Ampère-Maxwell törvény

Tekintsük konkrétan az ábrán látható kondenzátort tartalmazó áramkört [2] .

Például lehet egy egyszerű rezgőkör, mint az ábrán (a kondenzátort C -vel jelöljük, L pedig egy induktort). (Valójában csak az áramkör kondenzátorhoz közeli része lesz érdekelt, az áramkör többi része pedig nem fontos, azaz L helyett lehet csak egy vezeték [3] , vagy tartalmazhat bármilyen eszköz, amely képes (automatikusan vagy manuálisan) megváltoztatni a kondenzátorba áramló áramot, például lehet egy kapcsolóval ellátott elektromos akkumulátor. Az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy a kondenzátorlapok közötti rés nem tartalmaz polarizálni képes közeget , azaz vákuum (vagy mondjuk levegő, aminek polarizálhatósága jó pontossággal elhanyagolható).

Más szóval, itt a láncnak csak ezt a részét tekinthetjük:

Most elkezdhetjük elemezni az Ampère-képlet működését ebben a konkrét példánkban.

1. Példánkban az eredeti tétel konzisztenciája egyenáram esetén:

Abban az esetben, ha az áramkörben állandó áram áll fenn, kiderül, hogy a kondenzátoron keresztüli áram egyszerűen nem tud folyni. Valóban, ha a kondenzátorlemezekre folyó áram nem változik az idő múlásával, akkor a lemezeken a töltés a végtelenségig nő, ami nyilvánvalóan fizikailag értelmetlen, és ez a lehetőség nyugodtan kizárható a mérlegelésből [4] . Az Ampere-tétel tehát ebben az esetben nyilván működik, hiszen nincsenek áramok és mágneses mezők, i.e. az egyenlet bal és jobb oldala

csak nulla [5] .

Azonban minden drámaian megváltozik, ha figyelembe vesszük a váltakozó áramokat (amelyek a valóságban természetesen lehetségesek). Ez a képlet következetlen eredményeket ad, ha megpróbálja használni.

2. Az eredeti képlet ellentmondása váltóáram esetén:

Valójában úgy választunk ki egy meghatározott integrációs felületet , hogy az áthaladjon a kondenzátor lapjai között (azaz az ábrán - majdnem vízszintesen, hogy a vízszintes lemezek között áthaladjon anélkül, hogy megérintené őket; csak a határozottság és a kényelem kedvéért) tegyük fel, hogy majdnem vízszintes és túl van a kondenzátorlemezek szélein; választhatja szigorúan vízszintes) és a szélein túlnyúló, azaz nagyobb területet, mint a lemezek. Ekkor ennek a felületnek a széle , amely egy kontúr az integrál kiszámításához ( B cirkuláció ) a bal oldalon, valami görbe lesz a kondenzátor körül (és ha szigorúan vízszinteset választunk, akkor ez a kontúr is a vízszintes síkban lesz) .

A felületet sehol nem keresztezi a vezető, nem folyik rajta áram ( j a kondenzátorrésben mindenhol nulla, nincsenek áramot szállítani képes töltések). Ez azt jelenti, hogy az egyenlet jobb oldala egyenlő nullával, és feltételezve, hogy maga az egyenlet igaz, a bal oldala is egyenlő nullával - vagyis a mágneses mező körforgása az él mentén :

Jelölje C a felület ezen élét (az integrációs kontúrt az egyenlet bal oldalán): .

Azonban nem ez az egyetlen felület, amelynek van ilyen éle. A C kontúron egy másik, S -vel nem egybeeső felületet , sőt végtelenül sokféle felületet is „nyújthatunk” (hogy az él mind egybeessen).

Konkrétan egy másik felületet választunk ( C -n „feszítünk”) úgy, hogy annak éle egybeessen C -vel , és maga nem a kondenzátor résén halad át, hanem kicsit feljebb, keresztezve a kondenzátort áramot adó vezetéket (pl. felületet enyhe felhajlítással lehet elérni ).

