Bell paradoxona

A Bell-paradoxon a speciális relativitáselmélet egyik jól ismert relativisztikus paradoxona . Magának John Stuart Bellnek [1] leghíresebb változatában a paradoxon akkor merül fel, ha egy olyan gondolatkísérletet vizsgálunk , amely két űrhajót tartalmaz, amelyek ugyanabba az irányba gyorsulnak, és a végletekig kifeszített zsinórral kötik össze őket (az egyik hajó szigorúan a másik előtt repül). , azaz a gyorsulás a húr mentén irányul). Ha a hajók szinkronban kezdenek gyorsulni, akkor a hajókat kísérő referenciakeretben a köztük lévő távolság növekedni kezd, és a húr elszakad . Másrészt abban a referenciakeretben, amelyben a hajók először voltak nyugalomban, a köztük lévő távolság nem növekszik, ezért a húrnak nem szabad elszakadnia . Melyik nézőpont a helyes? A relativitáselmélet szerint az első a húr elszakadása.

Kronológiailag a paradoxon első említését E. Dewan és M. Beran 1959-es munkája [2] tartalmazza, akik egy ilyen gondolatkísérlet eredményét a testek relativisztikus összehúzódása valóságának megerősítéseként tekintették .

A szinkron gyorsuló rakétákat összekötő kábelszakadás hatásáról kellően részletes magyarázatot adott D. V. Skobeltsyn szovjet fizikus „Ikerparadoxon a relativitáselméletben” című könyvében. A könyv 1959-ben íródott, és 1966-ban jelent meg [3] .

Bell gondolatkísérlete

Bell változatában két űrhajó, amelyek kezdetben valamely inerciális referenciakerethez (ISR) képest nyugalomban vannak, egy határig kifeszített sztringgel van összekötve. A megfelelő ISO órája szerinti nulla időpontban mindkét hajó a saját állandó gyorsulásával kezd gyorsulni, amelyet az egyes hajókon elhelyezett gyorsulásmérőkkel mérnek . A kérdés az, hogy elszakad a húr? $g$

Dewan és Beran, valamint Bell véleménye szerint abban a referenciakeretben, amelyben a hajók eredetileg nyugalomban voltak, a köztük lévő távolság változatlan marad, de a húr hossza relativisztikus összehúzódást fog tapasztalni, így egy bizonyos időpontban a húr elszakad. Bell megfogalmazásában ez a következőképpen jelenik meg [4] :

Három kis űrrakéta, A, B és C, szabadon sodródik a térnek egy olyan tartományában, amely távol van az anyag többi részétől, forgás és relatív mozgás nélkül, B és C egyenlő távolságra A-tól (1. ábra).

A jel vételekor a B és C hajtóművek beindulnak, és a rakéták simán gyorsulni kezdenek (2. ábra). Legyenek a B és C rakéták azonosak, és azonos gyorsítási programjaik vannak. Ekkor (az A-beli megfigyelő szerint) minden időpillanatban azonos sebességgel fognak haladni, és így egymáshoz képest azonos távolsággal elmozdulnak.

Tegyük fel, hogy B és C kezdettől fogva egy vékony fonallal vannak összekötve (3. ábra). És ha először a fonal elég hosszú a szükséges távolság megtételéhez, akkor ahogy a rakéták felgyorsulnak, rövidebb lesz, ahogy Fitzgerald összehúzódáson megy keresztül, és végül eltörik. Akkor kell eltörnie, ha kellően nagy sebesség mellett a természetes kompresszió mesterséges megakadályozása elfogadhatatlan feszültséghez vezet.

Ez igaz? Ez a régi probléma volt egykor vita tárgya a CERN ebédlőjében. Egy tekintélyes kísérleti fizikus nem volt hajlandó elfogadni, hogy a cérna elszakadjon, és elutasította az ellenkezőjét, mint a speciális relativitáselmélet saját félreértését. Úgy döntöttünk, hogy a CERN Elméleti Osztályához fordulunk választottbírósági eljárásért, és (nem túl szisztematikus) közvélemény-kutatást végeztünk az ügyben. Egyértelmű konszenzus volt abban, hogy a cérna nem szakad el! Természetesen sokan, akik eleinte rossz választ adnak, némi gondolkodás után rátérnek a helyesre. Általában késztetést éreznek arra, hogy lássák, hogyan jelenik meg mindez egy B vagy C megfigyelő számára. Azt tapasztalják, hogy B például egyre távolabbra látja C-t, így egy adott cérnadarab már nem tudja lefedni a köztük lévő távolságot. Csak miután ezt megtették, és talán a nyugtalanság megmaradt érzésével, ezek az emberek végül olyan következtetésre jutnak, amely A szemszögéből meglehetősen triviális, tekintettel a Fitzgerald-összehúzódásra. Az a benyomásom, hogy a klasszikusabb végzettségűek, akik ismerik Larmor, Lorentz és Poincaré, valamint Einstein érvelését, erősebb és megbízhatóbb intuícióval rendelkeznek.

