A kereszteződések száma (csomóelmélet)

A csomóelméletben a csomó metszéspontszáma a  legkisebb számú metszéspont bármely csomódiagramban. A metszéspontok száma a csomóinvariáns .

Példák

Példaként említjük, hogy a triviális csomónak nulla keresztezése van, a trefoilnak három, a nyolcnak pedig négy keresztezése van. Nincs több négy vagy kevesebb csomópont, és csak két csomópont van öt csomóponttal, de a meghatározott csomópontokkal rendelkező csomópontok száma gyorsan növekszik a csomópontok számának növekedésével.

Táblázatok

Az egyszerű csomók táblázatait hagyományosan a metszéspontok számával indexelik, további leírással, hogy a csomóhalmaz adott számú metszéspontú csomóját értjük (ez a sorrend nem alapul semmilyen tulajdonságon, kivéve a tóruszcsomókat , amelyeknél először a csavart csomók szerepelnek). A lista a következőkkel kezdődik: 3 1 (shamrock), 4 1 (nyolc), 5 1 , 5 2 , 6 1 és így tovább. Ez a sorrend nem változott jelentősen azóta, hogy Tait 1877-ben közzétette a táblázatot [1] .

Additivitás

Nagyon kevés előrelépés történt a metszésszám viselkedésének megértésében a csomópontokon végzett elemi műveletekben. A nagy nyitott kérdés az, hogy a metszéspontok száma additív-e az összefűzési művelethez képest . Az is várható, hogy a K csomópont műholdcsomópontjának több metszéspontja lesz, mint K -nek , de ez nem bizonyított.

A csomók összefűzése metszéspontjai számának additivitása speciális esetekre bizonyított, például ha az eredeti csomók váltakoznak [2] vagy ha az eredeti csomók tórikusak [3] [4] . Mark Luckenbay bizonyította, hogy létezik olyan állandó N  > 1, hogy , de a normál felületeket használt módszere nem tudja N -t 1-re javítani [5] .

Alkalmazás a bioinformatikában

Furcsa kapcsolat van a csomók keresztezéseinek száma és a DNS- csomók fizikai viselkedése között . Egyszerű DNS-csomók esetében a keresztezések száma jó előrejelzője a DNS-csomó relatív sebességének agaróz gélelektroforézissel . Alapvetően a nagyobb számú keresztezés nagyobb relatív sebességet eredményez [6] .

Kapcsolódó invariánsok

A metszéspontok átlagos számának és a metszéspontok aszimptotikus számának rokon fogalmai vannak . Mindkét fogalom meghatározza a metszéspontok szabványos számának határait. Van egy olyan sejtés, hogy a metszéspontok aszimptotikus száma megegyezik a metszéspontok számával.

Egyéb numerikus csomóinvariánsok közé tartozik a hidak száma , az összekapcsolási tényező , a szegmensek száma és a feloldási szám .

Jegyzetek

  1. ↑ Tait, 1898 , p. 273-347.
  2. ↑ Adams, 2004 , p. 69.
  3. ↑ Gruber, 2003 .
  4. ↑ Diao, 2004 , p. 857–866.
  5. ↑ Lackenby, 2009 , p. 747-768.
  6. ↑ Jonathan, 1996 , p. 39-58.

Irodalom