Nyilvánvaló, hogy a jobb oldali integrál, amely a felületen áthaladó elektromos áram , nem egyenlő nullával:

Ellentmondásnak bizonyult, mert miatt a bal oldalon

ugyanaz a kontúrintegrál áll a C kontúron , és a jobb oldalak különböző eredményeket adnak:

Ebből következően az Amper-képlet az eredeti formájában váltakozó áramok esetén [6] .

3. Az ellentmondást megszüntető módosítás keresése:

Az már tisztán minőségileg teljesen nyilvánvaló, hogy a kondenzátor résében (ahol a felület áthalad , és ahol j = 0) valószínűleg az egyetlen dolog, ami helyettesítheti j -t úgy, hogy az over integrál ugyanazt az eredményt adja, mint az over , és így az ellentmondás megszűnt. Ez egy változó elektromos mező.

Ezenkívül azonnal világos, hogy a kondenzátorban az elektromos térerősség változásának sebessége arányos a kondenzátorba érkező árammal (és ez az áram a második felület integrálja:

Ez azt jelenti, hogy van esély arra, hogy a felületen keresztül integrálva I-vel egybeeső eredményt kapjunk (talán valamilyen együtthatóval megszorozva).

Most kell kitalálni, hogy mi legyen ez az együttható, és megbizonyosodjon arról, hogy a számítások minden részlete megegyezik.

Ehhez most kvantitatívan fejezzük ki a kondenzátorban lévő mezőt: (az általunk itt választott mértékegységekben [7] ).

Ha törvényes az élhatások figyelmen kívül hagyása (feltéve, hogy a kondenzátorlapok területe nagyon nagy, és a távolság kicsi) [8] , használhatjuk a fent leírt térerősség képletet a teljes területre. a kondenzátor (az élek kivételével, amelyek közelében elhanyagoljuk), és az E vektor iránya mindenhol (ugyanazzal a kivétellel) merőleges a lemezekre (az ábrán függőlegesen). A töltéssűrűség (ugyanabban a közelítésben) nem függ a helyzettől (a lemez túlnyomó többségén állandó).

Ebből az egész szálból származik

Vagyis pontosan egyenlő I -vel , ami azt jelenti, hogy az együtthatóra nincs szükség (egyenlő eggyel) [9] .

Tehát megvan a korrekciós tag (amelyet a feletti integrációnál indokoltunk , de aminek látszólag változatlannak kell maradnia egy tetszőleges integrációs felület esetén)

és maga az Ampere-képlet a korrekciós tag hozzáadása után a következő alakot ölti:

vagy

(Példánkban, ha ezen a felületen a „működik” kifejezés fölé integráljuk, a „működik” kifejezés fölé pedig a „működik” kifejezést integráljuk , akkor ezen a felületen nullává válik [10] ).

Így megtaláltuk az Ampère-képlet Maxwell-féle korrekciós tagját, és megmutattuk, hogy az egyszerű példánkban kiküszöböli a képlet inkonzisztenciáját. Valójában nem csak ebben az esetben, hanem mindig kiküszöböli a képlet következetlenségét. Az utolsó állítás bizonyítása a következő részben található, kicsit formálisabb.

Szabványos általános indoklás

Itt megmutatjuk, hogy az Ampere-képlet korrekciója szükséges , és lehet, hogy a Maxwell által javasolt formát öltheti , valamint, ha lehetséges, nyomon követjük, hogyan lehet kellően természetes és konstruktív megfontolások alapján pontosan megszerkeszteni.

1. Kezdjük a töltésmegmaradásról szóló megállapítással. [tizenegy]

A töltés megmaradását a folytonossági egyenlet fejezi ki :

ahol  az áramsűrűség,  a töltéssűrűség,  az áramsűrűség divergenciája .

2. Elemezzük az Amper-képlet konzisztenciáját magnetosztatikus esetben a következő értelemben:

Bal oldalán egy bizonyos kontúr mentén keringés van, amely a jobb oldalon az integrációs felület széle. Az is szerepel, hogy a képlet mindig igaz, azaz bármilyen felületre. Két különböző felületnek (és általában tetszőlegesen sok különböző felületnek) lehet azonban egybeeső éle; más szóval két különböző felületet (szükség esetén többet is) feszíthetünk ugyanarra a kontúrra.