A probléma e megoldása ellen kifogások merültek fel, amelyeket aztán kritika érte. Például Paul Nawrocki azt javasolta , hogy a húr ne szakadjon el [ 5] , míg Edmond Dewan megvédte eredeti álláspontját egy válaszdokumentumban [ 6] . Bell azt írta, hogy „egy jól ismert kísérletező” visszafogott szkepticizmusával találkozott, válaszul a paradoxon kifejtésére. A vita megoldása érdekében a CERN Elméleti Osztálya informális ülést tartott . Bell kijelenti, hogy a részleg "egyértelmű konszenzusa" az volt, hogy a húr nem szakadhat el. Bell még hozzáteszi: "Természetesen sokan, akik először rossz választ kaptak, további érveléssel jutottak el a helyes válaszhoz" [1] . Később, 2004 -ben Matsuda és Kinoshita [7] azt írta, hogy egy japán folyóiratban megjelent tanulmányt, amely a paradoxon önállóan újra felfedezett változatát tartalmazta, erősen bírálták. A szerzők azonban nem idéznek kritikai műveket, csupán annyit közölnek, hogy azok japánul készültek.

Elemzés a nem relativisztikus mozgásegyenlet alapján

A további elemzés során az űrhajókat ponttesteknek tekintjük, és csak a húr hosszát vesszük figyelembe. Az elemzés arra az esetre vonatkozik, amikor a hajók egy bizonyos idő elteltével leállítják a motorjukat . A Galilei koordinátákat minden inerciális vonatkoztatási rendszerben használni fogják . $T$

Dewan és Beran, valamint Bell bemutatásával összhangban az „indítóhelyek” referenciakeretében (amihez képest a hajók pihentek a hajtóművek beindítása előtt, és amelyeket CO-nak nevezünk ) a hajók közötti távolság " definíció szerint " állandónak kell maradnia . $S$ $L$ $A$ $B$

Ez a következőképpen szemléltethető. A hajók kiindulási helyzetükhöz viszonyított elmozdulása - a CO tengely mentén - az idő függvényében így írható fel . Ez a funkció általánosságban a hajtóművek tolóerő függvényétől függ, de fontos, hogy mindkét űrjárműnél azonos legyen. Ezért az egyes hajók helyzete az idő függvényében a következő lesz: $x$ $S$ $f(t)$

x_{A}=a_{0}+f(t),\quad x_{B}=b_{0}+f(t),

ahol

f(t)

for egyenlő 0-val, és folytonos a ;

t<0

t

x_{A}

- a hajó helyzete ( -koordinátája) ;

x

A

x_B

- a hajó helyzete ( -koordinátája) ;

x

B

a_{0}

a hajó helyzete ;

A

t=0

b_{0}

a hajó helyzete a következő helyen : .

B

t=0

Ebből, ami egy állandó érték, amely nem függ az időtől. Ez az argumentum minden szinkronmozgástípusra érvényes. $x_{A}-x_{B}=a_{0}-b_{0}$

Így a részletes nézet ismerete nem szükséges a további elemzéshez. Megjegyzendő azonban, hogy az állandó megfelelő gyorsulás formája jól ismert (lásd a hiperbolikus mozgást ). $f(t)$ $f(t)$

A tér-idő diagramon (jobb oldalon) látható, hogy az űrhajók abbahagyják a gyorsulást az eseményekben és , amelyek egyidejűleg vannak CO-ban . Az is nyilvánvaló, hogy ezek az események nem egyidejűek a hajókat kísérő CO-ban. Ez egy példa az egyidejűség relativitására . $A'$ $B'$ $S$

