Rotor (differenciálműködtető)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 5-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 21 szerkesztés szükséges .

Rotor , forgás vagy a whirlwind egy vektoros differenciáloperátor egy vektormező felett .

Különböző módon jelezve:

$\operátornév{rot}$ (leggyakoribb az orosz nyelvű [1] irodalomban),
$\operátornév{curl}$ (az angol nyelvű irodalomban, Maxwell javaslata [2] ),
$\mathbf {\nabla } \times$ — a nabla differenciális operátorként vektormezővel vektoriálisan megszorozva , vagyis vektormező esetén a forgórész operátor ilyen formában írt műveletének eredménye a nabla operátor és ennek a mezőnek a vektorszorzata lesz: . $\mathbf {F}$ $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F}$

A forgórész operátorának egy adott vektormezőre gyakorolt hatását mezőrotornak vagy egyszerűen rotornak nevezzük , és egy új vektormező [3] : $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$

\operátornév {rot} \mathbf {F} \equiv \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F}

A mező (a vektor hossza és iránya a tér minden pontjában) bizonyos értelemben ( lásd alább ) jellemzi a mező forgási komponensét a megfelelő pontokban. $\operátornév {rot} \mathbf {F}$ $\operátornév {rot} \mathbf {F}$ $\mathbf {F}$

Definíció

A vektormező forgórésze egy olyan vektor, amelynek minden irányú vetülete a vektormező körvonal mentén történő keringésének határa , amely egy sík terület éle, amely erre az irányra merőleges, és ennek értékéhez képest. terület (terület), amikor a terület mérete nullára hajlik, és maga a terület [4] pontba zsugorodik : $\operatorname {rot} \mathbf {a}$ $\mathbf {a}$ $\operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a}$ $\mathbf n$ $L$ $\Delta S$

\operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\oint \limits _{L}\mathbf {a\ cdot \,dr} }{\Delta S))

A kontúr bejárási iránya úgy van megválasztva, hogy az irányba nézve a kontúr az óramutató járásával megegyező irányban haladjon [5] . $\mathbf n$ $L$

Az így definiált művelet szigorúan véve csak a háromdimenziós tér feletti vektormezőkre létezik. Az egyéb dimenziókra vonatkozó általánosításokat lásd alább .

Alternatív definíció lehet egy differenciális operátor közvetlen számítási definíciója, amely -re redukál

\operatorname {rot} \mathbf {a} =\nabla \times \mathbf {a}

amelyek az alábbiak szerint meghatározott koordinátákkal írhatók fel .

Néha találkozhatsz egy ilyen alternatív [6] definícióval [7]

\operátornév {rot} \mathbf {a} {\Big |}_{O}=\lim _{S\to O}{\frac {\oint \limits _{S}[\mathbf {a} \times d\mathbf {S} ]}{V}}

, hol van az a pont, ahol a mező forgórésze meghatározásra kerül ,

O

\mathbf {a}

S

- valamilyen zárt felület, amely belsejében egy pontot tartalmaz, és a határban összezsugorodik,

O

d\mathbf {S}

ennek a felületnek a vektora, amelynek hossza megegyezik a felületelem területével, és egy adott pontban merőleges a felületre, a jel vektorszorzatot jelöl,

\szor

V

a felületen belüli térfogat .

S

Ez az utóbbi definíció olyan, hogy azonnal megadja a rotorvektort, anélkül, hogy a három tengelyen külön kellene meghatározni a vetületeket.

Intuitív kép

Ha a gáz (vagy folyadékáramlás) sebességmezője, akkor az áramlásban lévő (és a gáz vagy folyadék mozgása által magával ragadott) nagyon kicsi és könnyű por (vagy labda) szögsebesség-vektorával arányos vektor; bár a labda közepe kívánt esetben rögzíthető, csak úgy, hogy szabadon foroghasson körülötte). $\mathbf {v} (x,y,z)$ $\operátornév {rot} \mathbf {v}$

Pontosabban , hol van ez a szögsebesség. $\operatorname {rot} \mathbf {v} =2{\boldsymbol {\omega }}$ ${\boldsymbol {\omega ))$

Ennek a ténynek az egyszerű illusztrációját lásd alább .