Nyilvánvaló, hogy két különböző felületen, amelyeket ugyanaz a körvonal fed át, az egyenlet bal oldala ugyanaz lesz. A jobb oldalon két különböző felületen keresztül áramlik ( j fluxus ), és ha ez nem lesz azonos, akkor az Ampère-képlet belsőleg inkonzisztens még a magnetosztatikában is. Mutassuk meg, hogy ez nem így van.

Elvileg elég lenne észrevenni, hogy az áramvonalak zárva vannak, vagy a végtelenbe mennek. (Ez az állítás intuitívan nyilvánvalónak tűnik, ha észreveszi, hogy a magnetosztatika áramai definíció szerint állandóak, és a töltés megmarad - és ezért az áramsűrűségnek nincsenek forrásai és nyelői, ami azt jelenti, hogy az áramvonalaknak nincs kezdete vagy vége, és ezért mindegyik vagy zárva van, vagy a végtelenbe megy). Ekkor bármely zárt felületbe (vagy egyazon kontúron átívelő különböző felületpárba, amelyek együtt egy zárt felületet alkotnak) annyi áramvonal lép be, mint ahány kilép belőle.

Így a magnetosztatikában a j mező szolenoid .

Most célszerű ezt a kontinuitási egyenlet alapján is bemutatni.

A magnetosztatikában , mivel a töltéssűrűség változása az általa generált elektromos tér megváltozásához vezetne, azaz sértené a mezők állandóságának feltételét.

Ha ezt behelyettesítjük a folytonossági egyenletbe, azonnal azt kapjuk, hogy a magnetosztatikára ez a következő:

Ez a feltétele a j mező solenoiditásának (mivel a j divergenciát tetszőleges térfogatra integrálva megkapjuk [12] a felületén áthaladó áramlást, és ez egyenlő lesz nullával, mivel a divergencia mindenhol nulla. [13]

3. Most megjegyezzük, hogy az általános (elektrodinamikai) esetre való átállás esetén a j mező mágnesessége azonnal elveszik.

Valóban, általánosságban most, és ezért

Így azt az eredményt kapjuk, hogy az Ampère által levezetett minta eredeti analitikus kifejezése csak az áramerősség megjelölését tartalmazza a képlet jobb oldalán, és elfogadható, de a belső inkonzisztencia feltételével (a tárgyalt okokból). fent, nevezetesen, ha , akkor van egy térfogat, amelynek integrálja ekkora eltérésből nem egyenlő nullával, ezért ebből a felületből nullától eltérő áram folyik [14] , ami azt jelenti, hogy két felületet találhatunk. ugyanazon kontúron áthaladva különböző értékű áramok folynak át, ami azt jelenti, hogy ha a kezdeti Ampère-képlet helyes. Ebben az esetben ugyanazon az áramkörön két különböző, egymást kizáró cirkulációs értéket kapunk, azaz egy ellentmondás.Eléggé feltételes.

4. Most egy olyan korrekciót kell találni, amely megszüntetné ezt az ellentmondást.

Abból kiindulva, hogy az Ampère-képlet általános szerkezetét meg akarjuk hagyni, a korrekció legtermészetesebb módja az lenne, ha megpróbálnánk visszaállítani a mező szolenoidként való ábrázolását (jobb oldalon), de mivel a mező j általános esetben mágnesként ábrázolva elveszti a modell láthatóságát, ez természetes - el kell képzelni, hogy milyen teljesebb modellre lenne szükség a szolenoiditás helyreállításához (ami után a képlet belsőleg konzisztenssé válna, valószínűleg általánosságban ügy).

Azt is megjegyezzük, hogy ennek a korrekciónak el kell tűnnie időállandó mezők és állandó áramok esetén.

