E₈ (matematika)

$E_8$ a legnagyobb speciális egyszerű hazugság csoport . Wilhelm Killing fedezte fel 1888-1890-ben, és modern elnevezése az egyszerű Lie-algebrák osztályozásából származik , amelyet Elie Cartan és Wilhelm Killing vezetett be . Az osztályozás az egyszerű Lie-algebrák négy végtelen családját különbözteti meg , , , , , és öt speciális esetet, amelyek jelölése E 6 , E 7 , E 8 , F 4 és G 2 . $E_8$ $A_{n}$ $B_{n}$ $C_{n}$ $D_{n}$

Leírás

$E_8$ 8-as ranggal és 248-as dimenzióval rendelkezik ( változatként ). A gyökérrendszer vektorai nyolc dimenzióban vannak meghatározva.

Dynkin séma

Az E 8 Dynkin-séma a következő formában van

Ez a séma röviden leírja a gyökérrendszer szerkezetét. Minden séma csomópont egy egyszerű gyökér. A két egyszerű gyökeret összekötő vonal azt jelenti, hogy 120°-os szöget zárnak be egymással. Két egyszerű gyök, amelyet nem köt össze egyenes, merőleges.

Cartan mátrix

Az r rendű gyökérrendszer Cartan-mátrixa egy olyan mátrix , amelynek elemeit egyszerű gyökök határozzák meg a következőképpen: $r\szer r$

A_{{ij))=2{\frac {(\alpha _{i},\alpha _{j})}{(\alpha _{i},\alpha _{i)))))

hol van az euklideszi skalárszorzat és egyszerű gyökök. A mátrixelemek nem függnek az egyszerű gyökök megválasztásától (megrendelésre). $(\cdot, \cdot)$ $\alpha_i$

Az E 8 -hoz tartozó Cartan-mátrix a következővel rendelkezik

\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&-1&2&-1&0&0&0-0&0&0&0&0-1\&0&0&0&0 1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&2\end{smallmatrix}}\jobbra]

Ennek a mátrixnak a determinánsa az 1.

Lásd még

Linkek

"Nos, nagyon nagy eredmény" , Computerra , Galaktion Andreev , 2007. április 11 .
"A teoretikusok betörnek a 248 dimenziós térbe" , Cnews , 2007. március 20 .

Kivételes egyszerű Lie csoportok
G₂ F4 E₆ E₇ E₈

Csoportelmélet
Alapfogalmak	Alcsoport Normál alcsoport Tényezőcsoport Munka közvetlen félig közvetlen ingyenes
Algebrai tulajdonságok	kommutatív csoport Ciklikus csoport rendelt csoport Transform Group Megoldható csoport Schreier Lemmája Lagrange-tétel Sylow tételei Egyszerű véges csoportok osztályozása
véges csoportok	Véges ciklikus csoport C n Szimmetrikus csoport S n Diéder csoport D n Váltakozó csoport A n Klein négyes csoport Mathieu csoportok M11_ _ M12_ _ M22 _ M23_ _ M24 _ Conway csoportok Co 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankó csoportok J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Fisher csoportok F22_ _ F 23 F24 _ Szörny (M)
Topológiai csoportok	Hazugságcsoportok O(n) ortogonális csoport Speciális ortogonális csoport SO(n) U(n) egységes csoport Különleges egységes csoport SU(n) Szimlektikus csoport Sp(n) Kivételes Egyszerű Lorentz csoport Poincaré csoport
Algoritmusok csoportokon	Schreier – Sims Todd – Coxeter Fourier transzformáció