Az előzőből világosan látszik, hogy a vonal hossza megegyezik a hosszúsággal , ami viszont egybeesik a hajók közötti kezdeti távolsággal. Az is nyilvánvaló, hogy a hajók sebessége és a CO- ban a gyorsított mozgási fázis vége után egyenlő . Végül az űrhajók közötti megfelelő távolság a gyorsított mozgás fázisának vége után egyenlő lesz a kísérő IFR távolságával és egyenlő a vonal hosszával . Ez a vonal a kísérő vonatkoztatási rendszer állandó idejű koordinátáinak vonala, amelyet Lorentz-transzformációkkal kapcsolunk össze a CO-beli koordinátákkal : $A'B'$ $AB$ $L$ $A$ $B$ $S$ $v$ $A$ $B$ $A'B''$ $t'$ $S$

t'={\frac {\left(t-vx/c^{2}\right)}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))}.

$A'B''$ az űrhajók SS-hez képest egyidejűleg vett vonalat jelent , vagyis számukra tisztán térbeli vonalat. Mivel az intervallum invariáns a CO-transzformációk során , bármilyen kényelmes referenciakeretben kiszámítható, ebben az esetben -ben . $S$

Matematikailag a CO-beli koordinátákon keresztül a fenti megfontolások a következőképpen írhatók le: $S$

t_{{B'}}=t_{{A'}}\,,

x_{B}-x_{A}=x_{{B'}}-x_{{A'}}=L\,,

x_{{B''}}-x_{{B'}}=v\left(t_{{B''}}-t_{{B'}}\jobb),

t_{{B''}}-{\frac {v}{c^{2}}}x_{{B''}}=t_{{A'}}-{\frac {v}{c^{ 2}}}x_{{A'}}\,,

\overline {A'B''}={\sqrt {\left(x_{{B''}}-x_{{A'}}\right)^{2}-c^{2}\left(t_ {{B''}}-t_{{A'}}\jobbra)^{2}}}\,.

Segédváltozók bevezetésével

H=t_{{B''}}-t_{{B'}}=t_{{B''}}-t_{{A'}}\,,

W=x_{{B''}}-x_{{B'}}\,,

és ezt észrevéve

W+L=x_{{B''}}-x_{{B'}}+x_{{B'}}-x_{{A'}}=x_{{B''}}-x_{{A '}}\,,

átírhatja az egyenletet így

W=vH\qquad H={\frac {v}{c^{2}}}\left(W+L\right)\qquad \overline {A'B''}={\sqrt {\left(W +L\jobb)^{2}-c^{2}H^{2}}}

és oldd meg:

\overline {A'B''}={\frac {L}{{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}.

Következésképpen a mozgó referenciakeretben történő leíráskor a hajók közötti távolság egy faktorral nő. Mivel a húrt így nem lehet megfeszíteni, elszakad. $\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}$

Ezen eredmények alapján Bell arra a következtetésre jutott, hogy a relativitáselméletet felül kell vizsgálni. Megjegyezte, hogy a testek relativisztikus összehúzódása, valamint az űrhajók közötti távolságok összehúzódásának hiánya a vizsgált gondolatkísérletben, dinamikusan magyarázható Maxwell-egyenletek segítségével. Az intermolekuláris elektromágneses mezők torzulása mozgó testek összehúzódását okozza - vagy feszültséget okoz bennük, ha az összehúzódásukat megakadályozzák. De ezek az erők nem a hajók között hatnak.

A probléma relativisztikus megoldása

Az egyenlő gyorsulású testek mozgásának relativisztikus problémája már jóval a Bell-paradoxon megjelenése előtt felkeltette a kutatók figyelmét. 1907 -ben Einstein [8] , a gravitáció relativisztikus elméletét elindítva, kimutatta, hogy az idő másként telik a gyorsított rendszerekben. Így Einstein az ekvivalencia elvén keresztül megjósolta a gravitációs vöröseltolódást . Különösen egy "egyenletesen gyorsított keretben", vagy ami ugyanaz, egy egyenletesen gyorsított vonatkoztatási rendszerben, az idő sebessége a távolságtól függ : ${\textstyle \delta =x_{B}-x_{A}}$

τ = e g δ c 2 , {\displaystyle \tau =e^{g\delta \over c^{2)),}

\tau =e^{g\delta \over c^{2)),

ahol g a pontok gyorsulása.