Mivel a j tér „szolenoiditása” hipotézisének bizonyításakor a magnetosztatikában nem-szolenoid modellekkel, az elektrosztatikában el kell fogadni a folytonossági egyenletet. Ekkor a természetes logika alapján levezethető az ötlet, hogy megpróbáljuk módosító indítványok bevezetésére felhasználni. Valójában magnetosztatikus esetben mindkét kifejezés egyidejűleg nulla értéket kap - és , és . Az első rész által leírt nullától eltérő áramlás kompenzálására pedig általános esetben természetes lenne a másodikat használni, hiszen ezek összege mindig nulla lesz.

Lássuk, hogyan kell használni .

Az elektrosztatikából [15] ismert, hogy [16]

Feltételezve , hogy ez az egyenlet az elektrodinamikában is igaz, összehasonlítjuk a folytonossági egyenlettel

Nyilvánvaló, hogy az első egyenlet idő függvényében történő megkülönböztetésével azonnal megkapjuk a számunkra érdekes kifejezést annak jobb oldalán :

Ha behelyettesítjük a folytonossági egyenletbe, azonnal megkapjuk:

és

Vagyis a mező  szolenoid.

Ez pedig azt jelenti, hogy ha az Ampère-képletben hozzáadjuk a következő kiegészítést j -hez , akkor ez a képlet, ahogy nekünk úgy tűnik, elveszti belső inkonzisztenciáját (legalábbis, ha figyelembe vesszük az eredeti Ampère-formula feltételezetten létező ellentmondásait), és tulajdonságokat szerez. és egy olyan forma, amely nagyon közel áll az eredeti Ampere-képlet tulajdonságaihoz és alakjához, a magnetosztatikus erők esetére. Magnetosztatikára váltva pedig a korrekció eltűnik, vagyis teljesül a megfeleltetési elv , és az általánosított Ampère-Maxwell törvény ebben a konkrét esetben bekerül a mágneses tér keringéséről szóló korábbi Amper-tételbe.

Tehát úgy gondoljuk, hogy sikerült megmutatni, hogy az Ampère-Maxwell törvény az így bevezetett korrekcióval (és általános esetben a Gauss-törvény helyességét feltételezve) az Ampère helyes általánosításaként szolgálhat. képlet az általános elektrodinamikai esetre.

További heurisztikus megfontolások

Annak ellenére, hogy formai szempontból kellő alapja van a Maxwell által bevezetett korrekciós feltételnek, a fenti cikkben szereplő leírásokhoz történeti szempontból. Valószínű, hogy a következő, heurisztikus tapasztalatokból fakadó kiegészítések fontosak lehetnek, és további gondolatmenetet adhatnak a helyes irányba, amikor tágabb értelmezést keresünk Ampère tételeinek általánosítása érdekében.

Ezen túlmenően ezen megfontolások némelyike ​​önálló jelentőséggel is bírhat abban az értelemben, hogy elmélyíti a Maxwell-egyenletek által leírt folyamatok szerkezetének és fizikai tartalmának megértését.

Eltolási áram a dielektrikumokban

Az egyik fő, valószínűleg ilyen heurisztikus keresés néhány megfontolásunk szerint (történelmi szempontból kétségtelenül ellentmondásos) a dielektrikum eltolódási áramának megfigyelése .

Az a helyzet, hogy abban az esetben, ha nem vákuumról, hanem dielektromos közegről beszélünk, akkor ebben a közegben van egy elmozduló áram (ami alapvetően egy közönséges elektromos áram. meglehetősen jól „rejtettnek” tekinthető a legközvetlenebb megfigyelési típusok elől), ami részben kompenzálja az Ampère-képlet eltérését azáltal, hogy részben helyettesíti a vezetési áramot azokon a területeken, ahol nincs vezető. A dielektrikumban lévő eltolási áram szerkezete (analitikai kifejezése értelmében) tartalmazza az elektromos tér időbeli változásának sebességének paraméterét, és gyakorlatilag egybeesik azzal, amely a bevezetett korrekciót adja. Tekintettel arra, hogy ily módon a dielektrikumban lévő előfeszítő áram részlegesen kompenzálja az Ampère-képlet hibáját (nem illesztését), nem áll távol attól a gondolattól, hogy egy hasonló összeadás teljesen kompenzálja az eltérést.