Ez a hasonlat meglehetősen szigorúan vonható ( lásd alább ). A fentebb megadott forgalmi alapdefiníció egyenértékűnek tekinthető az így kapott definícióval.

Kifejezés meghatározott koordinátákban

A rotor képlete derékszögű koordinátákkal

Egy háromdimenziós derékszögű koordinátarendszerben a rotort (a fenti definíció szerint) a következőképpen számítjuk ki (itt egy vektormezővel jelöljük derékszögű komponensekkel , és derékszögű koordináták ortjai ): $\mathbf {F}$ $(F_{x},F_{y},F_{z})$ $\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z$

\operatorname {rot} (F_{x}\mathbf {e} _{x}+F_{y}\,\mathbf {e} _{y}+F_{z}\mathbf {e} _{ z})={}

= \left( \partial_y F_z - \partial_z F_y \right) \mathbf e_x+ \left( \partial_z F_x - \partial_x F_z \right) \mathbf e_y+ \left( \partial_x F_y \right) - F \partial \right ekv

\equiv \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {e } _{x}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf { e} _{y}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e}_{z}

vagy

(\operátornév {rot} \mathbf {F} )_{x}=\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\equiv {\frac {\partial F_ {z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}

(\operátornév {rot} \mathbf {F} )_{y}=\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\equiv {\frac {\partial F_ {x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}

(\operátornév {rot} \mathbf {F} )_{z}=\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\equiv {\frac {\partial F_ {y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}

(amely alternatív definíciónak tekinthető, lényegében egybeesik a szakasz eleji definícióval, legalábbis azzal a feltétellel, hogy a mezőkomponensek differenciálhatók).

A kényelem kedvéért formálisan ábrázolhatjuk a rotort a nabla operátor (bal oldalon) és a vektormező vektorszorzataként :

\operatorname {rot} \mathbf {F} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\partial _{x}\\\partial _{y}\\ \partial _{z}\end{pmatrix}}\times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e } _{z}\\\részleges _{x}&\partial _{y}&\partial _{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}

(az utolsó egyenlőség formálisan a vektorszorzatot reprezentálja determinánsként ).

A forgórész képlete görbe vonalú koordinátákban

A 3D térben tetszőleges görbe vonalú koordinátákra alkalmas, kényelmes általános kifejezés a rotor számára a Levi-Civita tenzor használata (felsőbb indexek, alsó indexek és Einstein összegzési szabálya segítségével ):

{\displaystyle (\operátornév {rot} \mathbf {v} )_{i}=\varepsilon _{ijk}g^{jm}\nabla _{m}v^{k))

ahol a Levi-Civita tenzor koordináta jelölése, beleértve a faktort is , a metrikus tenzor a felső indexekkel való ábrázolásban , és a vektor kontravariáns koordinátáinak kovariáns deriváltjai . $\varepsilon_{ijk}$ ${\sqrt {g))$ $g^{jm}$ $g\equiv \det(g_{rs})$ ${\displaystyle \nabla _{m}v^{k))$ ${\mathbf v}$

Ez a kifejezés a következőképpen is átírható:

{\displaystyle (\operátornév {rot} \mathbf {v} )^{n}=g^{ni}\varepsilon _{ijk}g^{jm}\nabla _{m}v^{k))

A forgórész képlete merőleges görbe koordinátákban

\operátornév {rot} \mathbf {A} =\operátornév {rot} (\mathbf {q_{1}} A_{1}+\mathbf {q_{2}} A_{2}+\mathbf {q_ {3}}A_{3})=

{}={\frac {1}{H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{3}H_{3 })-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{2}H_{2})\right]\mathbf {q_{1}} \ +

{}+{\frac {1}{H_{3}H_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{1}H_{1 })-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{3}H_{3})\right]\mathbf {q_{2}} \ +

{}+{\frac {1}{H_{1}H_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{2}H_{2 })-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{1}H_{1})\right]\mathbf {q_{3}}

