Ehrenfest paradoxona

Az Ehrenfest paradoxona egy gondolatkísérlet , amely egy közel fénysebességgel forgó korongot vizsgál .

A modern értelemben vett klasszikus mechanika egyes fogalmainak összeegyeztethetetlenségét mutatja a speciális relativitáselmélettel, valamint az idő és a távolság fogalmának különböző definícióinak lehetőségét forgó vonatkoztatási rendszerekben.

Ezt a paradoxont Ehrenfest terjesztette elő 1909 -ben, miután Einstein kidolgozta a speciális relativitáselméletet .

A paradoxon lényege

Vegyünk egy kört (vagy üreges hengert ), amely a tengelye körül forog. Mivel a kör minden elemének sebessége érintőlegesen irányul, akkor annak (a körnek) Lorentz-összehúzódást kell tapasztalnia , azaz külső szemlélő számára a méretének kisebbnek kell lennie, mint a saját hossza .

Ha egy körnek van sugara , akkor külső megfigyelő számára a hossza . $R$ $2\pi R$

A Lorentz-összehúzódást figyelembe véve azonban a megfelelő kerület nagyobb lesz:

l={\frac {2\pi R}{{\sqrt {1-(v/c)^{2))))}={\frac {2\pi R}{{\sqrt {1-\left (\displaystyle {\frac {\omega R}{c}}\right)^{2}}}}},

ahol a körfrekvencia , a fénysebesség . $\omega$ $c$

Így egy kezdetben mozdulatlan merev körnek, miután kicsavarodott, paradox módon csökkentenie kell a sugarát, hogy megőrizze hosszát.

Ehrenfest érvelése szerint egy abszolút merev testet nem lehet forgó mozgásba hozni [1] , mivel sugárirányú Lorentz-sűrítés nem léphet fel. Következésképpen a korongnak, amely nyugalomban lapos volt , valahogy meg kell változtatnia az alakját, ha kicsavarják.

Elméleti elemzés

Rotáció a relativitáselméletben

Tekintsünk két referenciarendszert közös tengellyel . Legyen tehetetlen , és a tengelyhez képest állandó szögsebességgel forog . A vonatkoztatási rendszerben tekintsünk egy kört , amelynek középpontja az origó a síkban . A vonatkoztatási rendszerben egy körnek tekinthető, amelynek középpontja a síkban az origóban van . A rendszerben az euklideszi geometria szerint az inerciális vonatkoztatási rendszerben mérve a kerületet és átmérőjét az arányuk egyenlő lesz . A rendszerben a kerület és annak átmérőjének mérése a rendszerből a megfigyelő szemszögéből a kör mentén alkalmazott skála Lorentz-összehúzódása és a sugárirányban alkalmazott skála invarianciája miatt arányukat kisebb lesz, mint . Vagyis a rendszer megfigyelőjének szemszögéből a kerület és az átmérő aránya nagyobb lesz . Ezenkívül a rendszerből származó megfigyelő szempontjából a rendszerben egy körön elhelyezkedő óra mozgása lelassul a rendszerhez viszonyított mozgásuk miatt . Ez azt jelenti, hogy egy nem inerciális vonatkoztatási rendszerben a tér-idő metrika nem euklideszi [2] [3] [4] . A téridő görbületét a referenciakeretben lévő megfigyelő szempontjából az ebben a vonatkoztatási rendszerben ható gravitációs tér magyarázza, a referenciakeret szempontjából - a téridő görbületét a pontok felgyorsult mozgása. a kör ( a gravitációs és tehetetlenségi erők egyenértékűségének elve ). [2] [4] E mentális kísérlet következtetéseinek egyik következménye az, hogy az általános relativitáselméletben lehetetlen egy testrendszer kölcsönös mozdulatlansága, beleértve az abszolút merev testek létezésének lehetetlenségét is (Ehrenfest paradoxona). . [3] $K,K'$ $z$ $K$ $K'$ $K$ $z$ $K$ $xy$ $K'$ $x'y'$ $K$ $\pi$ $K'$ $K$ $\pi$ $K'$ $\pi$ $K$ $K'$ $K$ $K'$ $K'$ $K$

Ehrenfest érvelése azt mutatja, hogy lehetetlen egy abszolút merev testet (kezdetben nyugalmi állapotban) forgásba hozni.