A képlet korrekciós részének az eltérés teljes kiegyenlítéséhez hiányzó részét (a dielektromos elmozdulási áram analógiájára) vákuum elmozdulási áramnak nevezzük.

• Megjegyzés: a vákuum eltolódási áram nem "valódi" elektromos áram, annak ellenére, hogy formailag nagyon hasonlít rá az Ampère-Maxwell egyenletbe való belépés módjában (úgy tűnik, hogy van egy kifejezése, amely gyakorlatilag ugyanaz mint a dielektromos elmozdulási áram, és ebben benne van az egyenlet teljesen egyenlő a dielektrikum elmozdulási áramával, amely viszont valódi elektromos áram).
  • Ha a vákuum elmozduló áram valódi elektromos áram lenne, akkor az általa létrehozott töltések teljesen megszüntetnék az azt létrehozó elektromos mezőt, mivel ezt az áramot ez okozza és indukálja (ami egyrészt meglehetősen abszurd elfogadni, másrészt egyáltalán nem felel meg a megfigyelt jelenségosztályhoz).
  • Korunk szemszögéből nézve a dielektrikumok esetében a kifejezés alakjában az elmozdulási árammal való egybeesés meglehetősen véletlenszerű, az eltolási áram kifejezés dielektrikumhoz és vákuumhoz viszonyított egybeesése pedig tisztán feltételes. Mindazonáltal a hasonlat, bár pusztán formálisnak tekinthető, amint látjuk, nagyon termékenynek bizonyult.

Az elektrodinamika egyenleteinek szimmetriája

A módosítás a Maxwell-képlet kiegészítésével véleményünk szerint szimmetrikusabbá (gyakorlatilag tökéletesen szimmetrikussá) teszi az elektromágnesességet leíró egyenletrendszert, és ezáltal vizuálisabbá teszi. „Szépnek” mondható, és a szépség kritériumát gyakran az egyik fő etikai szempontnak tekintik a fizikai elméletek értékelésekor.

Sőt, az egyenletrendszer szimmetrikusabbá tételének vágya alapján gyakorlatilag kitalálható a "korrekciós tagunk" formája, legalábbis egy előjelig és talán egy állandó együtthatóig.

Maxwell egyenletrendszere [17] :

kétségtelenül szimmetrikusabbnak tűnik [18] , mint az lenne, ha a korrekciós tagot eltávolítanák a negyedik egyenletből . Ráadásul ezekből a megfontolásokból kitalálható ennek a kifejezésnek a formája egészében.