{}={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}{\begin{vmatrix}\mathbf {(} H_{1}{e}_{1}) &\mathbf {(} H_{2}{e}_{2})&\mathbf {(} H_{3}{e}_{3})\\{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{1))}&{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{2))}&{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{3 }}}\\(A_{1}H_{1})&(A_{2}H_{2})&(A_{3}H_{3})\end{vmatrix}}

hol vannak a Sánta együtthatók . $Szia$

Általánosítások

A görbület általánosítása vektor (és pszeudovektor) mezőkre tetszőleges méretű tereken (feltéve, hogy a tér dimenziója egybeesik a mezővektor dimenziójával) egy antiszimmetrikus tenzormező kettes vegyértékű, amelynek összetevői: egyenlő:

(\operátornév {rot} \mathbf {F} )_{ij}=\partial _{i}F_{j}-\partial _{j}F_{i}\equiv {\frac {\partial F_ {j}}{\partial x_{i}}}}-{\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}

Ugyanez a képlet írható fel a külső szorzatra a nabla operátorral:

\operátornév {rot} \mathbf {F} =\nabla \wedge \mathbf {F}

Kétdimenziós síkhoz hasonló képlet használható pszeudoszkaláris szorzattal (egy ilyen göndör pszeudoszkaláris lesz, és értéke egybeesik a hagyományos vektorszorzat e síkra való normális vetületével, ha be van ágyazva egy háromdimenziós euklideszi tér).

Ha egy komplex tér szerkezetét (koordinátával) egy kétdimenziós valós térre vezetjük be (koordinátákkal és ) és a kétdimenziós vektormezőket komplex értékű függvényekként írjuk fel , akkor egy komplex változóra vonatkozó differenciálást alkalmazunk. $x$ $y$ $z=x+iy$ $F z)$

{\frac {\partial {}}{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {}}{\partial x}}-i{ \frac {\partial {}}{\partial y}}\right)

a rotor és a divergencia (és azok valós számok maradnak) a következőképpen írhatók fel:

\operatorname {rot} f=2\operatorname {Im} {\frac {\partial f}{\partial z))

\operatorname {div} f=2\operatorname {Re} {\frac {\partial f}{\partial z))

Alaptulajdonságok

A rotor működése lineáris a konstans mező felett: bármilyen vektormezőre és és bármilyen számra (konstans) és $\mathbf {F}$ $\mathbf {G}$ $a$ $b$

\operatorname {rot} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\operatorname {rot} \mathbf {F} +b\operatorname {rot} \mathbf {G}

Ha egy skaláris mező (függvény), és vektor, akkor: $\varphi$ $\mathbf {F}$

\operátornév {rot} (\varphi \mathbf {F} )=\operátornév {grad} \varphi \times \mathbf {F} +\varphi \operátornév {rot} \mathbf {F}

\nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\times \mathbf {F} +\varphi (\nabla \times \mathbf {F} )

Ha a mező potenciális , akkor a forgórésze nulla (a mező irrotációs): $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$

\mathbf {F} =\operátornév {grad} \varphi \implies \operatorname {rot} \mathbf {F} ={\boldsymbol {0))

Ez fordítva igaz lokálisan [8] : ha a mező irrotációs, akkor lokálisan (megfelelően kis területeken) potenciális (vagyis van egy skaláris mező , ami a gradiense lesz): $\varphi$ $\mathbf {F}$

\operátornév {rot} \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}\implies \mathbf {F} =\operátornév {grad} \varphi

Így a különböző vektormezőknek ugyanaz a rotorja lehet. Ebben az esetben szükségszerűen egy irrotációs térrel (vagyis lokálisan, valamely skalármező gradiensével) fognak különbözni.