Egy m tömegű test [9] relativisztikus mozgásegyenlete erő hatására ${\textstyle F_{x}}$

m c 2 d 2 x d s 2 = F x , {\displaystyle mc^{2}{d^{2}x \over ds^{2}}=F_{x},}

mc^{2}{d^{2}x \over ds^{2}}=F_{x},

és az intervallum arányos a megfelelő idővel. A megfelelő időt (a rakéta fedélzeti szabványos órájának állását) a rakéta mozgása határozza meg, és semmilyen módon nem módosítható. Például szinkronizáljon egy "álló" órával.

{\textstyle s=c\tau }

A görbe vonalú koordinátákban az általános relativitáselmélet módszereit alkalmazzák. Saját nem inerciális vonatkoztatási rendszerének leírásához kovariáns differenciálást kell alkalmazni

m c 2 D u x d s = F x , {\displaystyle mc^{2}{Du^{x} \over ds}=F^{x},}

mc^{2}{Du^{x} \over ds}=F^{x},

Sőt, a gravitációs térben való mozgást az egyenlet (geodéziai egyenlet) írja le [9] .

{\textstyle Du^{x}=0}

Ha ismernünk kell egy pont gyorsulását a háromdimenziós térben, akkor a megfelelő kifejezés általánosságban meglehetősen bonyolultnak tűnik [10] . Azonban a saját vonatkoztatási rendszerében (a pontok sebessége nulla) a gyorsulás egyszerűen kifejezhető:

d 2 x én d t 2 = c 2 Γ 00 én . {\displaystyle {d^{2}x^{i} \over dt^{2}}=c^{2}\Gamma _{00}^{i}.}

{d^{2}x^{i} \over dt^{2}}=c^{2}\Gamma _{00}^{i}.

Így Bell számításai és hasonló számításai nem érvényesek a gyorsított rendszerek relativisztikus fizikájára. A pontos választ az általános relativitáselmélet módszereivel kaphatjuk meg. Bell problémája azonban közvetlenül is megoldható a relativitáselmélet elvei alapján.

Szigorúan a fénysebesség állandósága alapján az azonos gyorsulású testek relativisztikus mozgásának problémáját Harry Lass oldotta meg 1963-ban [11] . Lass a fénysebesség állandóságának elve alapján oldotta meg az egyenletesen gyorsított rendszer egydimenziós problémáját. Lass egy tehetetlenségi koordinátarendszerhez képest egy tengely mentén gyorsuló vonatkoztatási rendszert vett figyelembe . Továbbá, feltételezve, hogy , és (a fény koordináta sebessége invariáns), megkaptuk a transzformációt $O'XYZ$ $x$ $Oxyz$ $dX/dT=\pm c$ $dx/dt=\pm c$

x = c 2 g [ e g x / c 2 készpénz ⁡ g T c − egy ] {\displaystyle x={\frac {c^{2}}{g}}\left[e^{gX/c^{2}}\cosh {\frac {gT}{c}}-1\right] }

x={\frac {c^{2}}{g}}\left[e^{gX/c^{2}}\cosh {\frac {gT}{c}}-1\right]

és t = c g e g x / c 2 sinh ⁡ g T c . {\displaystyle t={\frac {c}{g}}e^{gX/c^{2}}\sinh {\frac {gT}{c}}.}

t={\frac {c}{g}}e^{gX/c^{2}}\sinh {\frac {gT}{c}}.

Lass megoldása megfelel Einstein megoldásának az órákra egységesen gyorsított rendszerben, és a gyorsulása valóban állandó .

{\textstyle \Gamma _{00}^{i}=g/c^{2}}

Ha a Bell-probléma során a rakétákat leállítják, azaz elviszik , akkor a köztük lévő távolság mindig rögzítésre kerül: ${\textstyle T=0}$

L | T = 0 = c 2 g ( e g x B / c 2 − e g x A / c 2 ) . {\displaystyle L|_{T=0}={\frac {c^{2}}{g}}\left(e^{gX_{B}/c^{2}}-e^{gX_{A }/c^{2}}\jobbra).}

L|_{T=0}={\frac {c^{2}}{g}}\left(e^{gX_{B}/c^{2}}-e^{gX_{A }/c^{2}}\jobbra).

Ebből az egyenletből kiderül, hogy a tehetetlenségi keretben lévő rakéták közötti távolság a Lorentz-törvény szerint csökken: x B − x A = egy − v 2 / c 2 L . {\displaystyle x_{B}-x_{A}={\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}L.}

x_{B}-x_{A}={\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}L.

A paradoxon megoldódott. Az egyformán gyorsuló rakéták a távolságot a saját vonatkoztatási rendszerükben tartják. Ráadásul a „rögzített” megfigyelő a szokásos Lorentz-összehúzódást látja.

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Bell, JS Kimondható és kimondhatatlan a kvantummechanikában (határozatlan) . - Cambridge: Cambridge University Press , 1987. Figyelemre méltó könyv, amely Bell eredeti, 1976 -os tanulmányának újranyomtatását tartalmazza .
↑ Dewan, E.; Beran, M. Megjegyzés a relativisztikus összehúzódás miatti stresszhatásokról // American Journal of Physics : folyóirat. - American Association of Physics Teachers , 1959. - március 20. ( 27. kötet , 7. szám ). - P. 517-518 . - doi : 10.1119/1.1996214 . (nem elérhető link)
↑ Skobeltsyn D.V. Az ikerparadoxon a relativitáselméletben. — M.: Nauka, 1966. — S. 72.
↑ Bell, John. Hogyan tanítsuk a speciális relativitáselméletet (neopr.) .
↑ Nawrocki, Paul J. Stresszhatások a relativisztikus összehúzódás miatt // American Journal of Physics : folyóirat. - 1962. - október ( 30. évf. , 10. sz.). - P. 771-772 . - doi : 10,1119/1,1941785 . (nem elérhető link)
↑ Dewan, Edmond M. A Lorentz-összehúzódás okozta stresszhatások // American Journal of Physics : folyóirat. - 1963. - május ( 31. évf. , 5. sz.). - P. 383-386 . - doi : 10,1119/1,1969514 . (nem elérhető link)
↑ Matsuda, Takuya; & Kinoshita, Atsuya. Két űrhajó paradoxona a speciális relativitáselméletben (neopr.) // AAPPS Bulletin. - 2004. - T. február . – S.? . nyomtatott változat
↑ Einstein, A. A relativitás elvéről és következményeiről. Orosz fordítás, lásd A. Einstein. Tudományos közlemények gyűjteménye, 1. kötet - M., Nauka kiadó, 1965.
↑ 1 2 Landau LD, Lifshitz EM The Classical Theory of Fields Vol. 2 (4. kiadás). Butterworth-Heinemann (1975).
↑ Sazhin M V Általános relativitáselmélet csillagászok számára. URL: http://www.astronet.ru/db/msg/1170927 Archív másolat , 2018. július 20-án a Wayback Machine -nél, 8.2.1.
↑ Lass, H. Accelerating Frames of Reference and the Clock Paradox , American Journal of Physics, Vol. 31. o. 274-276, 1963.

Linkek

Gershtein S. S. , Logunov A. A. " J. S. Bell problémája " (IHEP preprint 1996)
Gershtein S. S., Logunov A. A. J. Bell probléma // Az elemi részecskék és az atommag fizikája . - 1998. - T. 29 , szám. 5 . - S. 463-468 .
Michael Weiss, Bell's Spaceship Paradox (1995 ) , USENET Relativity GYIK
Austin Gleeson, Tanfolyami jegyzetek 13. fejezet Lásd a

4.3 . szakaszt

JH Field, [1] (a link nem érhető el )

Romain, JE A relativisztikus paradoxonok geometriai megközelítése // Am . J Phys. : folyóirat. - 1963. - 1. évf. 31 . - P. 576-579 . (Angol)

Hsu, Jong-Ping; & Suzuki. Extended Lorentz Transformations for Accelerated Frames and the Solution of the "Two-Spaceship Paradox" // AAPPS Bulletin : folyóirat. - 2005. - 20. évf. október . — P.? . nyomtatott változat. (link nem elérhető )

Redžić DV (2010) "A relativisztikus hosszas agónia folytatódott" (angol)

Foukzon J., Podosyonov SA, Potapov AA, (2009), "A relativisztikus hossznövekedés általános gyorsított rendszerében újra megvizsgálva" . (Angol)

Podosyonov SA, Foukzon J. és Potapov AA, (2010) "A Study of the Motion of a Relativist Continuous Medium" ,

Gravitation and Cosmology, 2010, 16. kötet, 4. szám, 307-312. ISSN 0202-2893, http://www.springerlink.com/content/j8kr55831h411365/ ( nem elérhető link)