Jegyzetek

1. ↑ Nem teljesen világos, hogy az ebben a cikkben leírt okfejtés milyen szerepet játszott Maxwell gondolkodásában a helyes egyenlet megírásában, de logikusan teljes mértékben indokolja Maxwell korrekcióját, bármennyire is pontos megközelítésének rekonstrukciója.
2. ↑ A bekezdés okfejtésének többségénél csak az áramkör megszakítását lehet figyelembe venni, de ez is a kondenzátor egy változata (a töltések a vezeték végein halmozódnak fel); a bekezdés végén, hogy a korrekció formáját a legegyszerűbben megkapjuk, a legjobb feltételezni, hogy ideális lapos kondenzátorról van szó.
3. ↑ A vezetéknek azonban van némi induktivitása is , így ez az eset nem különbözik a tekercsháztól.
4. ↑ Ha egy ilyen eset formálisan még mindig bekerül a magnetosztatika eseteinek osztályába azon az alapon, hogy az áram bizonyos ideig állandó maradhat, akkor kiderül, hogy már ebben az esetben az Ampère-tétel belsőleg inkonzisztens és korrekciót igényel (ld. később a cikkben). Ez az egyik oka annak, hogy logikus az állandó áram ilyen változatának kizárása a magnetosztatika területéből.
5. ↑ Itt kifejezetten csak azt az esetet vettük figyelembe, amikor kondenzátor van behelyezve. És azt, hogy a képlet konzisztens egyenáram esetén olyan áramkörök esetében, amelyek nem tartalmaznak megszakításokat (kondenzátorok), a magnetosztatikából ismert ténynek vesszük. Különösen, ha végrehajtjuk mindazon érveket, amelyeket ebben a bekezdésben a későbbiekben ismertetünk, és amelyek ellentmondáshoz vezetnek egy megszakadt vezetékben (kondenzátorban) váltakozó áramok esetén, a szakadás nélküli vezeték esetében, ahol az áram különböző szakaszaiban azonos, ellentmondásmentességet és konzisztens eredményeket kapunk.
6. ↑ beleértve abban az esetben is, ha az áram egy bizonyos ideig állandó marad - hiszen gondolkodásunk szerint ebben az esetben is minden marad a régiben
7. ↑ Az ebben a cikkben választott mértékegységrendszerről (a legegyszerűbb képletről) lásd a fenti cikket. Más mértékegységrendszerekben az E képlete állandó együtthatóval különbözik, például SI -ben, ami természetesen a végső válaszban szereplő korrekciós tag együtthatóját is befolyásolja - a választott mértékegységrendszertől függően.
8. ↑ Ez csak a számítások lehető legegyszerűsítéséhez szükséges, ami nyilvánvalóbbá teszi a jelentésüket.
9. ↑ Ismét a mértékegységrendszerünkben (ami nem meglepő, mivel kifejezetten úgy lett megválasztva, hogy minden felesleges együttható eltűnjön)
10. ↑ Mert az általunk elfogadott közelítésben a mező teljes egészében a kondenzátor résében összpontosul, azon kívül pedig elhanyagolhatóan kicsi.
11. ↑ A töltés megmaradásából kiindulva nem szükséges az Ampère-képlet belső inkonzisztenciájának kimutatásához a magnetosztatikán kívül. A töltésmegmaradás azonban fontosnak bizonyul a Maxwell-korrekció konstruktív felépítéséhez. Ebben az értelemben megjegyezhető, hogy az itt bemutatott konstrukció illusztrálja azt az állítást: ha a töltés nem maradna meg, akkor az elektrodinamika összességében nem lehetne ugyanaz, mint amilyen.
12. ↑ Az Ostrogradsky-Gauss tétel szerint
13. ↑ Ez az okfejtés megfordítható, vagyis kimutatható, hogy ha a töltés nem maradna meg a magnetosztatikában, vagyis ha a töltés eltérhetne nullától anélkül, hogy megsértené a magnetosztatikus helyzet feltételeit, akkor az Ampère-tétel nem lenne igaz ( a képlet belsőleg inkonzisztens lenne) a magnetosztatikában (ami persze azt jelenti, hogy a magnetosztatika ebben a képzeletbeli esetben teljesen más lenne, és még elképzelni is nehéz, hogyan lehetne ezt egy térelmélet formájában megfogalmazni; bár Természetesen, ha a magnetosztatika esetében egyszerűen a Biot-Savart törvényre és az Ampère-erőre korlátozzuk magunkat, semmiféle képzelőerőre nincs szükség ahhoz, hogy a mágnesosztatikát nyitott árammal képzeljük el).
14. ↑ Ez az állítás szinte kézenfekvő, hiszen visszavezethető arra, hogy a felülettel feltételesen lezárt téren belül vagy kívül egy (váltakozó) áram kifolyhat, illetve befolyhat. Hasznos azonban, ha ezt az állítást közvetlenül a folytonossági egyenlettel kapcsoljuk össze, tekintettel a következő bemutatásra.
15. ↑ Lásd Gauss tételét .
16. ↑ A cikkben használt mértékegységrendszerben
17. ↑ Itt a c = 1 mértékegységrendszerben van írva , hangsúlyozva ennek a rendszernek a szimmetriáját; más egységek használata azonban nem tudta teljesen elrejteni.
18. ↑ Ez még nyilvánvalóbb egy töltés nélküli egyenletrendszer esetében: