex kvaternió- és mátrixalgebrák ekvivalenciája", 13. o.
↑ L. Silberstein, A relativitás kvaternio formája , Philos. Mag. S., 6, Vol. 23, 137. sz., 790-809. o., 1912.
↑ A. A. Alekseeva, Biquaterniók differenciálalgebra. Kéthullámú egyenletek Lorentz-transzformációi , Mathematical Journal, Almaty, Vol. 10., 35. szám, 2010, 33-41
↑ S. Ya. Kotkovsky, Null vektor algebra , Hiperkomplex számok a geometriában és a fizikában, 12:2(23), 2015, 59-172.

Linkek

Biquaternions (közönséges) - népszerű kiállítás
Vladislav V Kravchenko Alkalmazott kvaternio analízis . Heldermann 2003, - 134p. ISBN 3-88538-228-8 ( lásd )
Biquaterniók - a bikvaterniók alapfogalmai és tulajdonságai, a JavaScript programozási nyelvben való alkalmazásuk példájával.

Numerikus rendszerek
Megszámlálható készletek	Természetes számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Egész számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Racionális ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrai ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Időszakok Kiszámítható Számtan
Valós számok és kiterjesztéseik	Igazi ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaterniók ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-számok (oktávok, oktonok) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternionok Dupla Hiperkomplex Szuperreális Hiperanyag szürreális
Numerikus bővítő eszközök	Cayley-Dixon eljárás Frobenius tétel Hurwitz-tétel
Egyéb számrendszerek	tőszámnevek Sorszámok (transzfinit, sorszámok) p-adic Természetfeletti számok intervallum számok
Lásd még	dupla számok Irracionális számok transzcendentális számok számsugár Biquaternion