Ez azonban nem cáfolja a merev, egyenletesen forgó tárcsák létezését. Térbeli geometriájuknak azonban különböznie kell az euklideszi geometriától .

Egy ilyen korong tér-idő leírása a Born koordináták segítségével lehetséges , azonban az idő áramlása eltér a galileaitól.

Az idő sebessége a középpont távolságától függ, és a fény előre- és hátrasebessége a forgásirányban Born koordinátákban eltérő lesz (lásd még a Sagnac-effektust ). Kiderül, hogy egy forgó koronghoz rögzített ortogonális tér-idő koordinátarendszert lehetetlen felépíteni.

Mindazonáltal kiderül, hogy lehetséges a távolság helyes meghatározása egy forgó korongon a Riemann-féle metrika értelmében .

Forgó lemez geometriája

A Born koordináták segítségével meghatározhatjuk saját távolságunkat a lemez nagyon közeli [5] pontja között. Ezeket például a fémben, amelyből a lemez készül , szomszédos molekulák vagy atomok képviselhetik.

Lokálisan a távolság pontosan úgy van elrendezve, ahogy Ehrenfest hitte: a körök mentén a megfelelő távolság a Lorentz-összehúzódás törvénye szerint pontosan meghaladja a látszólagos távolságot, és a sugarak irányában változatlannak bizonyul, azaz , egyenlő a sugarak különbségével.

A számítások azt mutatják, hogy egy forgó korongnak, bár feltételezzük, hogy egy síkban fekszik, (saját geometriáját tekintve) negatív görbületű felületnek kell lennie .

Ha a vizsgált forgó testet vastagságúnak tekintjük , akkor annak mentén (azaz a forgástengely mentén ), valamint sugárirányban nincs különbség a természetes és a látszólagos távolságok között. A koordinátákban ezért a tér mindhárom dimenziójának metrikája így fog kinézni: $(\varphi ,\;r,\;z)$

{\frac {c^{2}\,r^{2}}{c^{2}-\omega ^{2}\,r^{2}}}\,d\varphi ^{2}+dr ^{2}+dz^{2}.

Ehrenfest paradoxona és az általános relativitáselmélet

A "paradoxon" modern formájának megoldása olyan matematikai eszközöket foglal magában, mint a görbe vonalú koordináták és a geodézia , amelyek az általános relativitáselméletre jellemzőek . Mindazonáltal, bár az általános relativitáselmélet fogalmai teljesen alkalmazhatók erre az esetre, nem szabad megfeledkezni arról, hogy az Ehrenfest-paradoxont egy lapos, nem görbült Minkowski-térben vizsgáljuk . Egy korong gravitációs térben való forgása más problémát jelent.

Fizikai értelmezés

A szilárd test fényhez közeli forgása a gyakorlatban aligha figyelhető meg, mivel a centrifugális erőnek (olyan korongnál, amelyet a saját erején kívül más erő nem tart) az anyag sűrűségének szorzatának nagyságrendi feszültségekhez kellene vezetnie. , amelyet semmilyen anyag vagy anyag nem tud ellenállni. $c^{2}$

Ha azonban a centrifugális erőt a gravitációs tér kompenzálja (mint például a pulzároknál ), akkor túllépünk az SRT alkalmazhatóságán, és a test geometriája láthatóan másképpen fog megváltozni, mint fentebb leírtak szerint.

Amikor a forgótárcsa elér egy mérsékelt forgási sebességet, alakja sokkal erősebben változik a rugalmas alakváltozásoktól , mint az SRT hatására. A relativisztikus Ehrenfest-effektus csak kis mértékben növeli a tárcsa anyagának hosszirányú (forgásirány szerinti) nyúlását.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Fizika, 2. rész. Enciklopédia gyerekeknek. 16. kötet P. 123. ISBN 5-8483-0030-5 .
↑ 1 2 A. Einstein , L. Infeld A fizika evolúciója. - M.-L., Tekhteorizdat, 1948. - p. 208-216
↑ 1 2 L. D. Landau , E. M. Lifshits Field Theory. - M., Nauka, 1967. - p. 294-295
↑ 1 2 Clement Durell A relativitáselmélet ABC-je. - M. , Mir , 1964. - p. 135-138
↑ Szigorúan véve e két pont relatív sebességének jóval kisebbnek kell lennie, mint a fénysebességnek, a klasszikus mechanika alkalmazhatósági határain belül.