A rotor divergenciája nulla (a forgórész mező divergenciamentes):

\operatorname {div} \operatorname {rot} \mathbf {F} =0

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0

A fordított tulajdonság lokálisan is fennáll - ha a mező divergenciamentes, akkor lokálisan egy mező rotorja , amelyet vektorpotenciálnak neveznek : $\mathbf {F}$ $\mathbf {G}$

\operátornév {div} \mathbf {F} =0\implies \mathbf {F} =\operátornév {rot} \mathbf {G}

Két vektormező keresztszorzatának divergenciáját a rotorjukban fejezzük ki a következő képlettel:

\operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\operátornév {rot} \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot \operátornév {rot} \mathbf {G}

Így, ha a és irrotációs vektormezők, akkor vektorszorzatuk divergenciamentes lesz, és lokálisan vektorpotenciállal fog rendelkezni. Például, ha , és , akkor könnyű megtalálni a vektorpotenciált :

F

G

\mathbf {F} =\nabla f

\mathbf {G} =\nabla g

\mathbf {F} \times \mathbf {G}

\mathbf {F} \times \mathbf {G} =\operátornév {rot} (f\nabla g)

. Lokálisan egy 3D tartományban minden divergenciamentes vektormező két gradiens keresztszorzata.

A forgórész görbülete egyenlő a divergencia gradiensével mínusz a laplaci:

\operátornév {rot} \operátornév {rot} \mathbf {F} =\operátornév {grad} \operátornév {div} \mathbf {F} -\Delta \mathbf {F}

A mezők vektorszorzatának rotorja egyenlő:

\operatorname {rot} (\mathbf {F\times G} )=(\operatorname {div} \mathbf {G} )\mathbf {F} -(\operatorname {div} \mathbf {F} )\ mathbf {G} +\nabla _{\mathbf {G} }\mathbf {F} -\nabla _{\mathbf {F} }\mathbf {G}

Fizikai értelmezés

Amikor egy folytonos közeg mozog , sebességeinek eloszlását (vagyis a folyadékáramlási sebességmezőt) az O pont közelében a Cauchy-Helmholtz képlet adja meg:

\mathbf {v} (\mathbf {r} )=\mathbf {v} _{O}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} +\nabla \varphi +o(\ mathbf {r} )

ahol a közeg elemének szögelfordulásának vektora a pontban , és a koordináták másodfokú alakja , a közeg elemének deformációs potenciálja. ${\boldsymbol {\omega ))$ $O$ $\varphi$

Így a folytonos közeg mozgása egy pont közelében transzlációs mozgásból (vektor ), forgó mozgásból (vektor ) és potenciális mozgásból – deformációból (vektor ) áll. A forgórész műveletét a Cauchy- Helmholtz az egyenlőségiképletre alkalmazva azt kapjuk, hogy abban a pontban $O$ $\mathbf {v} _{O}$ ${\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$ $\nabla\varphi$ $O$ $\operatorname {rot} \mathbf {v} =2{\boldsymbol {\omega }}$

Intuitív képként, ahogy fentebb leírtuk, itt használhatja az áramlásba dobott kis porszem forgásának gondolatát (amelyet az áramlás magával ragad, észrevehető zavarása nélkül), vagy egy kis porszem forgását. egy áramlásba helyezett fix tengelyű (tehetetlenség nélkül, az áramlás által forgatva, észrevehetően anélkül, hogy torzítaná) egyenes (nem spirális) lapátokkal. Ha az egyik vagy a másik, ha ránézünk, az óramutató járásával ellentétes irányban forog, akkor ez azt jelenti, hogy az áramlási sebességmező rotorvektora ezen a ponton pozitív vetületet mutat felénk.

A Kelvin-Stokes képlet

Egy vektor keringése egy zárt körvonal mentén, amely egy bizonyos felület határa, megegyezik a vektor forgórészének ezen a felületen keresztüli áramlásával :

\oint \limits _{\partial S}\mathbf {F} \cdot \,\mathbf {dl} =\int \limits _{S}(\operátornév {rot} ~\mathbf {F} )\ cdot \mathbf {dS}

A sík felületre vonatkozó Kelvin-Stokes-képlet speciális esete a Green-tétel tartalma .

Példák

Ebben a fejezetben a (téglalap alakú) derékszögű koordináták tengelye mentén lévő egységvektorokhoz a jelölést használjuk. $\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z.$

Egy egyszerű példa

Tekintsünk egy vektormezőt a koordinátáktól függően, és így: $\mathbf {F}$ $x$ $y$

\mathbf{F}(x,y)=y\mathbf e_x - x \mathbf e_y

Ezzel a példával kapcsolatban könnyen belátható, hogy hol van a sugárvektor , vagyis a mező egy egységnyi szögsebességgel forgó merev test pontjainak sebességterének tekinthető. , a tengely negatív irányába irányítva (vagyis az óramutató járásával megegyező irányba, ha "felülről" nézünk - a tengely ellenében ). Intuitív módon többé-kevésbé nyilvánvaló, hogy a mező az óramutató járásával megegyező irányban csavarodik. Ha egy ilyen sebességgel áramló (vagyis az óramutató járásával megegyezően forgó egészben) folyadékba helyezünk egy lapátos kereket tetszőleges helyre, látni fogjuk, hogy az óramutató járásával megegyező irányban kezd forogni. (Az irány meghatározásához szokás szerint a jobb kéz vagy a jobb csavar szabályát használjuk ). $\mathbf {F} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$ $\mathbf {r}$ ${\boldsymbol {\omega }}=-1\mathbf {e} _{z}$ $\mathbf {F}$ $z$ $z$
$z$ -a mező komponense nullával egyenlő. Ha azonban nem nulla, hanem állandó (vagy akár csak attól függően ), hogy az alábbiakban kapott rotor eredmény ugyanaz lesz. $\mathbf {F}$ $z$

Számítsuk ki a rotort:

\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} =0 \mathbf e_x + 0 \mathbf e_y+ \left[ {\frac{\partial}{\partial x))(-x) -{\frac{\partial }{\partial y)) y \right] \mathbf e_z = -2\mathbf e_z

A várakozásoknak megfelelően az irány egybeesett a tengely negatív irányával . Ebben az esetben a forgórész konstansnak bizonyult, vagyis a mező homogénnek bizonyult, független a koordinátáktól (ami természetes egy merev test forgásakor). Mi a csodálatos $z$ $\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F}$

a folyadék forgási szögsebessége a forgórészből számított és pontosan egyenlőnek talált, pontosan megegyezett a Fizikai értelmezés című bekezdésben megadottal , vagyis ez a példa jól szemlélteti az ott megadott tényt $\operátornév {rot}{\mathbf F}/2$ . (Természetesen a fentieket teljesen megismétlő számítások, de csak nem egységnyi szögsebesség esetén ugyanazt az eredményt adják ). $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =2{\boldsymbol {\omega }}$

A forgási szögsebesség ebben a példában a tér bármely pontján azonos (a szilárd testre ragasztott porszemcse forgásszöge nem függ a porszemcse ragasztásának helyétől). A rotor rajza ezért nem túl érdekes: $\mathbf {F}$

Egy bonyolultabb példa

Most vegyünk egy kicsit összetettebb vektormezőt [9] :

{\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=-x^{2}\mathbf {e} _{y))

A menetrendje:

Lehet, hogy nem látunk elfordulást, de jobbra közelebbről nézve nagyobb mezőt látunk mondjuk egy pontban, mint a pontban . Ha egy kis lapátkereket telepítenénk oda, a jobb oldali nagyobb áramlás hatására a kerék az óramutató járásával megegyező irányban forogna, ami megfelel a csavarozásnak . Ha a kereket a mező bal oldalára helyeznénk, akkor a bal oldalán lévő nagyobb áramlás hatására a kerék az óramutató járásával ellentétes irányban forogna, ami megfelel a csavarozásnak az irányba . Ellenőrizzük a feltételezésünket egy számítással: $x=4$ $x=3$ $-z$ $+z$

\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} = 0 \mathbf e_x + 0 \mathbf e_y + {\frac{\partial}{\partial x))(-x^2) \mathbf e_z = -2x \ mathbf e_z

Valójában a csavarozás a negatív és a pozitív irányban történik , ahogy az várható volt. Mivel ez a rotor nem minden ponton ugyanaz, a grafikonja kicsit érdekesebbnek tűnik: $+z$ $x$ $-z$ $x$

Látható, hogy ennek a rotornak a grafikonja nem függ vagy (ahogy kellene), és a pozitív irányba , a negatív irányba pedig irányul . $y$ $z$ $-z$ $x$ $+z$ $x$

Magyarázó példák

Tornádóban a szelek a középpont körül forognak, és a szélsebesség vektormezőjének van egy nem nulla rotorja (valahol) a középső régióban. (lásd örvénymozgás ). (Igaz, valahol közelebb a széléhez a rotor is felvehet nulla értéket, lásd lent ).
Egy forgó merev (abszolút merev) test pontjainak mozgási sebességének vektormezője a test teljes térfogatában azonos, és egyenlő a forgási szögsebesség (vektor) kétszeresével ( a részleteket lásd fent ). . Tisztán transzlációs mozgás vagy nyugalom esetén ez a forgórész a test minden pontjára vonatkoztatva lehet nulla, akárcsak a szögsebesség. ${\mathbf v}$ $\operátornév {rot} \mathbf {v}$
Ha a pályán lévő autók sebességét vektormező írná le, és a különböző sávokon eltérő sebességkorlátozások lennének, a sávok határán lévő rotor nullától eltérő lenne.
Az elektromágneses indukció Faraday-törvénye , az egyik Maxwell-egyenlet , egyszerűen (differenciális formában) a forgórészen keresztül írható le: az elektromos tér forgórésze megegyezik a mágneses tér változásának sebességével (idővel) ellenkező előjellel.
Maxwell negyedik egyenlete - az Ampère-Maxwell törvény - szintén differenciál alakban van felírva egy rotor segítségével: a mágneses térerősség rotorja megegyezik a hagyományos áramsűrűségek és az elmozdulási áram összegével [10] .

Egy fontos ellentétes példa

Figyelembe kell venni, hogy a forgórész iránya nem feltétlenül felel meg a mező forgásirányának (legyen az a folyadéksebességek mezője), ami nyilvánvalónak tűnik, megfelel az áramlási iránynak. Ennek iránya lehet ellentétes az áramlással, és különösen a forgórész nullával egyenlő, bár az áramvonalak meghajlottak, vagy akár pontos köröket is ábrázolnak). Más szóval, egy vektormező vektorvonalainak görbületi iránya semmiképpen nem függ össze a mező forgórészének vektorának irányával.

Nézzünk egy ilyen példát. Határozzuk meg a folyadék áramlási sebességét a következő képlettel: ${\mathbf v}$

{\displaystyle \mathbf {v} =-f(y)\mathbf {e} _{x))

{\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {v} =f'(y)\mathbf {e} _{z))

Ha , az áramlás a részecskét jobbról balra (vagyis az óramutató járásával ellentétes irányban, ha egy megfigyelő felülről a tengely mentén ) viszi , de ha és egy csökkenő függvény, akkor a forgórész mindenhol lefelé irányul, ami azt jelenti, hogy minden folyadékrészecske az óramutató járásával megegyező irányba csavarva (miközben szintén és deformálódott). $f'(y)>0$ $z$ $f'(y)<0$ $f(y)$

A fentiek azt jelentik, hogy a közeg egésze egy irányban foroghat a megfigyelő körül, és minden kis térfogata az ellenkező irányba, vagy egyáltalán nem foroghat.

Jegyzetek

↑ Németül is, ahonnan a jelek szerint ez az elnevezés az oroszba került, és szinte mindenütt Európában, kivéve Angliát, ahol az ilyen megnevezés „alternatívnak” számít (talán disszonancia miatt: angol rot - rot, bomlás) .
↑ O. Heaviside . A mágneses erő és az elektromos áram összefüggései Archivált 2016. július 22-én a Wayback Machine -nél . // A villanyszerelő, 1882.
↑ Pontosabban - ha - pszeudo -vektormező , akkor - közönséges vektormező (vektor - poláris), és fordítva, ha a mező egy közönséges (poláris) vektor mezője, akkor - pszeudovektormező. $\mathbf {F}$ $\operátornév {rot} \mathbf {F}$ $\operátornév {rot} \mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ $\operátornév {rot} \mathbf {F}$
↑ Egy pontra való összehúzódás előfeltétel, a nullára hajlás nem elég, mert egy adott pontban szeretnénk megkapni a mezőkarakterisztikát. $\Delta S$
↑ A szokásos konvenció, összhangban a nabla operátorral végzett vektorszorzaton keresztüli definícióval.
↑ Ezen definíciók ekvivalenciája, ha a határ létezik, és nem függ a pontra történő összehúzódás módjától, akkor látható, ha a második definíció felületét egy hengeres felület formájában választjuk ki, a bázisok párhuzamos átvitelével. az első definíció helye nagyon kis távolságra két ellentétes irányban, merőlegesen -ra . A korlátban gyorsabban kell megközelíteniük, mint a méret . Ekkor a második definíció kifejezése két tagra oszlik, az egyik, amely az oldalfelület feletti integrált tartalmazza, egybeesik az első definícióval, a második pedig nullát ad a bázisok normálisára való vetítésben, mivel maga merőleges rá az alapokra. bázisok. Ehelyett csak egy kis paralelepipedont tekinthetsz felületnek, akkor nem olyan egyszerű azonnal szigorúan, de általában egyértelmű a hasonlat. $S$ $\Delta S$ $\Delta S$ $\Delta S$ $\Delta S$ $d\mathbf {S}$
↑ Formálisan hasonló a felületen áthaladó áramlási eltérés definíciójához: $\operátornév {rot} \mathbf {a} {\Big |}_{O}=\lim _{S\to O}{\frac {\oint \limits _{S}(\mathbf {a} \cdot d\mathbf {S} )}{V}}$ .
↑ A lokalitási záradék abban az általános esetben fontos, amikor az itt vizsgált mezők nem triviális topológiájú téren (sokadon) vagy tartományon definiálhatók, és ha a feltételek általánosságban is teljesülnek egy nem-triviális téren vagy tartományon. triviális topológia. Egy euklideszi tér vagy egyszerűen összefüggő régió esetén nincs szükség lokalitási záradékra; Vagyis akkor van egy olyan skalármező , ami mindenhol igaz lesz ezen a téren vagy ezen a területen. $\mathbf {F}$ $\varphi$ $\operatorname {rot} \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}$ $\varphi$ $\mathbf {F} =\operátornév {grad} \varphi$
↑ Egy ilyen mező legegyszerűbb fizikai megvalósítása (egy olyan additív állandóig, amely nem befolyásolja a forgórész számítását, mivel ; ezenkívül, ha szükséges, ez az állandó nullára állítható a leggyorsabbhoz társított referenciakeretre váltva áramló víz a sugár közepén) - lamináris áramlás (viszkózus) folyadék két párhuzamos szilárd sík között, amelyek merőlegesek a tengelyre , egyenletes erőtér (gravitáció) vagy nyomáskülönbség hatására. A kör keresztmetszetű csőben a folyadék áramlása ugyanilyen függőséget ad , ezért erre az esetre is alkalmazható az alábbi forgórész számítás (legegyszerűbb, ha a cső tengelyével egybeeső tengelyt veszünk, ill. bár a függőség már nem lesz állandó, pontban nulla lesz , mint a főpéldában, vagyis a számítás és a válasz a cső tengelyén áthaladó bármely síkra ugyanaz, és ez megoldja a problémát). $\operatorname {rot} \mathrm {const} ={\boldsymbol {0}}$ $x$ $v_y(x)$ $y$ $\mathbf v (z)$ $\partial v_y/\partial z$ $z=0$
↑ Felsőoktatási matematikai szótár. V. T. Vodnev, A. F. Naumovics, N. F. Naumovics

Lásd még

Differenciálszámítás

Fő

privát nézetek

Differenciális operátorok
( különböző koordinátákkal )

Első rendelés	Nabla operátor Gradiens Eltérés Forgórész Helmholtzian
másodrendű	Elliptikus operátor Laplace operátor Laplace vektor operátor D'Alembert operátor Laplace-Beltrami operátor
magasabb rendek	Hipoelliptikus operátor

Kapcsolódó témák